山东2015年高考 文科数学试题和答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1. 已知集合A={x|2<x<4}，B={x|（x-1）（x-3）<0}，则AB=( )
（A）（1,3） （B）（1,4） （C）（2,3） （D）（2,4）
2. 若复数Z满足=i，其中i为虚数单位，则Z=( )
（A）1-i（B）1+i（C）-1-i（D）-1+i
3. 设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
（A）a＜b＜c（B）a＜c＜b （C）b＜a＜c （D）b＜c＜a
4. 要得到函数y=sin（4x-）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）
（A）．向左平移个单位（B）向右平移个单位
（C）.向左平移
5. 设个单位 （D）向右平移个单位 有实根”的逆否命题是( )
有实根，则
没有实根，则0 0 ,命题“若m>0,则方程?A.?若方程?.若方程有实根，则>0 ?B.若方程没有实根，则>0?.若方程
6. 为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.
其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( )
（A）①③ (B) ①④ (C) ②③(D) ②④
1
7. 在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“”发生的概率为( )
（A） （B） （C） （D） 8.
若函数
（A）(是奇函数，则使f（x）>3成立的x的取值范围为( ) ) (B)() （C）（0,1） （D）（1，+）
9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为?，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （?）
????（?）????（）?????（）????
10. 设函数，若，则b=( )
（A）1 （B） （C） (D)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11. 执行右边的程序框图，若输入的x的值为1，
则输出的y的值是
_________.
12. 若x,y满足约束条件
13. 过点P（1，）作圆则的最大值为__________. =________. 的两条切线，切点分别为A，B，则
14. 定义运算“
是________. ”：（）.当时，的最小值
2
3
（I）求数列
（II）设的通项公式； ，求数列的前项和.
20. (本小题满分13分)设函数线平行. .
已知曲线在点处的切线与直
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程
请说明理由；
（Ⅲ）设函数（min{p，q}表示，p，q中的较小值），求m(x)的最大值. 在内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，
21. (本小题满分14分)平面直角坐标系中，已知椭圆C：的离心率为，且点（，）在椭圆C上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆E：
射线PO交椭圆E于点Q. ，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线交椭圆E于A，B两点，
（i）求
(ii)求
答案
的值； 面积的最大值.
1．【答案】C【解析】
试题分析：因为所以，故选C.
考点：1.集合的基本运算；2.简单不等式的解法.
2. 【答案】C
4
考点：1.
复数的运算；2.共轭复数.
3. 【答案】C【解析】
试题分析：由在区间是单调减函数可知，，又，故选C. 考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.
4. 【答案】B
考点：三角函数图象的变换.
5. 【答案】D【解析】
试题分析：一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D.考点：命题的四种形式.
6. 【答案】B
考点：1.茎叶图；
2.平均数、方差、标准差.
7. 【答案】A【解析】试题分析：由得，
，所以，由几何概型概率的计算公式得，
，故选A.考点：1.几何概型；2.对数函数的性质.
5
8.
【答案】C【解析】试题分析：由题意，即所以，
，
数的奇偶性；2.指数运算.
9. 【答案】B 由得，故选C.考点：1.函
考点：1.旋转体的几何特征；2.几何体的体积. 10. 【答案】D【解析】试题分析：由题意，由得，或，解得，故选D.
考点：1.分段函数；2.函数与方程.
11. 【答案】考点：算法与程序框图.
12. 【答案】【解析】试题分析：画出可行域及直线，平移直线
. ，当其经过点时，直线的纵截距最大，所以最大为
6
考点：简单线性规划.
13. 【答案】
考点：1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积.
14. 【答案】
【解析】
试题分析：由新定义运算知，，因为，，
所以，，当且仅当时，
的最小值是.
考点：1.新定义运算；2.基本不等式.
15. 【答案】
7
考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程.
16. 【答案】(1)；(2).
【解析】
试题分析：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有
述一个社团的共有人，故至少参加上人，所以从该班级随机选名同学，利用公式计算即得.
(2)从这名男同学和名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
，共
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.
事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：，共个. 个.
应用公式计算即得.
试题解析：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有
述一个社团的共有人，故至少参加上人，所以从该班级随机选名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为
(2)从这名男同学和名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
，共
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.
8
个.
事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：，共个. 因此被选中且未被选中的概率为.
考点：1.古典概型；2.随机事件的概率.
17. 【答案】
由正弦定理可得，结合即得
试题解析：在中，由，得.
因为，所以，
因为，所以，为锐角，，
因此. 由可得，又，所以. 考点：1.两角和差的三角函数；2.正弦定理.
18. 【答案】证明见解析
9
思路二：在三棱台可得
在
得到
得到平面
(II)证明：连接
又
又为为平行四边形，中，又平面.根据. 分别为的中点，得到 由得，分别为， 中，由 的中点， 为的中点， 的中点，得到四边形，得到. 是平行四边形，从而
试题解析：（I）证法一：连接
分别为
为
又的中点，又平面，的中点，可得是设,连接，在三棱台中，是平行四边形，则，所以四边形, 平面. 的中点，所以平面，所以
证法二：在三棱台
可得
在
中，由所以为的中点， 为平行四边形，可得的中点， 中，分别为10
所以所以平面
因为
所以又平面平面平面， . ， ，
(II)证明：连接
又
又
又
又为.因为分别为的中点，所以因此四边形. ，，所以平面，所以平面 平面， 由是平行四边形，所以得 ，的中点，所以，所以平面平面
考点：1.平行关系；2.垂直关系.
19.【答案】（I）
【解析】
试题分析：（I）设数列的公差为， (II)
令得，得到.
令
解得得即得解. ，得到.
（II）由（I）知
从而得到 利用“错位相减法”求和. 11
试题解析：（I）设数列的公差为，
令得，所以.
令得，所以.
解得，所以
（II）由（I）知所以 所以
两式相减，得
所以
考点：1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法] 20. 【答案】（I）；(II)；(III).
【解析】
试题分析：（I）由题意知，，根据即可求得. （II）时，方程在内存在唯一的根.
设
通过研究时，.又 得知存在，使.
应用导数研究函数的单调性，当时，单调递增. 作出结论：时，方程在内存在唯一的根. 12
（III）由（II）知，方程在内存在唯一的根，且时，，
时，
当时，研究得到，得到 .
当时，应用导数研究得到且.
综上可得函数的最大值为.
在点处的切线斜率为，所以， 试题解析：（I）由题意知，曲线
又
（II）所以时，方程. 在内存在唯一的根.
设
当时，.
又
所以存在，使.
因为
所以当
所以时，时，方程所以当单调递增. 在
在时，，当时，， 内存在唯一的根. 内存在唯一的根，且时，，（III）由（II）知，方程
时，
当
，所以 . 时，若13
若由可知故 当时，由
单调递减； 可得时，单调递增；时，
可知且.
综上可得函数的最大值为.
考点：1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、最值. 21. 【答案】（I）；（II）（i）；（ii）
【解析】
试题分析：（I）由题意知又，解得. （II）由（I）知椭圆E的方程为.
设由题意知.
根据
（ii）设
由可得及将，知. ，代入椭圆E的方程，可得????????①
应用韦达定理计算及的面积
设
得
将直线代入椭圆C的方程，可得，由可????????② 14
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