基础训练一（集合与常用逻辑用语）
1. 设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为 ．
2. 设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B＝?，则实数a的取值范围是
3. 若A＝{x∈Z|2≤2x≤8}，B＝{x∈R|log2x＞1}，则A∩B＝.
4. 命题“?a?b，都有a2?b2”的否定是 ．
5. 若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为．
6. 给出下列命题：
①命题“若lgx?lgy，则x?y”的逆命题；
②命题“若x2?1?0，则x?1”的否命题；
③命题“若A?B，则A∩B = A”的逆否命题；
其中是真命题的有（填序号）．
7.
设集合A?{x|y?，B?{y|y?x?m(m?0),x?e
RA}，若1“?q且p”为真，则实数x的取值范?1．3?x?B，则实数m的取值范围是8. 已知命题p：x2?2x?3?0；命题q：
围是．
ax2?(a?2)x?2?0”9. 若命题“?a?[1,3]，是真命题，则实数x的取值范围是．
210. 已知函数f(x)?x2(x?[?2,2])，g(x)?asin(2x??)?3a(x?[0,])， 62?
? ?x1?[?2,2]，?x2?[0,]，使得f(x1)?g(x2)成立，则实数a的取值范围是．2
11. 已知集合A?{x|y?ln(4x?x2)}，B?{y|y?a?3x?9x,a?R}.
（1）若a?2，求A?B；
（2）若A?B?B，求实数a的取值范围.
12. 已知集合A={x|(x?2)(x?3a?1)?0}，函数y?lg⑴若a?2，求集合B；
⑵若A?B，求实数a的值．
2a?x的定义域为集合B． 2x?(a?1)
13．给出下列两个命题：命题p：已知函数f(x)?x2?2x?2，当0?x?1时，不等式f(x)?3?2x?a恒成立；命题q：函数g(x)?lg(ax2?x?a)的定义域为R．若p?q为假，p?q为真，求实数a的取值范围．
14.已知命题p：关于x的方程log2(ax?2x?2)?2在区间[1,2]内有解； 命题q：函数f(x)?m(x2?1)?x?a的图象和x轴有公共点.
（1）若p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）若?p是?q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
2
基础训练一（参考答案）
1. 设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为1． 解：∵ a2＋4＞3，∴ 只有a＋2＝3，∴ a＝1.
2. 设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B＝?，则实数a的取值范围是[1,??) 解：由A∩B＝?可得，0?B,1?B，则a≥1.
3. 若A＝{x∈Z|2≤2x≤8}，B＝{x∈R|log2x＞1}，则A∩B＝解：A＝{x∈Z|2≤2x≤8}?{x?Z|21?2x?23}?{1,2,3}，
B＝{x∈R|log2x＞1}?{x?R|log2x?log22}?{x?R|x?2}.
故A∩B＝{3}.
22224. 命题“?a?b，都有a?b． 5. 若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为－1． 解：由x2＞1得x＜－1或x＞1.
∵ “x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，
∴ a≤－1，故a的最大值为－1.
6. 给出下列命题：
①命题“若lgx?lgy，则x?y”的逆命题；
②命题“若x2?1?0，则x?1”的否命题；
③命题“若A?B，则A∩B = A
”的逆否命题；
其中是真命题的有②③（请填写相应的序号）．
7. 设集合A?{x|y?，B?{y|y?x?(m
?0),x?eRA}，若x
?
B，则实数m的取值范围是(1,9).
解：由已知得集合A表示函数y?
∴eRA?(1,3).
集合B表示函数y?x?(m?0),x?(1,3)的值域.由y?x
??（当且仅
当(??,1]?[3,??)， x
x
，即当x?
时，y?
，且B，x?(1,3). x时取等号）
即m?(1,9).故m的取值范围是(1,9).
8. 已知命题p：x2?2x?3?0；命题q：
围是(??,?3)?(1,2]?[3,??)． 1“?q且p”为真，则实数x的取值范?1．3?x
解：由已知得p：x??3或x?1；q：2?x?3． ∵“?q且p”为真，∴q假p真．
?x??3或x?1从而?，解得x??3或1?x?2或x?3． x?2或x?3?
故x的取值范围是(??,?3)?(1,2]?[3,??)．
9. 若命题“?a?[1,3]，ax2?(a?2)x?2?0”是真命题，则实数x的取值范围是(??,?1) 2?(,??)． 3
解法一：ax2?(a?2)x?2?0可化为(x2?x)a?2x?2?0?． 令f(a)?(x2?x)a?2x?2(1?a?3)，
则①当x2?x?0，即x=0或x=-1时，?不成立，不合题意，舍去； ②当x2?x?0时，函数f(a)在[1,3]上递增，则由题意得f(3)=3x2+x-2>0．
ì?x2+x>02?即由í2解得x<-1或x>； ?3??3x+x-2>0
③当x2?x?0时，函数f(a)在[1,3]上递减，则由题意得f(1)=x2-x-2>0．
ì?x2+x<0?即由í2无解． ???x-x-2>0
2综上所述，x的取值范围是(??,?1)?(,??)． 3
ax2?(a?2)x?2?0”ax2?(a?2)x?2?0”解法二：命题“?a?[1,3]，的否定是“?a?[1,3]，．
ax2?(a?2)x?2?0可化为(x2?x)a?2x?2?0?． 令f(a)?(x2?x)a?2x?2(1?a?3)，
ìx2-x-2?0ì?f(1)￡0??则要使f(a)￡0在[1,3]上恒成立，必须í，即?，解得-1＃xí2??f(3)￡03x+x-2?0????∵命题“?a?[1,3]，ax2?(a?2)x?2?0”为真， ∴命题“?a?[1,3]，ax2?(a?2)x?2?0”为假．
2故x的取值范围是(??,?1)?(,??)． 32． 3
210. 已知函数f(x)?x2(x?[?2,2])，g(x)?asin(2x??)?3a(x?[0,])， 62?
??x1?[?2,2]，?x2?[0,]，使得f(x1)?g(x2)成立，则实数a的取值范围是[0,1]． 2
解：由题意知函数g(x)的值域是函数f(x)的值域的子集．
函数f(x)?x2(x?[?2,2])的值域为[0,4]．若a?0，则函数g(x)的值域为{0}，满足题意；若a?0，则函数g(x)的值域为[?12a?3a,a2?3a]，则由题意得 2
?12??2a?3a?0
??2，解得0?a?1． ?a?3a?4
?a?0???
综上所述a的取值范围是[0,1]．
11. 已知集合A?{x|y?ln(4x?x2)}，B?{y|y?a?3x?9x,a?R}.
（1）若a?2，求A?B；
（2）若A?B?B，求实数a的取值范围.
2解：（1）由4x?x?0得0?x?4，∴A?(0,4)；
xxx22∵a?2，∴y?2?3?9.令3?t(t?0)，则y?2t?t??(t?1)?1?1（当且仅当
t?1时取等号），即B?(??,1].
故A?B?(0,4)?(??,1]?(0,1].
（2）∵A?B?B，∴A?B.
22∵y?a?3?9，∴令3?t(t?0)，则y?at?t??(t?)?(t?0). 24
①若?0，即a?0，则y?0，即B?(??,0].此时A?B不可能.舍去； 2xxx2
222aaaa②若?0，即a?0，则y?，即B?(??,].由A?B得?4，从而a?4. 故a的取值范围是[4,??).
12. 已知集合A={x|(x?2)(x?3a?1)?0}，函数y?lg
⑴若a?2，求集合B； 2a?x的定义域为集合B． 2x?(a?1)
⑵若A?B，求实数a的值．
解：⑴a?2时，y?lg4?x4?x?0解得4?x?5，故B?(4,5)． ，由x?5x?5
⑵由2a?x?0得2a?x?a2?1，∴B?(2a,a2?1)． 2x?(a?1)
?2a?21时，A?(2,3a?1)，又A?B，∴?2，无解； 3?a?1?3a?1①若2?3a?1即a?
②若2?3a?1时显然不合题意；
?2a?3a?11③若2?3a?1即a?时，A?(3a?1,2)，又A?B，∴?2，解得a??1． 3a?1?2?
综上所述a??1．
13．给出下列两个命题：命题p：已知函数f(x)?x2?2x?2，当0?x?1时，不等式f(x)?3?2x?a恒成立；命题q：函数g(x)?lg(ax2?x?a)的定义域为R．若p?q为假，p?q为真，求实数a的取值范围．
解：由p可知f(x)?3?2x?a在0?x?1时恒成立， ∴a?f(x)?2x?3?x2?4x?1对任意的0?x?1恒成立， 又∵x2?4x?1?(x?2)2?3?1，∴a?1．
由q可知ax2?x?a?0恒成立，
若a=0，则?x?0不恒成立；
?a?0,1若a?0，则由?得． a?222(?1)?4a?0?若p?q为假，p?q为真，则p和q一真一假．
结合条件应为q真p假，从而
1故a的取值范围是(,1)． 21?a?1． 2
14.已知命题p：关于x的方程log2(ax?2x?2)?2在[1,2]内有解；命题q：函数f(x) 2
?m(x2?1)?x?a的图象和x轴有公共点.
（1）若p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）若?p是?q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解：（1）log2(ax?2x?2)?2?log2(ax?2x?2)?log2422
?ax2?2x?2?4?ax2?2x?2?0.
法一：∵x?[1,2]，∴ax2?2x?2?0可化为a?
令x?1?t，则a?2(x?1). x22t2t2??(t?[2,3]). 221(t?1)t?2t?1t??2t
111令u?t??2(2?t?3)，则u??1?2?0，即函数u?t??2在[2,3]上单调递增. ttt
∴1?u?4，从而3?a?4. 3故a的取值范围是[,4]. 2
法二：∵x?[1,2]，∴ax2?2x?2?0可化为a??. 2xx
1212令?t，则a?2t?2t??2(t?)?. 22
∵x?[1,2]，∴t?[,1]，从而?a?4. 3故a的取值范围是[,4]. 2
（2）∵?p是?q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件.
33若p为真，由（1）知a?[,4]，设A?[,4]. 22
若q为真，则①m?0时，f(x)?x?a的图象和x轴恒有公共点，此时a?R，符合题意； ②m?0时，则f(x)?m(x?1)?x?a在实数集上有解，∴?=1+4m(m?a)?0，
2即4m?4am?1?0. 2
?4m2?11）若m?0，则a?. 4m
??4m2?13??4m?1?设B?[,??)，则由A?B得?4m2，解得m?0； 4m??m?0
?4m2?12）若m?0时，则a?. 4m
??4m2?12?4?设B??(??,]，则由A?B?得?4m，解
得m?
或4m?m?0?2
?m?0.
综上所述，m?
m?. ?3?h()?02另法：令h(a)?4m?4am?1，则由?2同样可求解. ??h(4)?0
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