2016年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料 （理科）
1．本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写，共38题，请各校教师根据本校学生的实际情况选择使用．
2．本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用，希望在5月31日之前完成．
3．本训练题与市高三质量抽测、一测、二测等数学试题在内容上相互配套，互为补充．四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法．因此，希望同学们在5月31日至6月6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍．
希望同学们保持良好的心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！
1
．已知函数f(x)?x?)cos(x?)?sin2x?a的最大值为1．44
（Ⅰ）求常数a的值； （Ⅱ）求函数f(x)的单调递增区间；
（Ⅲ）若将f(x)的图象向左平移???
6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间
[0,]上的最大值和最小值．2
π2．某同学用“五点法”画函数f(x)?Asin(?x??)(??0,|?|?)在某一个周期内的图象时，2?
列表并填入了部分数据，如下表：
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）将y?f(x)图象上所有点向左平行移动?(??0)个单位长度，得到y?g(x)的图 象. 若y?g(x)图象的一个对称中心为(
5π,0)，求?的最小值.12
3．已知△ABC中，内角A，B，C满足(3sinB?cosB3sinC?cosC)?4cosBcosC （Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 若sinB=psinC，且△ABC是锐角三角形，求实数p的取值范围．
4．如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asin?x(A>0, ?>0) x?[0,4]的图象，且图象的最高点为
S(3，
；赛道的后一部分为折线段MNP，为
保证参赛运动员的安全，限定?MNP=120
（I）求A , o?的值和M，P两点间的距离； （II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
5．在?ABC中，点M是BC的中点，?AMC的三边长是连续的三个正整数，且tan?C?
1.（Ⅰ）判断?ABC的形状；（Ⅱ）求?BAC的余弦值. tan?BAM
6． 如图，在平面直角坐标系中，锐角?、?的终边分别与单位圆交于A，B两点．
35（Ⅰ）如果tan??，B点的横坐标为，求cos?????的值； 413
（Ⅱ）若角???的终边与单位圆交于C点，设角?、????、
的正弦线分别为MA、NB、PC，求证：线段MA、NB、PC能构成一个三角形；
（III）探究第（Ⅱ）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？ 若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
7．等差数列?an?中，a2?4，a4?a7?15．
（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设bn?2an?2?n，求b1?b2?b3?????b10的值．
8．设数列?an?的前n项和为Sn，满足?1?q?Sn?qan?1，且q?q?1??0． （Ⅰ）求?an?的通项公式；
（Ⅱ）若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列．
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn?n?n2,n?N?． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； ?2an,?????????????????????n?2k?1,??（Ⅱ）设bn??（k?N），求数列{bn}的前2n项和T2n． 2,n?2k.?(1?a)(1?a)nn?2?
*10．已知数列{an}的前n项和为Sn(n?N)，且满足an?Sn?2n?1．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求证：
111．已知首项为的等比数列{an}是递减数列，其前n项和为Sn，且S1＋a1，S2＋a2，S3＋a32
成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
Tn＋21（Ⅱ）若bn＝an·log2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式n＋2≥16n值．
12．已知?bn?为单调递增的等差数列，b3?b8?26,b5b6?168,设数列?an?满足1111?2???n?． 2a1a22a2a32anan?132a1?22a2?23a3?????2nan?2bn
(Ⅰ)求数列?bn?的通项 ； (Ⅱ)求数列?an?的前n项和Sn 。
13．有甲乙两个班进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩
后，得到如下列联表．
已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为2． （Ⅰ）请完成上面的列联表； 7
（Ⅱ）根据列联表的数据，若按95﹪的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关”；
（Ⅲ）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班10名优秀的学生按2到11进行编号，先后两次抛得一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号．试求抽到6号或10号的概率．参考公式：
2n（ad－bc）附：K＝（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
14． 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果．
（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3
件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和数学期望．
15．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4
个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（Ⅰ）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（Ⅱ）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列，数学期望及方差．
16．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：
（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率； （Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：
（ⅰ）记乙公司送餐员日工资为X(单位：元),求X的分布列和数学期望；
（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，
请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．
17．从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如
下频率分布直方图：
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均数x,中位数和样本方差s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(?,?2)，其中?近似为样本平均数x，?近似为样本方差s．
(i)利用该正态分布，求P(187.8?Z?212.2)；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187．8,212．2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
．2．
2若Z～N(?,?)，则P(????Z????)=0．6826，P(??2??Z???2?)=0．9544． 222
18． 第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行．下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．
（Ⅰ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；
（Ⅱ）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知
甲、乙猜中国代表团的概率都为43，丙猜中国代表团的概率为，三人各自猜哪个代表团55
的结果互不影响．现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．
中国
1
2
3
4
5
19． 如图，五面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，AB=6，AD=4．顶部线段EF∥平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=EF=2，二面角F﹣BC﹣A的余弦值为
（Ⅰ）在线段BC上是否存在一点N，使BC⊥平面EFN；
（Ⅱ）求平面EFB和平面CFB所成锐二面角的余弦值． 俄罗斯 ．17
?C中，???C?90，???C?60，???2，D、?分别为?C、20．如图1，在Rt??
?D的中点，连接??并延长交?C于F，将???D沿?D折起，使平面??D?平面?CD，如图2所示．
(Ⅰ)求证：???平面?CD；
（Ⅱ）求平面??F与平面?DC所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段?F上是否存在点?使得??//平面?DC？若存在，请指出点?的位置；若不存在，说明理由．
21．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面ABB1A
,AA1D为1为矩形，AB?BC?1??
AA1的中点，BD与AB1交于点O,BC?AB1．
（Ⅰ）证明：CD?AB1；
（Ⅱ）若OC?
，求二面角A?BC?B1的余弦值． 3
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2E是PB上任意一点．
（Ⅰ）求证：AC⊥DE；
（Ⅱ）已知二面角A﹣PB﹣D的正切值为，，若E为PB3
的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．
23．如图，四边形PCBM是直角梯形，?PCB?90,PM//BC,PM?1,BC?2,又0
AC?1,?ACB?120?,AB?PC，直线AM与直线PC所成的角为60?． （Ⅰ）求证：PC?AC；
（Ⅱ）求二面角M?AC?B的余弦值；
（Ⅲ）求点B到平面MAC的距离．
24．已知矩形A1ABB1，且AB?2AA1 ，C1,C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60的二面角，如图所示．
（Ⅰ）求证： AB1⊥A1D； （Ⅱ）求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值．
AA1oA
11 CC1BB1
25．F以抛物线P：y?4x的焦点F为圆心，且与抛物线P有且只有一个公共点． （I）求圆F的方程；
（Ⅱ）过点M(?1,0)作圆F的两条切线与抛物线P分别交于点A,B和C,D，求经过2
A,B,C,D四点的圆E的方程．
26
．如图，已知圆E:(x2?y2?
16，点F，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q． （Ⅰ）求动点Q的轨迹?的方程；
（Ⅱ）已知A,B,C是轨迹?的三个动点，A与B关于原点对称，且|CA|?|CB|，问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点C的坐标，若不存在，请说明理由．
27．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．
28．已知A,B的坐标分别为(?2, 0)，(2, 0)．直线AP,BP相交于点P，且它们的斜率之积为?3． （Ⅰ）求点P的轨迹方程； 4
（Ⅱ）设Q的坐标为?1,0?,直线AP与直线x?2交于点D，当直线AP绕点A转动时，试
判断以BD为直径的圆与直线PQ的位置关系，并加以证明．
e x
29．已知函数 f (x) = ． x－mx + 1
（Ⅰ）若 m∈(－2,2)，求函数 y = f (x) 的单调区间；
1（Ⅱ）若 m∈(0, ]，则当 x∈[0,m + 1] 时，函数 y = f (x) 的图像是否总在直线 y = x上方?2
请写出判断过程．
30．已知函数 f (x) = x 2－ax(a≠0)，g(x) = ln x，f (x) 图象与 x轴异于原点的交点 M处的切线为 l1，g(x－1) 与 x 轴的交点 N 处的切线为 l2，并且 l1与 l2平行．
(Ⅰ) 求 f （Ⅱ） 的值；
(Ⅱ) 已知实数 t∈R，求 u = x ln x，x∈[1,e] 的取值范围及函数 y = f [xg(x) + t]，x∈[1,e] 的最小值；
(Ⅲ) 令 F(x) = g(x) + g’(x)，给定 x1、x2∈(1,+ )，x1 < x2，对于两个大于1的正数 、 ，存在实数 m满足 = mx1 + (1－m) x2， = (1－m) x1 + mx2，并且使得不等式 | F( )－F( ) | < | F(x1)－F(x2) | 恒成立，求实数 m 的取值范围．
31．设 f (x) = sin x ，x∈[0, ] e2
(Ⅰ) 求 f (x) 的单调区间；
(Ⅱ) 证明 f (x)≤x 恒成立；
(Ⅲ) 设 x1、x2∈[0,]，p、q > 0，p + q = 1，求证: f (px1 + qx2)≥pf (x1) + qf (x2)． 2
?
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