浩学 教育
高中数学
高中数学排列组合
一．基础知识
1.分类计数原理：完成一件事情有n类方法，在第一类办法里有m1种不同的方法，在第二类办法里有m2种不同的方法......在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N=m1?m2?...?mn种不同的方法。
2.分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法......做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N=m1?m2?...mn种不同的方法。
3.（1）排列：一般地，从n个不同的元素中取出m（m?n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
（2）排列数：一般地，从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用符号An表示
...(n?m?1) （3）An?n(n?1)(n?2）mm
若m=n，得An?n!?n(n?1)(n?2)...3?2?1，左边表示n个不同元素全部取出的
排列数，称为全排列数。右边表示正整数1到n的连乘积，称为n的阶乘。
4.（1）组合：一般地，从n个不同元素中取出m（m?n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
（2）组合数：一般地，从n个不同元素中取出m（m?n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cn表示
（3）组合数公式Cn?
mmnmAmnmm?n! m!(n?m)!（4）常用性质：?Cn?Cn
?Cn?1?Cn?Cn
5.相邻问题（捆绑问题）
n个元素排列，其中的m个元素要求相邻，把这m个元素看成1个元素与其他n-m个元素排列，在考虑这m个元素自身的顺序即可，其结果是(n?m?1)!m!
6.相离问题（插空问题）
n个元素排列，其中的m个元素要求彼此互不相邻，先排其余的n-m个元素，这n-m个元素的每相邻的两个元素之间都有一个空，再加上两端，共有n-m+1个空，从这n-m+1个空中选m个空去排要求彼此互不相邻的m个元素就可以了，mmm?1n?m
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其结果是(n?m)!An?m?1
7.定位问题：（1）单定位：n个元素排列，某个元素要求排在某个指定的位置上，等价于没有这个元素和没有这个位置，其结果是（n-1）!
（2）复定位：n个元素排列，k个元素要求排在m个指定的位置上，先从这m个位置中选出k个位置去排这k个元素，再排其余n-k个元素即可，其结果是mAk
m(n?k)! 8.平均分组问题：把n个元素平均分成m组，每组k（k=
的分法Ann?k
m
mkkkn?2kn）个元素，共有不同m...种
n?19.(a?b)?Cna?Cna0n1nb1?Cna2n?2b2?...?Cnarn?rbr?...?Cnb(n?N) nn*
这个公式叫做二项式定理。右边的多项式叫做(a?b)的二项展开式，其中的系数Cn(r?0,1,2,...,n)叫做二项式系数。式中的Cnarrn?rnbr叫做二项展开式的通项，
用Tr?1表示，它是展开式中的r+1项，即Tr?1?Cna
nrn?rbr 当n依次取0,1,2,3，...时，(a?b)的展开式的二项式系数即为杨辉三角
常用性质：（1）二项式系数的和为2；（2）奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
n
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