2017数学第一轮复习
第4讲 二次根式
考点一、二次根式（初中数学基础，分值很大）
1、二次根式 式子
(a?0)叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
2、最简二次根式
若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式的性质
（1）(a)2?a(a?0)
a(a?0)
（2）a2?a?
?a(a?0)
（3）ab?a?(a?0,b?0) （4）aa(a?0,b?0) b
5、二次根式混合运算
二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
A级 基础题
1．下列二次根式是最简二次根式的是() 1A.2B.4C.38
2．下列计算正确的是() A.20＝2 10B.3＝6C.4－2＝2 D.?－3?＝－3
3．若a＜1，化简?a－1?－1＝()
A．a－2B．2－aC．a D．－a
4．(广西玉林)计算：3 22＝()A．3B.2 C．
2 2 D．4 2
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5．如图X1－3－3，数轴上A、B两点表示的数分别为－13，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为( )
图X1－3－3
A．－2－3 B．－1－3C．－23 D．13
16．(湖南衡阳)计算：123＝__________.7．(辽宁营口)计算18－2 2＝________.
8．已知一个正数的平方根是3x－2和5x＋6，则这个数是__________．
93，7，11表示在数轴上，其中能被如图X1－3－4所示的墨迹覆盖的数是__________．
图X1－3－4
10．(四川内江)计算：3tan30°－(π－2 011)08－|1－2|.
B级 中等题
11．(安徽)设a＝19－1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是( )
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
12．(山东烟台)如果?2a－1?＝1－2a，则( )
1111A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2
13．(浙江)已知m＝1＋2，n＝1－2，则代数式m＋n－3mn的值为( )
A．9 B．±3 C．3 D．5
14．(福建福州)若20n是整数，则正整数n的最小值为________．
15．(贵州贵阳)如图X1－3－5，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )
图X1－3－5
A．2.5 B．2 3 D.5
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－2
－|3－18|＋83×(－0.125)3. 16．(四川凉山州)计算：(sin30°)＋0
C级 拔尖题
17．(湖北荆州)若x－2y＋9与|x－y－3|互为相反数，则x＋y的值为( )
A．3 B．9 C．12 D．27
18．(山东日照)已知x，y为实数，且满足1＋x－(y－1)1－y＝0，那么x2 011－y2 011＝______.
选做题
19．(四川凉山州)已知y＝2x－5＋5－2x－3，则2xy的值为( )
1515A．－15 B．15 C．－2 D.2考点一、一元一次方程的概念 （6分）
1、方程
含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解
能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
4、一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程ax?b?（0x为未知数，a?0） 叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。
考点二、二元一次方程组 （8~10分）
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（
2、二元一次方程的解
使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组
两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
4二元一次方程组的解
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
5、二元一次方正组的解法
（1）代入法（2）加减法
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6、三元一次方程
把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。
7、三元一次方程组
由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组
A级 基础题
1．(山东枣庄)“五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折(标价的80%)销售，售价为2 080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A．x(1＋30%)×80%＝2 080 B．x×30%×80%＝2 080
C．2 080×30%×80%＝xD．x×30%＝2 080×80%
2．(广西桂林)二元一次方程组?
A. ??x?y?3.的解是( ) 2x?4??x?3,?x?1,?x?5,?x?2,B.?C.? D.? y?0y?2y??2y?1????
3．(湖南衡阳)为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍．若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，列二元一次方程组得( )
A. ??x?y?50,?x?y?50,?x?y?50,?x?y?50,B.?C.?D.? ?6(x?y)?320?6x?10y?320?6x?y?320?10x?6y?320
4．(贵州铜仁)铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是( )
A．5(x＋21－1)＝6(x－1) B．5(x＋21)＝6(x－1)
C．5(x＋21－1)＝6xD．5(x＋21)＝6x
5．已知关于x的方程3x－2m＝4的解是x＝m，则m的值是________．
6．方程组??x?y?2,的解是__________． 2x?y?1?
7．(湖南湘潭)湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人．我市某九年级一学生家长准备中考后全家3人去台湾旅游，计划花费20 000元．设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5 000元用于购物和品尝台湾美食．根据题意，列出方程为__________________．
8．(年江苏苏州)我国是一个淡水资源严重缺乏的国家．有关数据显示，中国人均淡水资
1源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的5，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13 800 m3.
问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少(单位：m3)?
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B级 中等题
19．(贵州黔西南)已知－2xm－1y3与2nym＋n是同类项，那么(n－m)2 012＝______.
10．(山东菏泽)已知??mx?ny?8,?x?2,是二元一次方程组的解?则2m－n的算术平方根为nx?my?1,y?1??
( )A．± 2 B.2 C．2 D．4
11．(湖北咸宁)某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1 020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，则入住单人间和双人间各5个共需____________元．
12．(内蒙古呼和浩特)解方程组：
?4(x?y?1)?3(1?y)?2,? ?xy??2.??23
C级 拔尖题
13．如图X2－1－1，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)．
(1)求b的值．
(2)不解关于x，y的方程组??y?x?1,请你直接写出它的解． y?mx?n,?
(3)直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．
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图X2－1－1
14．(江西南昌)小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．
妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；
爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨的单价上涨20%”；
小明说：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”
请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)．
选做题
15．(上海)解方程组：?
16．若关于x，y的二元一次方程组??x?y?5k,的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，则k的x?y?9k??x?y?2, 22x?2xy?3y?0.?
值为( )
3344A．－4 B.4 C.3D．－3
第2课时 分式方程
考点一、分式方程 （8分）
1、分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法
换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
A级 基础题
71．(广西北海)分式方程＝1的解是( )A．－1B．1 C．8 D．15 x－8
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21＝x化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( ) x＋4
A．x B．2xC．x＋4 D．x(x＋4)
100603．(湖北随州)分式方程＝的解是( ) 20＋v20－v
A．v＝－20 B．v＝5 C．v＝－5 D．v＝20
314．(四川成都)分式方程2x＝( ) x－1
A．x＝1 B．x＝2C．x＝3 D．x＝4
5．(四川内江)甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用的时间相同．已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是( )
3040304030403040A.x＝B.xx＝D.xx－15x－15x＋15x＋15
x2－16．方程 ＝0的解是________． x＋1
7．(江苏连云港)今年6月1日起，国家实施了《中央财政补贴条例》，支持高效节能电器的推广使用．某款定速空调在条列实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用1万元所购买的此款空调台数，条例实施后比条例实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为 __________元．
218．(山东德州)解方程：＝1. x－1x＋1
3－x19．(江苏泰州)当x为何值时，分式3? 2－xx－2
2．(浙江丽水)把分式方程
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10．(北京)据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1 000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同．求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．
B级 中等题
1111．(山东莱芜)对于非零实数a，b，规定a⊕b＝ba若2⊕(2x－1)＝1，则x的 值为( )
5531A. B. C. D．－6426
x＋m212．(四川巴中)若关于x的方程＝2有增根，则m的值是________． x－22－x
13．(山东菏泽改编)我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12 000元购进的科普书与用8 000元购进的文学书的本数相等．
C级 拔尖题
15．(江苏无锡)某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：
投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购．投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：
方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%； 方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．
(1)请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么(注：投资
投资收益收益率＝×100%)? 实际投资额
(2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？
选做题
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14．(山东日照)某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1 936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1 936元．请问该学校九年级学生有多少人？
15．(湖北黄冈)某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800 件投入市场，服装厂有A，B两个制衣车间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2 倍，A，B 两车间共同完成一半后，A车间出现故障停产，剩下全部由B车间单独完成，结果前后共用20 天完成，求A，B两车间每天分别能加工多少件．
第3课时 一元二次方程
考点一、一元二次方程 （6分）
1、一元二次方程
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
ax2?bx?c?0(a?0)，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
考点二、一元二次方程的解法 （10分）
1、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(x?a)2?b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x?a是b的平方根，当b?0时，x?a??b，x??a?b，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式a2?2ab?b2?(a?b)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x2?2bx?b2?(x?b)2。
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的求根公式：
?b?b2?4ac2x?(b?4ac?0) 2a
4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
考点三、一元二次方程根的判别式 （3分）
根的判别式
一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)中，b2?4ac叫做一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根的判别式，通常用“?”来表示，即??b2?4ac
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考点四、一元二次方程根与系数的关系 （3分）
bc如果方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1，x2，那么x1?x2??，x1x2?。也就是aa
说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
A级 基础题
1．(江苏泰州)一元二次方程x2＝2x的根是( )
A．x＝2 B．x＝0C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2
2．方程x2－4＝0的根是( )
A．x＝2 B．x＝－2C．x1＝2，x2＝－2 D．x＝4
3．(安徽)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )
A．－1 B．2C．1和2 D．－1和2
4．(贵州安顺)已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是( )
A．1 B．－1C．0 D．无法确定
5．(湖北武汉)若x1，x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，则x1＋x2的值是( )
A．－2 B．2 C．3 D．1
6．(湖南常德)若一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是( )
1A．m≤－1 B．m≤1C．m≤4 D．m≤2
7．(江西南昌)已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是( )
11A．1 B．－1 C.4D．－4
8．(上海)如果关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0(c是常数)没有实根，那么c的取值范围是__________．
9．(山东滨州)某商品原售价为289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的分率为x, 可列方程为_______________________________________________。
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10．解方程： (x－3)2＋4x(x－3)＝0.
B级 中等题
11．(内蒙古呼和浩特)已知：x1，x2是一元二次方程x2＋2ax＋b＝0的两个根，且x1＋x2＝3，x1x2＝1，则a，b的值分别是( )
33A．a＝－3，b＝1 B．a＝3，b＝1C．a＝－2，b＝－1 D．a＝－2b＝1
12．(山东潍坊)关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是( )
A．k为任何实数，方程都没有实数根
B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
213．(山东德州)若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，则x1＋x22＝__________.
14．(2011年江苏苏州)已知a，b是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个实数根，则代数式(a－b)(a＋b－2)＋ab的值等于________．
15．(山西)山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2 240元，请回答：
(1)每千克核桃应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
16．(湖南湘潭)如图X2－1－2，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.
X2－1－2
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C级 拔尖题
17．(湖北襄阳)如果关于x的一元二次方程kx22k＋1x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( )
111111A．k＜2B．k＜2且k≠0C．－2k＜2．－2k＜2k≠0
选做题
18．(江苏南通)设α，β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝________.
19．三角形的每条边的长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则三角形的周长是________．
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