让课例成为学科教研的有效载体
——初中数学有效教研实践案例
社会发展，教育先行，教育发展，教师先行，教师发展，教研先行。随着新一轮课程改革的不断深入，社会对优质教育的需求越来越强烈，学生、家长对课堂教学的要求也越来越高，如何通过有效的教研活动促进教师专业发展和教学质量提高已成为当前教研部门的工作重心。然而，我们在调研中发现目前很多农村学校的学科教研活动质量不尽如人意，主要存在以下问题：①教研形式单一，简单的上课、听课、评课，单调乏味，缺乏新意；②教研内容没有针对性，教学中需要研讨的问题没能引起足够关注，教师的教学困惑及教学疑难问题没能得到有效解决；③教研活动缺乏主题，听课、评课都是脚踩西瓜皮滑到哪里算哪里；④教研主体意识缺失，教师被动参加教研活动，缺乏主动性和积极性；⑤教研效果低下，教师参加教研活动没有得到有益的收获；⑥教研力量不强，专业素养不高，对学科本质缺乏深刻理解和把握；⑦缺乏好的专业引领和示范，教师专业学习资源短缺；⑧教研环境有待优化，教研文化需要重构等等。
怎样才能尽快改变农村学校的教研现状，提高教研活动的实效性呢？通过调查、学习和思考，我们决定选择以课例为载体的行动研究教研模式。我们认为：课例研究围绕解决实际教学问题，它的全部过程就是为了真实的体认与展现上课教师的教学特点及其发展过程，使全体参与者都能获得对高效教学及其意义的理解。以课例为载体的行动研究是教师研究“课”的一种很好方式，在课例研究过程中产生的大量学习机会和材料都是教师学习的资源。通过课例研究，可以使教师切实了解课堂“操作”的实况，在专家和同伴的帮助下对课堂教学细节进行深刻剖析和研究，从中提炼成功经验、发现问题所在；通过课例研究，可以促进教师在教学活动中的思考与体验，帮助教师更好地理解学科本质，更好地改进自己的教学行为，从而提高执教能力。通过课例研究可以让教师研究自己的问题，解决自己的困惑，改进自己的教学。
一、以课例为载体的学科教研流程
在实践研究中，我们以提高教研质量为目标，以科学的课堂观察为手段，以课例分析为载体，以行动研究为主要方法，通过多次的筛选、实践、修正，逐渐形成了以下以课例为载体的学科教研流程：
①确定教研主题：对当前我县初中数学教学中存在的主要疑难问题进行梳理、整合，根据我们的研究力量和问题的轻重缓急，提炼确定教研主题。
②选定课例内容：确定贯穿研课始终的研究主题后，选择确立具体的教学研究内容和目标。并根据选定的教研主题和课例内容进行有针对性的学习。
③制定教学方案：确定授课教师，由教师个人或备课小组通过钻研教材拟定草稿，然后把最初的方案提交研究小组进行讨论，对草案进行二度修改，形成教学方案。
④实施课堂教学：确定实施这节课的时间，然后由授课教师来讲授这节课，研究小组成员等有关教师全部参与到课堂中进行观察、记录。
⑤教学评价反思：授课教师阐述自己这节课的实施情况及存在问题，观课教师从不同的观课角度对这节课进行点评，并提出自己的观点和建议，讨论确定修改意见。
⑥修订教学方案：根据课堂教学的反馈意见及教师本人的反思，调整目标定位和教学方法，对教学设计进行修订。
⑦改进课堂教学：在修订方案准备好之后，再由这个教师或研究小组的其他教师在不同的班级上这节课，对原有的教学设计、教学行为进行改进，指导教师和研究小组成员再次听课、观察和记录，并给出评价。
⑧形成教学课例：研究小组所有教师分工合作，对课例材料进行筛选和加工，形成较完整的课例。
⑨共享研究结果：写一份书面报告分发给研究小组教师和指导专家；把课例材料上传到我县初中数学名师工作室网站上供大家分享。
我们认为，这种以课例为载体的教研流程具有以下特征：
一是重实践：以课例为载体的教研过程实际上是一次深度“磨课”过程，即“实践——反思——再实践——再反思”的过程。一个课例的研究过程往往需要一个多月的时间，要通过一次又一次的教学实践来验证改进是否正确有效，然后在此基础上，总结经验，共享成果，体现了教研模式的实践性。
二是重发展：这种以课例为载体的教研模式不只关注教学本身，重要的是教师在教研过程中更加关注自己的发展，而且也只有自己的发展才能促进学生的发展，这是我们课题研究的根本——教师专业发展。我们的磨课活动把教师专业发展作为最终目的，尽管每节课后都要对教师作出评价，但这种评价是发展性的，评价的目的是让教师认识到课堂教学的优点和缺点，从而加以改进，取得教研活动的最大效果。教师在此过程中经历艰苦的磨课过程，教师的教学观念、教学方式和评价方式等都在螺旋上升中不断得以提高。
三是重合作：我们的课例研究不只是个体教学研究，更重要的是合作的团队研究，所有研究环节都是研究小组团队合作完成的。经常性的、常规性地进行以课例为载体的教学研讨，开放式地进行课堂教学展示，可以使大家聚焦共同的研究主题畅所欲言地评课、研讨，选题、备课、上课、观课、改课、记录等环节都是既有分工又有合作，你中有我，我中有你，最后形成的课例一定是大家共同合作的成果，并且在网站中公开，让所有人分享。这种合作研究的方法可以起到取长补短、扬长避短的作用，可以最大限度地发挥一线教师草根研究的优势。
二、以课例为载体的教研实践三阶段
根据课例研究理论和我县初中学科教研现状，我们设计了以下以课例为载体的教研实践三阶段：
1.深刻把握数学学科本质——寻根阶段
把握数学学科本质是一切数学教学的根，我们在听课、座谈中发现许多教师对这一点并不了解或很少思考，表现为：概念教学处理简单，介绍概念——记忆概念——套用概念，忽视数学概念的本质属性；活动教学用肢体的活跃代替思维的活跃，用形式的热闹掩盖数学本质的体验；数学思想方法的渗透成为“贴标签”式教学等。“打蛇打七寸”，有效教研就要抓住教学主要问题开展研究，所以我们把这一阶段的研究主题确定为“准确理解把握学科本质”，活动形式主要为学习与讨论。我们通过具体课例组织教师学习如何理解数学学科本质，使教师认识到某个具体内容的数学本质既表现为隐藏在客观事物背后的数学知识、数学规律，又表现为隐藏在数学知识背后的本质属性，还表现为统摄具体数学知识与技能的数学思想方法。教师只有准确把握学科本质，才有可能让数学课上出浓浓的 “数学味”。
2、难教难学问题解决——解疑阶段
没有问题就没有研究，研究课例也是要研究“有问题”的课例。要提高初中数学课堂教学效益，我们首先要集中集体智慧分头击破课例中存在的难教难学问题。为了能够得到真实、典型和普遍的难教难学问题，我们在全县范围内开展初中数学新课程难教难学问题征集活动，把一线教师在实施新课程教学中遇到的疑点、难点问题组织力量进行研究和探讨，希望能初步形成较为成熟的解决方案或办法，帮助一线教师解决教学中的疑难问题。
新课程难教难学问题可以是教学理念上、教学方式方法上的困难、困惑；可以是对课程标准或教材内容的理解把握上遇到的问题；也可以是大多数学生学习上难以理解、难以掌握的问题等。我们通过网络征集、会议征集、行政推进等方式收集，并且归类、梳理出有关数学概念、数学建模、规律探究、数学实验等四大类疑难问题。然后，我们以课例研究的方式进行研究解决。我们分别组织了四
次难教难学问题的课例研讨活动，精心选择每一类问题中的典型疑难课例，希望通过我们每一次的课例研讨能够引起一线老师的共鸣，能够根据我们活动研讨的解决方案举一反三解决同类型的难教难学问题。在典型课例的研讨活动中，我们会对难教、难学问题从不同的角度进行分析，提出解决问题的策略与方法。如：方程应用题教学中的难教难学问题研讨活动，我们征集到10个难教难学问题，研讨会前我们把这10个难教难学问题发给研究小组成员和中数会理事与初中数学名师工作室成员，让大家对这10个难教难学问题进行逐个攻破，研讨会上大家有备而来，各抒己见，结合两节研讨课对方程应用题教学中的难教难学问题进行了深入的讨论，最后形成了比较一致的解决方案和教学策略，为广大一线教师消除了部分教学中一直存在的困惑。
3、“主题式”团队赛课——推进阶段
为了更深入地开展对新课程高效课堂的研究，进一步推广以课例为载体的教研流程，我们把全县初中学校分成八个教育共同体，以强带弱、城乡结合，以教育共同体为单位分别组织开展了以“挖掘教材内涵，凸现数学本质”和“建立数学模型，提高解决实际问题能力”为主题的团队赛课活动。“主题式”团队赛课活动的最大优势是通过一个活动，将全县全学科教师联结在一起，通过教育共同体形成一个个教研群体。这个教研群体的所有成员拥有一个共同的关注点——教研主题，共同致力于解决一个教学中存在的难教难学问题——某一课题，按照以课例为载体的教研流程，不断深入理解教材，发现教学不足，诊断教学问题，形成改进意见，展示研讨成果，使执教者与参与者的教学行为都得到有效改进，并逐渐使磨课活动成为学校教研组、教师之间常态化的一种教研方式。这种边学习，边实践，边研讨，边反思，边改进的教研流程，把课堂教学和教研活动紧密结合在一起，不但提高了执教老师的教学能力，而且增强了每一位参与者的专业素养。老师们感慨地说：“主题式”团队为我们提供了磨课的平台，好课都是“磨”出来的，磨课让我们的思维更加深入，磨课让大家的灵感不断迸发，磨课让我们的数学课堂变得简约而精彩。
三、以课例为载体的学科教研实践案例
在教研实践中，我们进行了十几个课例的研究，现把学科教研实践第一阶段的课例《6.1矩形》摘录如下： 1、确定研究主题
围绕“深刻理解数学学科本质——寻根阶段”的主要任务，我们确定本次课例研究的主题为“挖掘教材内涵，有效延伸拓展”。为更好地引领教师理解主题、围绕主题开展教学研究，我们首先请省特级教师作《把握数学本质，提高数学素养》的专题讲座，并结合具体课例进行面对面交流，使大家进一步明确数学本质
的内涵包括：数学知识的内在联系；数学规律的形成过程；数学思想方法的提炼；数学理性精神的体验等方面。使大家认识到简约的数学课应该有丰富的内涵、精彩的设计和生动的形式，即有充实的核心内容。为此，首先要把教材的重点、难点、关键之处深化、细化，象放大镜一样把它放大，要站在学生的角度思考问题，要注意引导学生从源头上去思考知识的“为什么”；其次是课堂教学中要突出“数学味”，要适当渗透一些数学思想、数学方法、数学思维，让数学课更突出理性思维；最后是教学的推进要具有明显的层次性、递进性，要让学生充分感受数学知识的形成过程等。
2、选定课例内容
根据教学进度，我们选定浙教版教材初中数学八年级《6.1矩形》。
3、制定教学方案
我们确定了授课教师并成立了三人备课小组，要求三位教师用一周的时间进行教学设计，并做好上课准备。备课小组进行了认真的准备，下面是备课小组对《6.1矩形》的备课思考：
数学教学是学生在教师的组织指导下，进行探究性学习，以形成数学技能和数学思维的一个过程。教学设计的优劣，取决于教师对教材的分析和研究。教材所包含的科学性、系统性和思想性，体现了教材的知识体系和知识要点，也就是教材的内涵；而教材为实现教学目标进行的内容编排，则是教材的外延。实际上，由于教材的篇幅所限，很多内容都是经过精选过的，在外延上显得较为简练。所以，教师必须对教材进行深入的研究、分析，以抓住教材的内涵，从而拓展教材的外延，进而激发学生的学习兴趣，有效地推动学生对新知识的热切探求愿望，以拓展学生的思维和创新能力。
首先，现在使用的初中数学教材中，有相当多的章节安排有直观操作实验，其目的是让学生通过实践操作，培养自主探究的意识，并从观察问题、分析问题、发现问题和解决问题的过程中，了解探索的原理及方式方法，进而获得数学的思想与方法。然而，一些操作实践的内容在教材中由于篇幅的限制，往往对提出的问题都比较直接，不利于学生理解其所包含的数学思想方法。如本节教材中的合作学习环节是：用六根火柴首尾相接摆成一个平行四边形，并议一议三个问题：
（1）能摆成多少个不同的平行四边形？它们有什么共同的特点？（2）在这些平行四边形中，有没有面积最大的一个平行四边形？说出你的理由；（3）这个面积最大的平行四边形的内角有什么特点？量一量它的两条对角线的长度，你又发现了什么？我们认为这环节的内涵就是体现从一般到特殊的认识过程，而教材中摆火柴棒环节不利于学生从动态的角度观察发现矩形与一般平行四边形的关系，问题1较开放，答案可能出现五花八门，两邻边的长度之比2∶1不是问题本质。
问题2，3比较直接，没有探究的价值。所以，我们设计平行四边形活动木框，根据平行四边形的不稳定性给予动态演示，在动态变化过程中，让学生观察和思考，哪些量不变？哪些量发生改变？然后在变化中找最优化，即周长一定时，平行四边形面积最大时的状态。此时的平行四边形角怎样？对角线怎样？让学生去观察、猜测。通过这一动态变化过程可让学生体验矩形是特殊的平行四边形，即具有平行四边形的一般性质，又具有其特殊性。这样就让学生了解到整个操作的由来，同时又从中领略到从普遍现象中找特殊，进而发现问题的数学思想。
第二，例题是数学教材的核心内容,它具有规范性、典型性。通过例题的教学不仅可以使学生在掌握新知识的基础上构建新的认知结构,而且能由例及理,由例及法,由例及类,让学生举一反三,触类旁通。而初中数学教材在对例题选材上都比较精炼，具有较好的代表性和较大的拓展性，有些还具有承上启下的作用，为发展学生的思维提供有效的拓展空间。为了达到充分发挥教材的示例作用，我们应该对教材中的例题加以精心研究，了解教材选材的目的，提炼其精华，不局限于解决问题本身，还要有拓展其空间视野的思想，以激发学生的探究兴趣，进而掌握数学研究学习的思想方法，达到启迪思维的目的。但本节教材例题教学环节存在原题不够开放，不能很好发挥例题的作用的问题，教学中可以对其作开放性的改编，来达到拓展例题空间的目的。
改编：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
（1）找找图中有哪些特殊的三角形；
（2）你能添加一个角的条件，使△AOB更特殊吗？
（3）在（2）的条件上，若AB=4cm，你可以求得矩形
中哪些量？
另外本例具有承上启下的作用，对角线把矩形分成两对全等等腰三角形，对理解矩形的轴对称性起铺垫作用，也为6.1(3)：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半打下伏笔。
第三，数学教学的目标是传授知识，培养能力。学生在观察、实验、猜测、论证、推理与交流的数学活动中，获得数学思想与方法。这些思想与方法都融入教材某知识内容当中，但教材中并没有直接把所引入的知识内容所包含的数学思想、方法明确告诉学生，这就要求教师认真研究分析教材内容，挖掘前后内容的联系，掌握其内涵，从而为拓展延伸作铺垫。本节教学的重点是矩形的性质，利用矩形的性质将矩形的问题转化为直角三角形，等腰三角形，全等三角形的问题。有关矩形的知识可以看成直角三角形，等腰三角形，全等三角形知识的延伸，因此要将这种转化过程给以体现，要让学生认识和归纳隐含在矩形中基本图形的特征，如：有几个等腰三角形，直角三角形有几对全等三角形，哪些角相等等。根
据矩形的对称性可以补充一些矩形中的对称问题、折叠问题、面积分割问题等进行拓展。
4、实施课堂教学
设计有关课堂观察量表，组织研究小组和部分骨干教师参与课例观察，将观课教师分为三组，分别以教材内涵挖掘的频数、内涵挖掘的方向、内涵挖掘的效果为视点进行有目的的课堂观察和记录。
5、课后评价反思
参与活动的老师共同分析研讨课堂观察量表的统计结果，发现教师在教学时对教材的挖掘基本集中在新课讲授这一环节，一方面可以看出教师对教材新知内容的挖掘有利于学生化解学习难点，达成教学目标，反映出教师有一定的教材处理能力；但另一方面也可以看出教师在教学设计上的主观愿望在课堂上还难以完全得到实现。另外，教师对课堂练习和巩固小结等环节的设计基本上照搬教材，有些练习问题挖掘得还不够到位，还没有完全做到“用教材教”。大家的观察、统计、分析深深触动了开课教师，她在课后反思中这样写道：
教材中所给的知识很简单。怎样用好这么简单的教材，就要靠教师自己去挖掘教材中的内涵及各部分之间的内在联系，然后对其进行相应、有效的重组、拓展与延伸。
这节课的教学重点是矩形的两个性质，难点则是矩形对称性的探索。在研究了教材后，我把矩形的定义→矩形的四个角都是直角→矩形的对角线相等→矩形中的全等三角形→矩形中的特殊三角形→例题，包括例题的拓展都用一个能动的平行四边形的模型将它们串了起来。就是在这个之后的难
点的突破上我觉得有点茫然。而事实也证明我精心设计的
一个“好”题却没有发挥它的作用。题目是这样的：“有
四个同学站在如图的矩形的四个顶点处玩投圈游戏。试
问：目标物应放在何处才能使游戏公平？”学生由于前面已经
对矩形连结对角线后的等腰三角形有所掌握，所以题目一给出来就马上喊出应放在对角线的交点。然后我继续给出，若四个人均朝着顺时针的方向在矩形的边上平移相同的距离来到如图E、F、G、H的位置。目标物位置不变，此时游戏还公平吗？学生都回答说“公平！”然后问学生公不公平看什么？学生说看这四点到O点的距离是否相等。接着我就请了一位同学上来量EO与FO的长度，结果发现它们不相等。 我原来的设计是引导学生去证EFGH不是矩形。但在试教过程中由于学生对于此命题的证明觉得吃力。所以将它直接改成证明EFGH是平行四边形。人说一节课一两个闪光点就够了，但我觉得这句话并不全面。就像是“一粒屎坏了一锅粥”一样，如果课堂中有一个环节你设计得不够得体，
让学生觉得吃力了，
那就不能算一堂好课了。即使你的初衷再好，东西再好，如果学生啃起来觉得吃力，吃下去又消化不好，那宁愿放弃。当放弃是一种必须时，我们必须放弃。
……
如何对课堂知识作拓展与延伸需要我们教师了解教材、熟悉教材、研究教材。就如什么年龄的人穿什么样的衣服、多大的脚穿多大的鞋一样，设计有效的题目以达到学生更好的掌握及运用知识更需要教师了解学生、量体裁衣。前面提到的那道题我觉得可以放在矩形的复习课中，在学生证出EFGH不是矩形从而说明游戏不公平之后，引导学生设计一种路线让他们平移相同的距离之后游戏还是公平的，再引导学生利用矩形的判定来证明“如右图的矩形
ABCD中，对角线AC、BD上有如图的四点，A1、B1、C1、D1，
且AA1=BB2=CC1=DD1，求证A1B1C1D1是矩形。”这一数学模型。
这样就能使这件衣服既美丽又实用。
当放弃成为一种必须时，我们就应该懂得放下。不能它的价值才是我们该做的。
6、修订教学方案
根据课堂教学的反馈意见及执教教师本人的反思，提出调整改进教学方案的意见：要重视数学实践活动的拓展，体验数学思想的形成。这环节的内涵就是体现从一般到特殊的认识过程，要根据平行四边形的不稳定性给予动态演示，在动态变化过程中，让学生观察和思考，有哪些量发生了变化，有哪些量不变。然后在变化中找最优化，即周长一定时，平行四边形面积最大时的状态。此时让学生去观察、猜测平行四边形角怎样？对角线怎样？通过这一动态变化过程可让学生体验矩形是特殊的平行四边形，即具有平行四边形的一般性质，又具有其特殊性。从而让学生了解到整个操作的由来，同时又从中领略到从普遍现象中找特殊，进而发现问题的数学思想。
7、改进课堂教学
在修订方案准备好之后，再请执教教师进行同课异构、对比参照，并邀请专家指导。与会教师围绕着研讨主题发表看法和见解，与会专家提出：挖掘教材内涵时，要创造时机也要把握时机。教师根据教材特点、学生的认知水平和已有的知识经验，及时创设情境，营造良好的态势，使学生在似知非知、欲懂非懂的情境中，积极热情地投入到尝试活动中去。
8、形成教学课例
骨干教师分工合作完成课例撰写。
9、共享研究成果
削足适履，也不能拔苗助长。让这美丽的东西在合适的时间、合适的人身上体现
我们把有关课例资料如：备课小组对教材的解读，学习的材料，上课的课件，课堂的实录以及评课稿、反思文章等都在平阳县初中数学名师工作室网站上公开，让全县教师共享。
我们坚持以课例为载体开展县级初中数学教研活动，使学科教研活动的质量得到明显提高。我们把经过研究的典型课例及有关材料通过网络得以积累和共享，大大提高了课例研究资源的利用率，吸引了越来越多的数学教师自愿加入我们的学习和研讨，全县初中数学教师参加教研活动的积极性越来越高。同时，以课例为载体的教研活动引发了教师对教参教材、课堂教学、学生学习等的深层次思考，每学期都有大量的教学论文、教学案例在县、市级评比中获奖，有效地促进了教师的专业发展。（平阳县教师发展中心 郑洁）
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