江苏省13市2017高三上学期考试数学试题分类汇编
圆锥曲线
一、填空题
x2
21、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）设双曲线2?y?1(a?0)的一条渐近线的倾斜角 a
为30?，则该双曲线的离心率为▲.
2、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）在平面直角坐标系xOy中，直线2x?y?0为双曲线x2y2
??1(a?0，b?0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为． a2b2
3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）2017届高三上学期期末）
x2y2
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右、下、上ab
顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F?AB1，则椭圆C的离心率是
x2y2
?1(a?0)4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）若抛物线y?8x的焦点恰好是双曲线2?a32
的右焦点，则实数a的值为．
x2y2
??1的离心5、（苏州市2017届高三上学期期末调研）在平面直角坐标系xOy中，双曲线36
率为
6、（苏州市2017届高三上期末调研测试）在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1,1)的直线l与
22圆(x?1)?(y?2)?5相切，且与直线ax?y?1?0垂直，则实数a?．
7、（无锡市2017届高三上学期期末）设P为有公共焦点F1,F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1?PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若e1?3e2，则e1?28、（扬州市2017届高三上学期期中）抛物线x?2py(p?0)的准线方程为y
??1，则抛物线2
方程为
4x2y2
9、（扬州市2017届高三上学期期中）双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，直线y?x3ab
与双曲线相交于A、B两点。若AF?BF，则双曲线的渐近线方程为 。
x2y2
?2?1的10、（扬州市2017届高三上学期期末）已知抛物线y?16x的焦点恰好是双曲线12b2
右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ ．
x2y2
11、（镇江市2017届高三上学期期末）双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦点到相应准线的距离ab
等于实轴长，则双曲线的离心率为．
二、解答题
1、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x2?y2?b2经x2y2
??1(0?b?2)的焦点. 过椭圆E:4b2
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l:y?kx?m交椭圆E于P,Q两点，T为弦PQ的中点，M(?1,0),N(1,0)，记直线TM,TN的斜率分别为k1,k2，当2m2?2k2?1时，求k1?k2的值.
2、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
x2y2
(a?b?
0)，焦点到 ??1a2b2
相应准线的距离为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线
y?于点Q，求11?的值．
OP2OQ2
3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）如图，在平面直角坐标系xOy
中，已知圆C:x2?y2?4x?0及点A(?1,0)，B(1,2)．
（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN?AB，求直线l的方程；
（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2?PB2?12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明
理由．
4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）如图，在平面直角坐标系xOyx2y2
中，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为
ab
F
到左准线的距离为 （1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点 M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．
（ⅰ）当直线的PA斜率为1时，求?FMN的外接圆的方程； 2
（ⅱ）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求?APQ的面积的最大值．
x2y2
5、（无锡市2017届高三上学期期末）已知椭圆??1，动直线l与椭圆B,C两点（B在第一象43
限）.
（1）若点B的坐标为?,?3??，求?OBC面积的最大值； 2??
（2）设B?x1,y1?,C?x2,y2?，且3y1?y2?0，求当?OBC面积最大时，直线l的方程.
x2y2
6、（扬州市2017届高三上学期期中）已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的右焦点为F，过点Fab
的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q。若?2。
（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k?，求证：k为定值； k?
（2）若?且?APQ的面积为12，求椭圆C的方程。
5
x2y2
7、（扬州市2017届高三上学期期末）如图，椭圆C:2?2?1(a?b?0)，圆O:x2?y2?b2，过ab
????????椭圆C的上顶点A的直线l:y?kx?b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P、Q，设AP??PQ．
（1）若点P(?3,0),点Q(?4,?1),求椭圆C的方程；
（2）若??3，求椭圆C的离心率e的取值范围．
x2y28、（镇江市2017届高三上学期期末）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，且点
2ab1
(?,)在椭圆C上．
2
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l交椭圆C于P,Q两点，线段PQ的中点为H，O为坐标原点，且OH?1， 求?POQ面积的最大值．
参考答案 一、填空题 1
、
2
3
4、1 5
3
1x 7
8、x2?2y 9、y??2x 10
、y?26、
11
、1
二、解答题 1、解：（1）因0?b?2，所以椭圆E的焦点在x轴上，
又圆O:x2?y2?b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c?b， ……………3
分
x2y2
??1.……6分 所以2b?4，即b?2，所以椭圆E的方程为42
（2）方法一：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，T(x0,y0)，
2
2
?x2y2
?1??222
联立?4，消去y，得(1?2k)x?4kmx?2m?4?0， 2
?y?kx?m?
4km2k22
??2m?2k?1所以x1?x2??，又，所以， x?x122
1?2km
112k2?11??2?2?1． 所以22OPOQ2k?22k?2
综上，可知11??1． ????????????????????14分 OP2OQ2
3、（1）圆C的标准方程为(x?2)2?y2?4，所以圆心C(2,0)，半径为2．
2?0?1， 1?(?1)
设直线l的方程为x?y?m?0， ?????????????????2分 因为l∥AB，A(?1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为则圆心C到直线l
的距离为d?．??????????4分
因为MN?AB (2?m)2MN222?2， ???????????6分 而CM?d?()，所以4?22
解得m?0或m??4，
故直线l的方程为x?y?0或x?y?4?0．?????????????8分
（2）假设圆C上存在点P，设P(x,y)，则(x?2)2?y2?4，
PA2?PB2?(x?1)2?(y?0)2?(x?1)2?(y?2)2?12，
即x2?y2?2y?3?0，即x2?(y?1)2?4， ????????????10分
因为|2?2|?2?2，??????????????12分 所以圆(x?2)2?y2?4与圆x2?(y?1)2?4相交，
所以点P的个数为2．??????????????????????14分
?c????a?4,?a4、（1
）由题意，得?
解得?
则b? 2??c?a??c??c?
x2y2
?1． ???????????????4分 所以椭圆C的标准方程为?168
（2）由题可设直线PA的方程为y?k(x?4)，k?0，则M(0,4k)，
2x?，则N(0,?)． k
11(i)当直线PA的斜率为，即k?时，M(0,2)，N(0,?
4)，F， 22
因为MF?FN，所以圆心为(0,?1)，半径为3， 所以直线FN
的方程为y?
所以△FMN的外接圆的方程为x2?(y?1)2?9．???????????8分
?y?k(x?4),?(ii)联立?x2y2 消去y并整理得，(1?2k2)x2?16k2x?32k2?16?0， ?1,??168?
4?8k24?8k28kP(,)，????????10分 解得x1??4或x2?，所以1?2k21?2k21?2k2
8k2?48k1,?)， 直线AN的方程为y??(x?4)，同理可得，Q(221?2k1?2k2k
所以P，Q关于原点对称，即PQ过原点．
116k32所以△
APQ的面积S?OA?(yP?yQ)?2??≤14分 21?2k22k?1
k
1当且仅当2k?
，即k??”． k
所以△
APQ的面积的最大值为．????????????????16分 5、
6、解：（1）设F(c,0)且c2?a2?b2，P(x0,y0)，则Q(?x0,y0)， ????????y0y03，k'?，因为NF?2FP，所以c?2(x0?c)，即x0?c ………3分 x0?c?x0?c2
y2yy02yk?0 ∴k??5k'，即??5为定值 ………6分 ∴k?0?0，k'?x0?cc?x0?c?5ck'
????????1（2）若AN?FP，则AF?3FP，所以AF?3FP，解得：A(?c,?3y0)2所以k?
?9c2y02??1（）1??4a2b2因为点A、P在椭圆C上，则?2， 29yc?0?2?1（2）2?b?4a
80c2c22(1)?9?(2)得：?8，解得：2? ………10分 4a2a5
y02y02y0231c22则2?，代入（1）得：2?2?，2? c203cb10b3
2
112 因为S?APQ??3c?4y0?
6cy0且S?APQ?，解得：c2y02?，则c2?4 ……14分 25
x2y2
所以椭圆方程为：??1． ………16分 106
7、（1）由P在圆O:x2?y2?b2上得b?3,
(?4)2(?1)2
?2?1, 解得a2?18, 又点Q在椭圆C上得2a3
x2y2
?1. --------------------------------------5分 ?椭圆C的方程是?189
?y?kx?b2kbx?0（2）由?2得或 --------------------------------------7分 x??P2221?k?x?y?b
?y?kx?b2kba2?22由?x得x?0或xQ??22 --------------------------------------9分 y2??1ak?b?2b2?a
????????????3?????AP??PQ ，??3，?AP?AQ， 4
2kba232kba2313a2?4b2
2即22 ?k??22?????4e2?122222ka?b41?kaak?b41?k
?k2?0?4e2?1，即e?11，又0?e?1,??e?1.----16分 22
1
c38、解：（1
）由已知得?，2?2?1， 解得a2?4，b2?1， ??2分 aab
x2
椭圆C的方程是?y2?1. ??4分 4
（2）设l与x轴的交点为D(n,0)，直线l:x?my?n，与椭圆交点为P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立x?my?n，x2
4?y2?1，得(4?m2)y2?2mny?n2?4?0，
y1,2，
∴ y1?y2mnn2?4
2??4?m2，y1y2?4?m2，
∴ x1?x2m(y1?y2)?2n4n4nmn
2?2?4?m2，即H(4?m2,?4?m2)， 由OH?1，得n2?(4?m2)2
16?m2，
则S△POQ?1
2OD|y?y1
12|?2|n||y1?y2|， 令T?n(y2n2[(y24?m2
2
1?y2)?1?y2)?4y1y2]?12?16?(16?m2)2，
设t?4?m2(t…4)，则4?m2t11
(16?m2)2?t2?24t?144??，
t?144?2448
t
当且仅当t?144
t，即t?12，S△POQ?1，
所以△POQ面积的最大值为1.
??6分 ??10分 ??12分 14分 ??15分 ??16分 ??
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