磁场
课前测
1. 如图所示为洛伦兹力演示仪的结构示意图。由电子枪产生电子束，玻璃泡内充有稀薄的气体，在电子束通过时能够显示电子的径迹。前后两个励磁线圈之间产生匀强磁场，磁场方向与两个线圈中心的连线平行。电子速度的大小和磁感应强度可以分别通过电子枪的加速电压U和励磁线圈的电流I来调节。适当调节U和I，玻璃泡中就会出现电子束的圆形径迹。下列调节方式中，一定能让圆形径迹半径增大的是()
A．同时增大U和I B．同时减小U和I
C．增大U，减小ID．减小U，增大I
2. 如图所示,在x轴上方的空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度的大小为B.许多相同的离子,以相同的速率v,由O点沿纸面向各个方向(y>0)射入磁场区域.不计离子所受重力,不计离子间的相互影响.图中曲线表示离子运动的区域边界,其中边界与y轴交点为M,边界与x轴交点为N,且OM=ON=L.由此可判断()
①这些离子是带负电的
②当离子沿x轴正方向射入磁场时会经过M点 qv?③这些离子的比荷为mLB
④当离子沿y轴正方向射入磁场时会经过N点
A.①② B.③④C.①③D.②④
3．如图有一个宽度为d，磁感应强度为B的有界磁场。方向垂直于纸面向里。有一带电量为－q，质量为m的带电粒子垂直于磁场边界射入磁场。问
(1)要使粒子从右侧飞出磁场，速率至少为多少?
(2)要使粒子从右侧飞出磁场，最长的时间是多少?
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4．如下图所示，等离子体以相同的速率v从孔O垂直ad和磁场方向射入磁感强度为B的匀强磁场中，磁场区域是边长为L的正方形，O是ad边的中点，等离子体在b、c间射出磁场，试推导等离子的比荷q/m与v、B、L的关系。
5．在半径为r的圆形空间内有一匀强磁场，O为圆心。一带电粒子以速度v从A沿半径方向入射，并从C点射出，如图所示，已知∠AOC＝120°，若在磁场中粒子只受洛伦兹力作用，则粒子在磁场中运行的时间( )
A．2πrB．
3v
C．πr 2πr3vD．
3v3πr3v
6.如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值为（）
A．B> B．B<
C．B> D．B<
知识点一带电粒子在磁场中的运动、半径和周期。
1.若v∥B，带电粒子以入射速度v做匀速直线运动．
2.若v⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度v做匀速圆周运动．
3.基本规律:
4.带电粒子在磁场中运动的“两个易错点”
T?
（1）由2?m2?rT?qB知，T与v无关，不能由v得出T与v成反比，因为v
变时，
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r也在变．
?（2）由t＝2?T＝
长无关． ·
?
知，带电粒子在磁场中的运动时间与圆心角α有关，与弧
【例题1】在同一匀强磁场中，a粒子（）和质子（）做匀速圆周运动，若它们的动量大小相等，则a粒子和质子( )
A．运动半径之比是2:1B．运动周期之比是2:1
C．运动速度大小之比是4:1D．受到的洛伦兹力之比是2:1
【例题2】如图所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，一带电微粒从磁场边界d点垂直与磁场方向射入，沿曲线dpa打到屏MN上的a点，通过pa段用时为t。若该微粒经过p点时，与一个静止的不带电微粒碰撞并结合为一个新微粒，最终打到屏MN上。两个微粒所受重力均忽略。新微粒运动的（）
A．轨迹为pb，至屏幕的时间将小于t
B．轨迹为pc，至屏幕的时间将大于t
C．轨迹为pb，至屏幕的时间将等于t
D．轨迹为pa，至屏幕的时间将大于t
【例题3】如图所示，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于图平面的匀强磁场（未画出）．一带电粒子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿越铝板后到达PQ的中点O.已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变．不计重力．铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为（）
A．2B．C．1 D．
【例题4】如图(甲)所示,一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子,
不计重力,在a点以某一初速度水平向左射入磁场区域Ⅰ,沿曲线
abcd运动,ab、bc、cd都是半径为R的圆弧.粒子在每段圆弧上运
动的时间都为t.规定垂直于纸面向外的磁感应强度为正,则磁场区
域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分的磁感应强度B随x变化的关系可能是图(乙)
中的( )
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知识点二 带电粒子在磁场中运动的常见情形
1.首先明确几点关于圆的几何知识：
如图，粒子做圆周运动从A运动到B，圆弧上A、B点的速度方向沿
圆弧的切线方向，A、B为圆弧上的切点，线段AB为弦，弦切角为?，圆
心角为?。速度偏向的角度（简称偏向角）????2?。半径R的求解通
常用到的是勾股定理和三角函数知识。粒子从A到B经历的时间t?0’
?T。2?
过A作垂线、过B作垂线、作AB的中垂线、作?A0'B的角平分线，这四条线均过圆心，所以这四条线中的任意两条线的交点即为圆心。了解这一点在碰到需要尺规（尺子和圆规）作图的题目时很有用处。
例如：已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心（如图乙所示，P为入射点，M为出射点）．
2.几种具体的常见粒子偏转情形：
(1).直线边界（进出磁场具有对称性，如图所
示）
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(2).平行边界（存在临界条件，如图所示）
(3). 圆形边界。如图，带电粒子沿指向圆心的方向进入磁场，则出磁
时速度矢量的反向延长线一定过圆心，即两速度矢量相交于圆心。（沿
径向射入必沿径向射出）
场
【例题1】一个电子（质量为m、
电量为e）以速度v从x轴上某点垂直x
轴进入上方的匀强磁场区域，如图所示，
已知磁感应强度的大小为B，且为下方
匀强磁场的磁感应强度的2倍，（1）在图中画出电子运动的轨迹；（2）电子运动一个周期经历的时间是？
【例题2】如图所示，在y＜0的区域内存在匀强磁
场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸里，磁感应
强度为B.一带负电的粒子（质量为m、电荷量为q
）
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以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ.求：
（1）该粒子射出磁场的位置；
（2）该粒子在磁场中运动的时间.（粒子所受重力不计）
【例题3】如图所示，一束电子（电量为e）以速度v垂直射入磁感应强度为
B，宽度为d的匀强磁场中，穿过磁场后速度方向与电子原来入射方向的夹角
为30o，则电子的质量是多少？穿过磁场的时间是多少？
【例题4】如图所示，带正电的A粒子和B粒子先后以同样大小的速度从宽度为d的有界匀强磁场的边界上的O点分别以30°和60°（与边界的夹角）射入磁场，又都恰好不从另一边界飞出，则下列说法中正确的是（）
A．A、B两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比是
B．A、B两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比是
C．A、B两粒子之比是
D．A、B两粒子之比是
【例题5】如下图所示的矩形abcd范围内有垂直纸面向外的磁感
应强度为B的匀强磁场，且ab长度为L，现有比荷为q/m的正离
子在a处沿ab方向射入磁场，求离子通过磁场后的横向偏移y和
偏向角?(设离子刚好从C点飞出，粒子的速度为v)。
【例题6】如图所示，矩形匀强磁场区域的长为L，宽为L/2。磁
感应强度为B，质量为m，电荷量为e
的电子沿着矩形磁场的上
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方边界射入磁场，欲使该电子由下方边界穿出磁场，求：电子速率v 的取值范围 ?
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【例题7】圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强
度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘
的最短距离为L的O＇处有一竖直放置的荧屏MN，今有
一质量为m的电子以速率v从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入
磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图3所示，求
O/P的长度和电子通过磁场所用的时间。
【例题8】如图所示半径r＝10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界
跟y轴在坐标原点O处相切；磁场B＝0．33T垂直于纸面向内，在
O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2×106m/s
的α粒子；已知α粒子质量为m=6.6×10-27kg，电量q=3.2×10-19c，
则α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ及在磁场中运动的最长时间t
各多少？
知识点三 三角形边界磁场
【例题1】在边长为2a的?ABC内存在垂直纸面向里的磁感强度为B的匀强磁场，有一带正电q，质量为m的粒子从距Ａ点3a的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从ＡＣ间什么范围内射出．
【例题2】．边长为100cm的正三角形光滑且绝缘的刚性框架ABC固定在光滑的水平面上，
如图内有垂直于框架平面B＝0．5T的匀强磁场．一质量m=2×10-4kg，带电量为q=4×10－3C小球，从BC的中点小孔P处以某一大小的速度垂直于
BC边沿水平面射入磁场，设小球与框架相碰后不损失动能，
求：
（1）为使小球在最短的时间内从P点出来，小球的入射速
度v1是多少？
（2）若小球以v2=1m/s的速度入射，则需经过多少时间才
能由P点出来？
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知识点四 环形边界磁场
环状磁场区域规律要点
a.径向出入：带电粒子沿（逆）半径方向射入磁场，若能返回同一边界，则一定逆（沿）半径方向射出磁场．
b.最值相切：当带电粒子的运动轨迹与圆相切时，粒子有最大速度vm而磁场有最小磁感应强度B，如图所示．
【例题1】核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高
速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用
磁约束的方法（托卡马克装置）。如图所示，环状匀强磁场围成中空
区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的
外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半
径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为
q/m=4×107C/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算：
（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。
（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。
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【例题2】在受控热核聚变反应的装置中温度极高，因而带电粒子没有通常意义上的容器可装，而是由磁场将带电粒子的运动束缚在某个区域内。现有一个环形区域，其截面内圆半径R1＝ m，外圆半径R2＝1.0m，区域内有垂直纸面向外
的匀强磁场（如图所示）。已知磁感应强度B＝1.0T，被束缚带正电粒子的荷质比为q＝4.0×107C/kg，不计带电粒子的重力和m
它们之间的相互作用。
（1）若中空区域中的带电粒子由O点沿环的半径方向射
入磁场，求带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度vo
（2）若中空区域中的带电粒子以（1）中的最大速度vo沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子从刚进入磁场某点开始到第一次回到该点所需要的时间t。
知识点五 磁聚焦与磁发散问题
规律一：
带电粒子从圆形有界磁场边界上某
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点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示（磁发散）。
规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示（磁聚焦）。磁聚焦的几何证明： 如图所示，一半径为r的垂直纸面向外的圆形匀强磁场B，圆心为O，在纸面内从最低点A向x轴上方各个方向发射出速率为v、质量为m、电量为q的带正电粒子（不计重力），已知速率v满足v=qBr/m,即粒子做圆周运动的半径也为r，(思考：所有这些粒子的圆周运动的圆心的轨迹？)粒子的轨迹与圆相交于D点，粒子作圆周运动的圆心为O’,连接AODO’四个点，可知这四个点构建一个边长均为r的菱形，所以DO’与OA平行且相等，也就是DO’与x轴垂直，即粒子在D点的速度方向水平向右。
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【例题1】如图所示，在x-o-y坐标系中，以（r，0）为圆心、r为半径的圆形区域内存在匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。在y> r的足够大的区域内，存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E。从O点以相同速率向不同方向发射质子，质子的运动轨迹均在纸面内，且质子在磁场中运动的轨迹半径也为r。已知质子的电荷量为q，质量为m，不计质子所受重力及质子间相互作用力的影响。
（1）求质子射入磁场时速度的大小；
（2）若质子沿x轴正方向射入磁场，求质子从O点进入磁场到第二次离开磁场经历的时间；
（3）若质子沿与x轴正方向成夹角θ的方向从O点射入第一
象限的磁场中，求质子在磁场中运动的总时间。
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【例题2】如图所示，真空中有以（r，0）为圆心，r为半径的圆形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，在y=r的虚线上方足够大的范围内，有方向水平向左的匀强电场，电场强度的大小为E，从O点向不同方向发射速率相同的质子，质子的运动轨迹均在纸面内，且质子在磁场中偏转的半径也为r，已知质子的电荷量为q，质量为m，不计重力、质子间的相互作用力和阻力。求：
（1）质子射入磁场时速度的大小；
（2）沿x轴方向射入磁场的质子，到达y轴所需的时间；
（3）与x轴正方向成30o角（如图所示）射入的质子，
到达y轴的位置。
（4）求质子能够射到y轴上的范围。
（5）证明：所有的粒子的出射速度方向与x轴垂直。
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知识点六 最小面积问题
求圆形磁场的最小面积问题：若某空间存在圆形磁场，带点粒子从某圆形磁场区域的一个端点射入，从另一个端点射出，则最小的圆形磁场是以两端点连接的线段为直径构成的圆，如图：
【例题1】如图12所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。
【例题2】一质量m、带电q的粒子以速度V0从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。
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