[来源学科网] 2016年高考题 函数与导数部分
321. 【2014年全国I高考】11. 已知函数f(x)=ax?3x?1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的
取值范围为
A.（2，+∞）B.（-∞，-2）C.（1，+∞）D.（-∞，-1）
bex?1
21. 【2014年全国I高考】设函数f(x)?aelnx?，曲线y?f(x)在点（1，f(1)）处的切线为xx
y?e(x?1)?2.（I）求a,b； （Ⅱ）证明：f(x)?1.
解：(Ⅰ) 函数f(x)的定义域为?0,???，f?(x)?aexlnx?axbx?1bx?1e?2e?e,由题意可得xxx
f(1)?2,f?(1)?e，故a?1,b?2
2ex?12（Ⅱ）由(Ⅰ)知,f(x)?elnx?，从而f(x)?1等价于xlnx?xe?x?,设函数g(x)?xlnx，则xex
?1??1??1?g?(x)?x?lnx，所以当x??0,??时，g?(x)?0，当x??,???时，g?(x)?0，故g(x)在?0,?单?e??e??e?
调递减，在?,???单调递增，从而g(x)在?0,???的最小值为g()??.设函数h(x)?xe?x??1
?e??1e1e2，则e
h?(x)?e?x?1?x?，所以当x??0,1?时，h?(x)?0，当x??1,???时，h?(x)?0，故h(x)在?0,1?单调递增，在?1,???单调递减，从而h(x)在?0,???的最大值为h(1)??.综上：当x?0时，g(x)?h(x)，即1
e
f(x)?1.
2.【2015年全国I高考】设函数f(x)＝e(2x－1)－ax＋a，其中a1，若存在唯一的整数x0，使得x
f(x0)0，则a的取值范围是()
A.[?333333，1) B. [?,) C. [,) D. [，1) 2e42e42e2e
3【2015年全国I高考】已知函数f(x)＝x?ax?1,g(x)??lnx 4
(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线y?f(x) 的切线；
(Ⅱ)用min ?m,n? 表示m，n中的最小值，设函数h(x)?minf(x),g(x)
数 ??(x?0) ，讨论h(x)零点的个
(x0,0)则f(x0)?0,f(x0)?0即
1?3??x0?ax0??0?[解析] （I）设曲线y=f(x)与x轴相切于点?4?
2?3x?a?0??0?
13解得x0,a??24
3因此，当a??时，x轴为曲线y?f(x)的切线 4 （II）当x?(1,??)时，g(x)??1nx?0,从而h(x)=min?f(x),g(x)??g(x)?0,故h(x)在(1,??)无零点
55当x?1时，若a??则f(1)?a??0,h(1)?min?f(1),g(1)??g(1)?0,故x? 44
5是h(x)的零点；若a??,则f(1)<0,h(1)=min?f(1),g(1)??f(1)?0,故x?1不是h(x4的零点
当x?(时，0,x1)?n?gx所以只需考虑(?)1(x)在（00,1.）的零点个数 f
（i）若a?-3或a?0,则f?（x）=3x2+a在（1,0）无零点，故f(x)在（0,1）单调
15f(0)?,f(1)a?,所以当a?-3时，f(x)在（0,1）有一个零点；当a?0时f(x)在（1,0
）没有零点44
(ii)若?3?a?0,则f(x)在（00,1）中
当x?f(x)取得最小值，最小值为f?
3①若f?0.即??a?0,f(x)在（0,1）无零点；4
3②若f即a=-则f(x)在(0,1)有唯一零点4
3153③若f?0,即?3?a??,由于f(0)?,f(1)?a??a??4444
5时，f(x)在（0,1）有两个零点；当-3<a?-时，f(x)在(0,1)有一个零点. 4
3535综上，当a??或a<-时，h(x)有一个零点；当a??或a??时，h(x)有两个零点 4444
53当??a??时，h(x)有三个零点. 44
3. 【2016年全国I高考】已知函数f(x)?(x?2)ex?a(x?1)2有两个零点．
（Ⅰ）求a的取值范围； （Ⅱ）设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1?x2?2．
【解析】：⑴ 由已知得：f'?x???x?1?ex?2a?x?1???x?1?ex?2a
① 若a?0，那么f?x??0??x?2?ex?0?x?2，f?x?只有唯一的零点x?2，不合题意； ② 若a?0，那么ex?2a?ex?0，
所以当x?1时，f'?x??0，f?x?单调递增;当x?1时，f'?x??0，f?x?单调递减; 即：
??
由于f?2??a?0，f?1???e?0，则f?2?f?1??0，
根据零点存在性定理，f?x?在?
1,2?上有且仅有一个零点．
而当x?1时，ex?e，x?2??1?
0，
故f?x???x?2?ex?a?x?1??e?x?2??a?x?1??a?x?1??e?x?1??e
?1，t2??1， t1?t2，因为a?0，故当x?t1或则f?x??0的两根t1?222
x?t2时，a?x?1??e?x?1??e?0
因此，当x?1且x?t1时，f?x??0
又f?1???e?0，根据零点存在性定理，f?x?在???,1?有且只有一个零点．
此时，f?x?在R上有且只有两个零点，满足题意． 2
e③ 若??a?0，则ln??2a??lne?1， 2
当x?ln??2a?时，x?1?ln??2a??1?0，ex?2a?e即f'?x???x?1?ex?2a?0，f?x?单调递增； 当ln??2a??x?1时，x?1?0，ex?2a?e递减；
当x?1时，x?1?0，ex?2a?e即：
ln??2a?
ln??2a?
?2a?0，
??
ln??2a?
?2a?0，即f'?x???x?1?ex?2a?0，f?x?单调
??
?2a?0，即f'?x??0，f?x?单调递增．
f??ln??2a?????2a??ln??2a??2???a??ln??2a??1???a??ln??2a??2???1?0
2
?
2
?
故当x≤1时，f?x?在x?ln??2a?处取到最大值f??ln??2a????0恒成立，?ln??2a???，那么f?x?≤f?即f?x??0无解而当x?1时，f?x?单调递增，至多一个零点 此时f?x?在R上至多一个零点，不合题意．
e
④ 若a??，那么ln??2a??1
2
当x?1?ln??2a?时，x?1?0，ex?2a?e
ln??2a?ln??2a?
?2a?0，即f'?x??0，f?x?单调递增 ?2a?0，即f'?x??0，f?x?单调递增
当x?1?ln??2a?时，x?1?0，ex?2a?e
又f?x?在x?1处有意义，故f?x?在R上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．
e
⑤ 若a??，则ln??2a??1
2
当x?1时，x?1?0，ex?2a?e1?2a?e
ln??2a?
?2a?0，即f'?x??0，f?x?单调递增 ?2a?0，即f'?x??0，f?x?单调递减
ln??2a?
当1?x?ln??2a?时，x?1?0，ex?2a?e
ln??2a?
当x?ln??2a?时，x?1?ln??2a??1?0，ex?2a?e即：
?2a?0，即f'?x??0，f?x?单调递增
故当x即f?x??0无解
当x?ln??2a?时，f?x?单调递增，至多一个零点,此时f?x?在R上至多一个零点，不合题意．综上所述，当且仅当a?0时符合题意，即a的取值范围为?0,???． ⑵ 由已知得：f?x1??f?x2??0，不难发现x1?1，x2?1，
x1?2?ex?故可整理得：?a?2?x1?1?
21?x2?2?ex?2?x2?1?2, ?x?2?exg?x??，则g?x1??g?x2? 2?x?1??x?2??1x，当x?1时，g'x?0，gx单调递减；当x?1时，g'x?0，gx单调递增． g'?x??e????????3x?1??
m?1?m?11?m1?m1?m?m?12m?e?2e?e?1? 设m?0，构造代数式：g?1?m??g?1?m??2e1?m?2mmmm?1??
m?12m2m2
设h?m??故h?m?单调递增，有h?m??h?0??0．因此，e?1，m?0,则h'?m??e2m?0，2m?1?m?1?
对于任意的m?0，g?1?m??g?1?m?．由g?x1??g?x2?可知x1、x2不可能在g?x?的同一个单调区间上，不妨设x1?x2，则必有x1?1?x2，令m?1?x1?0，则有
g??1??1?x1????g??1??1?x1????g?2?x1??g?x1??g?x2?，而2?x1?1，x2?1，g?x?在?1,???上单调递增，因此：g?2?x1??g?x2??2?x1?x2，整理得：x1?x2?2．
导函数的应用：
【命题意图】 导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性可以描绘出函数图象大致的
变化趋势，是进一步解决问题的依据.分类讨论思想具有明显的逻辑特征，是整体思想
一个重要补充，解决这类问题需要一定的分析能力和分类技巧.因此高考对这类题主要
考查导数的运算、代数式化简与变形，考查运算求解能力，运用数形结合、分类讨论
的思想方法分析与解决问题能力.
【得分要点】
1.研究函数单调区间，实质研究函数极值问题.分类讨论思想常用于含有参数的函数的极值问题，大体上可分为两类，一类是定区间而极值点含参数，另一类是不定区间（区间含参数）极值点固定，这两类都是根据极值点是否在区间内加以讨论，讨论时以是否使得导函数变号为标准，做到不重不漏.
2.求可导函数单调区间时首先坚持定义域优先原则，必须先确定函数的定义域，尤其注意定义区间不连续的情况，此时单调区间按断点自然分类；其次，先研究定义区间上导函数无零点或零点落在定义区间端点上的情况，此时导函数符号不变，单调性唯一；对于导函数的零点在定义区间内的情形，最好列表分析导函数符号变化规律，得出相应单调区间.
3.讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制.
4.含参数的函数的极值(最值)问题常在以下情况下需要分类讨论：
(1)导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；
(2)导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论；
(3)端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；
(4)参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论.
5.求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f?(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f?(x)?0或f?(x)?0的解集．
(4)由f?(x)?0（f?(x)?0）的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．
6．由函数f(x)在(a,b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f?(x)?0 (或f?(x)?0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．
7. 求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．
8. 函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用.
9. 导数及其应用通常围绕四个点进行命题．
第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；
第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；
第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用； 第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．
10.函数的极值与导数
（1）函数极值的概念
设函数y?f(x)在x0附近有定义，若对x0附近的所有点，都有f(x)?f(x0)，则称f(x0)是函数f(x) 的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；
设函数y?f(x)在x0附近有定义，若对x0附近的所有点，都有f(x)?f(x0)，则称f(x0)是函数f(x) 的一个极小值，记作y极小值=f(x0).
注意：极值是研究函数在某一点附近的性质，使局部性质;极值可有多个值，且极大值不定大于极小值;极
值点不能在函数端点处取.
（2）函数极值与导数的关系
当函数y?f(x)在x0处连续时，若在x0附近的左侧f/(x)?0，右侧f/(x)?0，那么f(x0)是极大值；若在x0附近的左侧f/(x)?0，右侧f/(x)?0，那么f(x0)是极小值.
注意：
①在导数为0的点不一定是极值点，如函数y?x3，导数为y/?3x2，在x?0处导数为0，但不是极 值点；
②极值点导数不定为0，如函数y?|x|在x?0的左侧是减函数，右侧是增函数，在x?0处取极小值，但在x?0处的左导数lim??x?0?(0??x)?(?0)(0??x)?(0)=-1，有导数lim?=1，在x?0处的导数?x?0?x?x
不存在.
（3）函数的极值问题
①求函数的极值，先求导函数，令导函数为0，求出导函数为0点，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点取极小值，要说明在哪一点去极大（小）值；
②已知极值求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0，列出关于参数方程，求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0的必要不充分条件，故需将参数代入检验在给点的是否去极值；[来源学&科&网]
③已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于0，求出参数的范围.
11.最值问题
（1）最值的概念
对函数y?f(x)有函数值f(x0)使对定义域内任意x，都有f(x)?f(x0)（f(x)?f(x0)）则称f(x0)是函数y?f(x)的最大（小）值.
注意：①若函数存在最大（小）值，则值唯一；最大值可以在端点处取；若函数的最大值、最小值都存在，则最大值一定大于最小值.
②最大值不一定是极大值，若函数是单峰函数，则极大（小）值就是最大（小）值.
（2）函数最问题
①对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；
②对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式f(x)≤（≥）g(a)（x 是自变量，a是参数）恒成立问题，g(a)≥f(x)max（≤f(x)min），转化为求函数的最值问题，注意函数最值与极值的区别与联系.
【练习1】设函数f(x)?xea?x?bx，曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y?(e?1)x?4，
（1）求a，b的值； （2）求f(x)的单调区间.
【解析】（1）因为f(x)?xea?x?bx，所以f?(x)?(1?x)ea?x?b.依题设，??f(2)?2e?2,即?f(2)?e?1,?
?2ea?2?2b?2e?2,2?x解得（2）由（Ⅰ）知a?2,b?ef(x)?xe?ex. ?a?2；??e?b?e?1,
由f?(x)?e2?x(1?x?ex?1)即e2?x?0知，f?(x)与1?x?ex?1同号.令g(x)?1?x?ex?1，则g?(x)??1?ex?1.所以，当x?(??,1)时，g?(x)?0，g(x)在区间(??,1)上单调递减；当x?(1,??)时，g?(x)?0，g(x)在区间(1,??)上单调递增.故g(1)?1是g(x)在区间(??,??)上的最小值，从而g(x)?0,x?(??,??). 综上可知，f?(x)?0，x?(??,??)，故f(x)的单调递增区间为(??,??).
【练习2】设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f(x)?11?x?e在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数). x
（【答案】（Ⅰ）当x
?
1递增；（Ⅱ）a?[,?
). 2时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x
?+?)时，f'(x)>0，f(x)单调
【练习3】 已知函数f(x)?x3?ax2?b(a,b?R).
（1）试讨论f(x)的单调性；
（2）若b?c?a（实数c是a与无关的常数），当函数f(x)有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(??,?3)?(1,)?(,??)，求c的值.
【答案】（1）当a?0时， f?x?在???,???上单调递增；
当a?0时， f?x?在???,?3232?
?2a??2a?0,??，上单调递增，在?????,0?上单调递减； 3??3?
2a??2a??,???上单调递增，在?0,??上单调递减． 3??3??当a?0时， f?x?在???,0?，??
（2）c?1.
【练习4】已知函数f(x)?nx?x,x?R，其中n?N,n?2. (I)讨论f(x)的单调性；
(II)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证：对于任意的正实数n*
x，都有f(x)?g(x)；
(III)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实根x1，x2，求证： |x2-x1|<a+2 1-n
【答案】(I) 当n为奇数时，f(x)在(??,?1)，(1,??)上单调递减，在(?1,1)内单调递增；当n为偶数时，f(x)在(??,?1)上单调递增，f(x)在(1,??)上单调递减. (II)见解析； (III)见解析
.
2(III)证明：不妨设x1?x2，由(II)知g(x)?n?n???x?x?，设方程g(x)?a的根为x?，可得 02
x2??a?x0.，当n?2时，g(x)在???,???上单调递减，又由(II)知g(x2)?f(x2)?a?g(x2?),可得2n?n
x2?x2?.类似的，设曲线y?f(x)在原点处的切线方程为y?h(x)，可得h(x)?nx，当x?(0,??)，
af(x)?h(x)??xn?0，即对任意x?(0,??)，f(x)?h(x).设方程h(x)?a的根为x1?，可得x1??，因n
为h(x)?nx在???,???上单调递增，且h(x1?)?a?f(x1)?h(x1)，因此x1??x1.由此可得
1an?1n?11nx2?x1?x2??x1???x0.因为n?2，所以2?(1?1)?1?Cn?1?1?n?1?n，故2?n?1?x0， 1?n
a?2. 1?n
22【练习5】已知函数f(x)??2(x?a)lnx?x?2ax?2a?a，其中a?0.所以x2?x1?
（1）设g(x)是f(x)的导函数，评论g(x)的单调性； [来源学*科*网]
（2）证明：存在a?(0,1)，使得f(x)?0在区间(1,+?)内恒成立，且f(x)?0在(1,+?)内有唯一解
.
【练习6】设a?1，函数f(x)?(1?x2)ex?a．
(1) 求f(x)的单调区间 ； (2) 证明：f(x)在???,???上仅有一个零点；
(3) 若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行（O是坐标原点）,证明：m?a?2?1． e
2x2【解析】（1）依题f'?x??1?x'e?1?x?????e?'??1?x?x2ex?0，
∴ f?x?在???,???上是单调增函数；
（2）∵ a?1，
2a2∴ f?0??1?a?0且f?a??1?ae?a?1?a?a?0， ??
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