突破点3 平面向量
提炼1 平面向量共线、垂直的两个充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)?(2)a⊥b?a·b＝0?提炼2 数量积常见的三种应用 已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)证明向量垂直：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(2)求向量的长度：|a|＝a·ax1＋y1.
a·b(3)求向量的夹角：cos〈a，b〉＝|a||b|＝x1x2＋y1y2
x1＋y1x2＋y2
提炼3 平面向量解题中应熟知的常用结论 (1)A，B，C三点共线的充要条件
→＝λOB→＋μOC→，且是存在实数λ，μ，有OA
→＝1(OA→＋OB→)． (2)C是线段AB中点的充要条件是OC2
→＋GB→＋GC→＝0，若△ABC的三个顶点坐(3)G是△ABC的重心的充要条件为GA
标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标为?x1＋x2＋x3y1＋y2＋y3???. ，33??
→→→→→→(4)PA·PB＝PB·PC＝PA·PC?P(5)非零向量a，b垂直的充要条件：a⊥b?a·b＝0?|a＋b|＝|a－b|?x1x2＋y1y2＝0.
a·b(6)向量b在a的方向上的投影为|b|cos θ＝|a|
a·b向量a在b的方向上的投影为|a|cos θ＝|b|1
回访1 平面向量的线性运算
→＝(－4，－3)，则向量BC→＝1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC
( )
A．(－7，－4)
C.(－1,4) B.(7,4) D.(1,4)
→＝(x，y－1)＝(－4，－3)， A 设C(x，y)，则AC
?x＝－4，→＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.] 所以?从而BC?y＝－2，
2．(2014·全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则→＋FC→＝( ) EB
→ A.BC
→ C.AD1→B.2AD 1→D.2BC
→＋FC→＝EC→＋CB→＋FB→＋BC→
C 如图，EB
→＋FB→＝1(AC→＋AB→) ＝EC2
1→→＝2·2AD＝AD.]
回访2 平面向量的数量积
3．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1
C.1 B.0 D.2
C 法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，
从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.
法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，
从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.]
2
4．(2016·全国乙卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝__________.
22－ ∵a⊥b，∴a·b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，∴x＝－.] 33
5．(2012·全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________. 32 ∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
2∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝2|b|，
2|2a－b|2＝4－4×2|b|＋|b|2＝10，
∴|b|＝32.]
回访3 数量积的综合应用
6．(2013·全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.
2 |a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°.
1t∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t×1×1×2＋(1－t)×1＝2＋1－t＝1t－2.
t∵b·c＝0，∴1－0，∴
t＝2.] 2
热点题型1 平面向量的运算
题型分析：该热点是高考的必考点之一，考查方式主要体现在以下两个方面：
一是以平面图形为载体考查向量的线性运算；二是以向量的共线与垂直为切入点，考查向量的夹角、模等．
→ (1)(2016·深圳二模)如图3-1，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC
→＋μBD→，则λ＋μ＝( ) ＝λAM
3
图3-1
4A.3
15C.8 5B.3 D.2
(2)(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边
→·→的值为( ) AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AFBC
5A．－8
1C.4 1B.8 11D.8(1)B (2)B (1)法一：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，
→＝(2,2)，AM→＝(2,1)，BD→＝(－则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，M(2,1)，D(0,2)，所以AC
→＝λAM→＋μBD→，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所2,2)．由AC
?2λ－2μ＝2，以??λ＋2μ＝2， 4λ＝??3，解得?1μ＝??3 5所以λ＋μ＝3
B.
?→1→?→→→→→→→→法二：因为AC＝λAM＋μBD＝λ(AB＋BM)＋μ(BA＋AD)＝λ?AB＋2AD?＋μ(－AB??
λ－μ＝1，??1?→→)＝(λ－μ)AB→＋??2λ＋μ?AD＋AD，所以?1??λ＋μ＝1，??2
选B.
→＝AD→＋DF→. (2)如图所示，AF
4
4λ＝??3，得?1μ＝??3， 5所以λ＋μ＝3
又D，E分别为AB，BC的中点，
1→→1→1→3→→且DE＝2EF，所以AD＝2，DF＝2＋4＝4，
→＝1AB→＋3AC→. 所以AF24
→＝AC→－AB→， 又BC
1→3→?→→→·→＝??2AB＋4AC?·则AFBC(AC－AB) ??
1→→1→23→23→→＝2AB·AC－2AB＋4AC－4AC·AB
3→21→21→→＝4AC－2AB－4AC·AB.
→|＝|AC→|＝1，∠BAC＝60°又|AB，
→·→＝3－1－1×1×1×1＝1.故选
B.] 故AFBC42428
1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．
2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．
提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向．
变式训练1] (1)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(x,4)，若(a－b)⊥c，则c·(a＋b)＝( )
A．(2,12)
C.14 B.(－2,12) D.10
(2)已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0.若a∥b，m则n＝__________.
【导学号：85952017】
5
(1)C (2)－2 (1)易知a－b＝(－4,1)，由(a－b)⊥c，可得(－4)×x＋1×4＝0，即－4x＋4＝0，解得x＝1，∴c＝(1,4)．
而a＋b＝(2,3)，∴c·(a＋b)＝1×2＋4×3＝14.故选C.
?λn＝m，m(2)∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则?解得n＝－2.] ?－λ＝2，
热点题型2 三角与向量的综合问题
题型分析：平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．
3?sin x， (名师押题)已知向量a＝?，b＝(cos x，－1)． 4??
(1)当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值；
(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，
π???π??6?b，c.若a＝3，b＝2，sin B＝3，求y＝f(x)＋4cos ?2A6??x∈?0，3??的取值范围． ??????
3解] (1)∵a∥b，∴4cos x＋sin x＝0，2分
3∴tan x＝－44分
cos2x－2sin xcos x1－2tan x8∴cosx－sin 2x＝＝.6分 sinx＋cosx1＋tanx52
π?3?2x＋?(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝2sin ＋，8分 4???2
ab2由正弦定理得sin Asin B，可得sin A＝2.9分
π∵b＞a，∴A＝4，10分
π?π?1??y＝f(x)＋4cos?2A＋6?＝2sin?2x＋4?－2.11分 ????
π??∵x∈?0，3?， ??
π?π11π∴2x＋4∈?4，12， ??
31∴2－1≤y2－2，
?31?即y的取值范围是?－1
，2－?.12分 2??2
6
平面向量与三角函数问题的综合主要利用向量数量积运算的坐标形式，多与同角三角函数关系、诱导公式以及和角与倍角等公式求值等问题相结合，计算的准确性和三角变换的灵活性是解决此类问题的关键点．
?22?变式训练2] 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝?，－?，n＝(sin x，2??2
π?cos x)，x∈?0，2. ??
(1)若m⊥n，求tan x的值；
π(2)若m与n的夹角为3，求x的值．
解] (1)若m⊥n，则m·n＝0. 22由向量数量积的坐标公式得2sin x－2x＝0，4分
∴tan x＝1.6分
ππ221(2)∵m与n3m·n＝|m|·|n|cos 3，即2sin x－2x＝2，8分
?π1∴sin ?x－4＝2.10分 ??
π?π?ππ??又∵x∈?0，2?，∴x－4∈?－4，4?， ????
ππ5π∴x－4＝6，即x＝12分
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