回扣3 三角函数、平面向量
1.准确记忆六组诱导公式
kπ对于“±α，k∈Z”的三角函数值，与α角的三角函数值的关系可按口诀记忆：奇变偶不2
变，符号看象限.
2.同角三角函数的基本关系式
sin αsin2α＋cos2α＝1，tan α＝α≠0). cos α
3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β.
tan α±tan β(3)tan(α±β)＝1?tan αtan β
b(4)asin α＋bcos α＝a＋bsin(α＋φ)(其中tan φa
4.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
2tan α(3)tan 2α＝1－tanα
5.三种三角函数的性质
6.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象
(1)“五点法”作图：
π3π设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得. 22
(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口.
(3)图象变换：
y＝sin x――――――――――→y＝sin(x＋φ) 平移|φ|个单位
1横坐标变为原来的ω>0?倍――――― ―――――――→y＝sin(ωx＋φ) 纵坐标不变向左?φ>0?或向右?φ<0?
――――――――――――→y＝Asin(ωx＋φ). 横坐标不变
7.正弦定理及其变形
abc＝2R(2R为△ABC外接圆的直径). sin Asin Bsin C
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
abcsin A＝，sin B＝，sin C＝2R2R2R
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
8.余弦定理及其推论、变形
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2
推论：cos A＝cos B＝cos C＝2bc2ac2ab
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C.
9.面积公式
111S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C. 222
10.解三角形
(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解.
(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一.
(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解.
(4)已知三边，利用余弦定理求解.
11.平面向量的数量积
(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
12.两个非零向量平行、垂直的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. 纵坐标变为原来的A?A>0?倍
(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
13.利用数量积求长度
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x＋y.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
→|AB|＝?x2－x1?＋?y2－y1?.
14.利用数量积求夹角
x1x2＋y1y2a·b若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ. |a||b|x1＋y1 x＋y22
15.三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则
→→→(1)O为△ABC的外心?|OA|＝|OB|＝|OC|＝
→→→(2)O为△ABC的重心?OA＋OB＋OC＝0.
→→→→→→(3)O为△ABC的垂心?OA·OB＝
OB·OC＝OC·OA.
→→→(4)O为△ABC的内心?aOA＋bOB＋cOC＝0. a2sin A
1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号.
2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围.
3.求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解.
φ4.三角函数图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得y＝sin(ωx＋φ)时，平移量为??ω，
而不是φ.
5.在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.
6.要特别注意零向量带来的问题：
0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行.
7.a·b>0是〈a，b〉为锐角的必要不充分条件；
a·b<0是〈a，b〉为钝角的必要不充分条件.
1.2sin 45°cos 15°－sin 30°的值等于( )
123A. B. D.1 222
答案 C
解析 2sin 45°cos 15°－sin 30°＝2sin 45°cos 15°－sin(45°－15°)＝2sin 45°cos 15°－(sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°)＝sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝sin 60°＝
π2.要得到函数y＝sin 2x的图象，可由函数y＝cos(2x－ ) 3
πA.向左平移个单位长度得到 6
πB.向右平移个单位长度得到 6
πC.向左平移个单位长度得到 12
πD.向右平移个单位长度得到 12
答案 D
ππππ解析 由于函数y＝sin 2x＝cos(－2x)＝cos(2x－＝cos[2(x－－，所以可由函数y＝22123
ππcos(2x向右平移y＝sin 2x的图象， 312
故选D.
π3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝ABC3
的面积是( )
93A.3 B. C. 3 22
答案 C
解析 c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6，①
π∵Cc2＝a2＋b2－ab，② 3
由①和②得ab＝6，
1133∴S△ABC＝absin C＝×6＝， 2222
故选C.
4.(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是( ) A.3 B.1＋2 C.2 D.2(tan 18°＋tan 27°)
答案 C
解析 由题意得，tan(18°＋27°)＝
tan 18°＋tan 27°即1， 1－tan 18°tan 27°tan 18°＋tan 27° 1－tan 18°tan 27°3故选C. 2
所以tan 18°＋tan 27°＝1－tan 18°tan 27°，
所以(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝2，故选C.
5.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
答案 B
解析 ∵bcos C＋ccos B＝asin A，
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，
π∴sin(B＋C)＝sin2A，∴sin A＝1，∴A＝，三角形为直角三角形. 2
6.已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是( )
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定
答案 A
πππ解析 ∵A、B、C是锐角△ABC的三个内角，∴A＋B>AB>0，∴sin A>sin(B)222
＝cos B，
∴p·q＝sin A－cos B>0.再根据p，q的坐标可得p，q不共线，故p与q的夹角为锐角.
1π3π7. f(x)＝sin(2x－＋x－是( ) 2323
A.最小正周期为2π的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数
答案 C
1π3πππ解析 f(x)＝x－)cos(2x－＝sin(2x－＋＝sin 2x，是最小正周期为π的奇函232333
数，故选C.
18.已知a，b为同一平面内的两个向量，且a＝(1，2)，|b|＝|a|，若a＋2b与2a－b垂直，则2
a与b的夹角为( )
π2πA.0 B. C. D.π 43
答案 D
155解析 |b|＝|a|＝，而(a＋2b)·(2a－b)＝0?2a2－2b2＋3b·a＝0?b·a＝－，从而cos〈b，a〉222
b·a＝＝－1，〈b，a〉＝π，故选D. |b|·|a|
9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c有下列命题： B.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为π的偶函数
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