2017年上海市宝山区高考数学一模试卷
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1
．
=
2．设全集U=R，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩?UB= 3
．不等式
4
．椭圆
5．设复数z
满足
6
．若函数的解集为． （θ为参数）的焦距为． （i为虚数单位），则z=． 的最小正周期为aπ，则实数a的值为． 7．若点（8，4）在函数f（x）=1+logax图象上，则f（x）的反函数为 8
．已知向量
，
，则
在的方向上的投影为 9．已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为．
10．某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）
11．设常数a＞0
，若的二项展开式中x5的系数为144，则a=． 12．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．设a∈R，则“a=1”是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）
A．80 B．96 C．108 D．110
- 1 -
15．设M、N为两个随机事件，给出以下命题：
（1）若M、N
为互斥事件，且
（2
）若
（3
）若
（4
）若
（5
）若
，
，
，
，
，，，，，
，则； ，则M、N为相互独立事件； ，则M、N为相互独立事件； ，则M、N为相互独立事件； ，则M、N为相互独立事件；
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．在平面直角坐标系中，把位于直线y=k与直线y=l（k、l均为常数，且k＜l）之间的点所组成区域（含直线y=k，直线y=l）称为“k⊕l型带状区域”，设f（x）为二次函数，三点（﹣2，f（﹣2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“0⊕4型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“﹣1⊕3型带状区域”，那么，函数y=|f（t）|的最大值为（ ）
A
． B．3
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1
的底面积为
（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）求异面直线A1C与AB所成的角的大小．
，侧面积为36； C
． D．2
18．已知椭圆C
的长轴长为
（1）求C的标准方程； ，左焦点的坐标为（﹣2，0）；
（2）设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，
且， - 2 -
试求直线l的倾斜角．
19．设数列{xn}的前n项和为Sn，且4xn﹣Sn﹣3=0（n∈N*）；
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）若数列{yn}满足yn+1﹣yn=xn（n∈N*），且y1=2
，求满足不等式
正整数n的值．
20．设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；
（1）当m=2
时，解不等式
（2）若f（0）=1
，且
围；
（3）如果函数f（x）的图象过点（98，2），且不等式f[cos（2nx）]＜lg2对任意n∈N均成立，求实数x的取值集合．
21．设集合A、B均为实数集R的子集，记：A+B={a+b|a∈A，b∈B}； （1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；
（2）设a1
=，当n∈N*，且n≥2
时，曲线
A={a1，a2，…，an}，
B=的焦距为an，如果，设A+B中的所有元素之和为Sn，对； 在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范的最小于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式Sm+Sn﹣λSk＞0恒成立，求实数λ的最大值；
（3）若整数集合A1?A1+A1，则称A1为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合A2的某个非空有限子集中所有元素的和，则称A2为“N*的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集？请说明理由．
2017年上海市宝山区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1
．
=．
【考点】极限及其运算．
【分析】分子、分母都除以n，从而求出代数式的极限值即可．
【解答】
解：
==2，
故答案为：2．
2．设全集U=R，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩?UB=
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据补集与交集的定义，写出?UB与A∩?UB即可．
【解答】解析：因为全集U=R，集合B={x|x≥2}，
所以?UB={x|x＜2}=（﹣∞，2），
且集合A={﹣1，0，1，2，3}，
所以A∩?UB={﹣1，0，1}
故答案为：{﹣1，0，1}．
3
．不等式的解集为
【考点】其他不等式的解法．
【分析】
不等式
【解答】
解：不等式
解得：﹣2＜x＜﹣1，
转化（x+1）（x+2）＜0求解即可． 等价于（x+1）（x+2）＜0， - 4 -
∴原不等式组的解集为（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
4
．椭圆（θ为参数）的焦距为．
【考点】椭圆的参数方程．
【分析】求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．
【解答】解：消去参数θ得：
故答案为6．
5．设复数z
满足（i为虚数单位），则z= ，所以，
c= =3，所以，焦距为2c=6．
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】设z=x+yi，
则
y的值，则答案可求．
【解答】解：设z=x+yi
，∴
则．
代入，再由复数相等的充要条件，即可得到x，=x+yi+2（x﹣yi）=3﹣i，即3x﹣yi=3﹣i，
∴x=1，y=1，因此，z=1+i．
故答案为：1+i．
6
．若函数的最小正周期为aπ，则实数a的值为
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用行列式的计算，二倍角公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的周期性，求得a的值．
【解答】解：∵y=cos2x﹣sin2x=cos2x，T=π=aπ，所以，a=1，
故答案为：1．
7．若点（8，4）在函数f（x）=1+logax图象上，则f（x）的反函数为﹣1（x）=2x﹣1． ．
【考点】反函数．
【分析】求出函数f（x）的解析式，用x表示y的函数，把x与y互换可得答案．
【解答】解：函数f（x）=1+logax图象过点（8，4），
可得：4=1+loga8，
解得：a=2．
∴f（x）=y=1+log2x
则：x=2y﹣1，
∴反函数为y=2x﹣1．
故答案为f﹣1（x）=2x﹣1．
8
．已知向量
，
，则
在的方向上的投影为
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】
根据投影公式为
【解答】
解：由于向量
则
在
的方向上的投影为
故答案为：
9．已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为 18π ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】由题意，得：底面直径和母线长均为6，利用侧面积公式求出该圆锥的侧面积．
【解答】解：由题意，得：底面直径和母线长均为6，
S侧
=
故答案为18π．
10．某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人 ，代值计算即可． ，=，
．
=18π． - 6 -
中男、女生均有的概率为
（结果用最简分数表示）
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】先求出基本事件总数
n=，在选出的3人中男、女生均有的对立事件是
三人均为男生或三人均为女生，由此能求出在选出的3人中男、女生均有的概率．
【解答】解：某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动， 基本事件总数
n=，
在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生或三人均为女生， ∴在选出的3人中男、女生均有的概率：
p=
=．
故答案为：．
11．设常数a＞0
，若的二项展开式中x5的系数为144，则a= 2 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用通项公式Tr+1=
即可得出．
【解答】解：Tr+1
=
令9﹣2r=5，解得r=2，
则=144，a＞0，解得a=2． =（r=0，1，2，…，9）． （r=0，1，2，…，9）．令9﹣2r=5，解得r，
故答案为：2．
12．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为 6 ．
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【分析】由题意，公差d=1，na1
+=2668，∴n（2a1+n﹣1）=5336=23×23 - 7 -
×29，得出满足题意的组数，即可得出结论．
【解答】解：由题意，公差d=1，na1
+
×23×29，
∵n＜2a1+n﹣1，且二者一奇一偶，
∴（n，2a1+n﹣1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组；
同理d=﹣1时，也有三组．
综上所述，共6组．
故答案为6．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．设a∈R，则“a=1”是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 =2668，∴n（2a1+n﹣1）=5336=23
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分必要条件的定义以及纯虚数的定义判断即可．
【解答】解：当a=1时，（a﹣1）（a+2）+（a+3）i=4i，为纯虚数，
当（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数时，a=1或﹣2，
故选：A．
14．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（ ）
A．80 B．96 C．108 D．110
【考点】分层抽样方法．
【分析】求出高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400，即可得出该样本中的高二学生人数．
【解答】解：设高二x人，则x+x﹣50+500=1350，x=450，
所以，高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400
因为
=
，所以，高二学生抽取人数为： =108， - 8 -
故选C．
15．设M、N为两个随机事件，给出以下命题：
（1）若M、N
为互斥事件，且
（2
）若
（3
）若
（4
）若
（5
）若
，
，
，
，
，，，，，
，则； ，则M、N为相互独立事件； ，则M、N为相互独立事件； ，则M、N为相互独立事件； ，则M、N为相互独立事件；
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】在（1）中，P（M∪N）
=
=；在（2）中，由相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件；在（3）中，由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件；在（4）中，当M、N为相互独立事件时，P=（MN）
；（5）由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件．
【解答】解：在（1）中，若M、N
为互斥事件，且
则P（M∪N）
=
在（2
）中，若
=，故（1）正确； ，
，， ，，
则由相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（2）正确； 在（3
）中，若
，
，，
则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（3）正确；
在（4
）中，若
，
，，
，故（4）错误； 当M、N为相互独立事件时，P（MN）
=
（5
）若
，
，，
则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（5）正确．
故选：D．
16．在平面直角坐标系中，把位于直线y=k与直线y=l（k、l均为常数，且k＜l）之间的点所组成区域（含直线y=k，直线y=l）称为“k⊕l型带状区域”，设f（x）为二次函数，三点（﹣2，f（﹣2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“0⊕4型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“﹣1⊕3型带状区域”，那么，函数y=|f（t）|的最大值为（ ）
A
． B．3 C
． D．2
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】设出函数f（x）的解析式，求出|t的范围，求出|f（t）|的解析式，根据不等式的性质求出其最大值即可．
【解答】解：设f（x）=ax2+bx+c，则|f（﹣2）|≤2，|f（0）|≤2，|f（2）|≤2，
即
，即，
∵t+1∈[﹣1，3]，∴|t|≤2，
故y=|f（t）|=
|
=
|f（2）
+f（﹣2）
+t2
+f（0）|
t+f（0）|
≤|t（t+2）
|+|t（t﹣2）
|+|4﹣t2|
=|t|（t+2）
+|t|（2﹣t）
+（4﹣t2）
═（|t|﹣1）2
+
≤，
故选：C．
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1
的底面积为
（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）求异面直线A1C与AB所成的角的大小．
，侧面积为36；
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．
【分析】（1）设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为a，高为h，由底面积和侧面积公式列出方程组，求出a=3，h=4，由此能求出正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积． （2）由AB∥A1B1，知∠B1A1C是异面直线A1C与AB所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1C与AB所成的角．
【解答】解：（1）设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为a，高为h，
则，
解得a=3，h=4，
∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC
?h=
（2）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AB∥A1B1，
∴∠B1A1C是异面直线A1C与AB所成的角（或所成角的补角）， 连结B1C，则A1C=B1
C=5， ．
在等腰△A1B1C中，
cos
=
=，
∵∠A1B1C∈（0，π）
，∴
∴异面直线A1C与AB所成的角为
arccos． ．
18．已知椭圆C
的长轴长为
（1）求C的标准方程；
（2）设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，
且试求直线l的倾斜角．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意可知：设椭圆方程为：
a=，即可求得椭圆的标准方程； 2a=2（a＞b＞0），则c=2，
，
，，左焦点的坐标为（﹣2，0）；
（2）设直线l的方程为：y=k（x﹣2），将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得k的值，即可求得直线l的倾斜角．
【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为：
＞b＞0），
则c=2，2a=2
b==2，
； ，
a=， （a∴C
的标准方程
（2）由题意可知：椭圆的右焦点（2，0），设直线l的方程为：y=k（x﹣2），设点A（x1，y1），B（x2，y2）
；整理得：（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，
韦达定理可知：x1+x2
=，x1x2
=，
丨
=
?
=
?
AB=丨
，由丨AB丨=
，
=，解得：k2=1，故k=±1，
或． 经检验，k=±1，符合题意，因此直线l
的倾斜角为
19．设数列{xn}的前n项和为Sn，且4xn﹣Sn﹣3=0（n∈N*）；
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）若数列{yn}满足yn+1﹣yn=xn（n∈N*），且y1=2
，求满足不等式
正整数n的值．
【考点】数列与不等式的综合．
【分析】（1）由4xn﹣Sn﹣3=0（n∈N*），可得n=1时，4x1﹣x1﹣3=0，解得x1．n≥2时，由Sn=4xn﹣3，可得xn=Sn﹣Sn﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出． （2）yn+1﹣yn=xn
=，且y1=2，利用yn=y1+（y2﹣y1）+（y3﹣y2）+…+（yn﹣
，化简即可得出． 的最小yn﹣1）与等比数列的求和公式即可得出yn
．代入不等式
【解答】解：（1）∵4xn﹣Sn﹣3=0（n∈N*），∴n=1时，4x1﹣x1﹣3=0，解得x1=1．
n≥2时，由Sn=4xn﹣3，∴xn=Sn﹣Sn﹣1=4xn﹣3﹣（4xn﹣1﹣3），∴xn
=列{xn}
，是等比数列，公比为．
∴xn
=．
，且y1=2， ，∴数（2）yn+1﹣yn=xn
=
∴yn=y1+（y2﹣y1）+（y3﹣y2）+…+（yn﹣yn﹣1）
=2+1
+
++…
+=2
+=3
×﹣1．当n=1时也满足． ∴yn=3
×﹣1．
不等式
∴满足不等式
，化为：
=，∴n﹣1＞3，解得n＞4．
的最小正整数n的值为5．
20．设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；
（1）当m=2
时，解不等式
（2）若f（0）=1
，且
围；
（3）如果函数f（x）的图象过点（98，2），且不等式f[cos（2nx）]＜lg2对任意n∈N均成立，求实数x的取值集合．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】（1）根据对数的运算解不等式即可．
（2）根据f（0）=1，求f（x
）的解析式，根据
上有实数解，分离λ，可得λ=lg（x+10）
﹣
求在闭区间[2，3]上的值域即为λ的范围．
（3）函数f（x）的图象过点（98，2），求f（x）的解析式，可得f（x）=lg（2+x）那么：不等式f[cos（2nx）]＜lg2转化为lg（2+cos（2nx））＜lg2转化
为
，求解x，又∵2+x＞0，即x＞﹣2和n∈N．讨论k的范围可得
答案．
【解答】解：函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；
（1）当m=2时，f（x）=lg（x+2）
那么：不等式
可得：
解得：，且．
} ；即lg
（+2）＞lg10，
； 在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范在闭区间[2，3]，令F（x）=lg（x+10）
﹣，∴不等式的解集为{x
|
（2）∵f（0）=1，可得m=10．
www.99jianzhu.com/包含内容：建筑图纸、PDF/word/ppt 流程，表格，案例，最新,免费下载,施工方案、工程书籍、建筑论文、合同表格、标准规范、CAD图纸等内容。