重点的题
副标题
一、选择题(本大题共2小题，共6.0分)
1.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整
个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千
米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关
系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．其中正确的结论有（）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的顶点A在y轴上，
顶点D、F在x轴上，点C在DE边上，反比例函数y=（k≠0）
的图象经过点B、C和边EF的中点M．若S正方形ABCD=2，则
正方形DEFG的面积为（）
A.
D.B.
二、计算题(本大题共1小题，共6.0分)
3.如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上数大1，那么我们把这样的自然数叫做“妙数”．例如：321，6543，98，?都是“妙数”．
（1）若某个“妙数”恰好等于其个位数的153倍，则这个“妙数”为 ______ ．
（2）证明：任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1得到的结果一定能被11整除．
（3）在某个三位“妙数”的左侧放置一个一位自然数m作为千位上的数字，从而得到一新的四位自然数A，且m大于自然数A百位上的数字，否存在一个一位自然数n，使得自然数（9A+n）各数位上的数字全都相同？若存在请求出m和n的值；若不存在，请说明理由．
三、解答题(本大题共16小题，共128.0分)
4.如图1，正方形ABCD中，AC是对角线，等腰Rt△CMN中，∠CMN=90°，CM=MN，点M在CD边上，连接AN，点E是AN的中点，连接BE．
（1）若CM=2，AB=6，求AE的值；
（2）求证：2BE=AC+CN；
（3）当等腰Rt△CMN的点M落在正方形ABCD的BC边上，如图2，连接AN，点E是AN
初中数学试卷第1页，共7页C.4
的中点，连接BE，延长NM交AC于点F．请探究线段BE、AC、CN的数量关系，并证明你的结论．
5.如图，抛物线y=交x轴于点A、B，交y轴于点C．
（1）求该抛物线的对称轴及△ABC的面积．
（2）如图1，已知点Q（0，），点P是直线AC下方抛物线上的一动点，连接PQ交直线AC于点K，连接BQ、BK，当点P使得△BQK周长最小时，请求出△BQK周长的最小值和此时点P的横坐标．
（3）如图2，线段AC水平向右平移得线段FE（点A的对应点是F，点C的对应点是E），将△ACF沿CF翻折得△CFA′，连接A′E，是否存在点F，使得△CEA′是直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理
由．
6.在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．
（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；
（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，
（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关
系．
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物
线y=x2-x-10与y轴的交点为点B，
过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点
C，连接AC．现有两动点P，Q分别从O，C
两点同时出发，点P以每秒4个单位的速
度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单
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位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）．
（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；
（3）当0＜t＜时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．
8.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c分别交x轴于A（4，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，-3），过点A的直线
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）若点P为x轴上的一个动点，点Q在线段AC上，且Q点到x轴的距离为，连接交抛物线与另一点D． PC、PQ，当△PCQ周长最小时，求出点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的结论下，连接PD，在平面内是否存在△A1P1D1，使△A1P1D1≌△APD（点A1、P1、D1的对应点分别是A、P、D，A1P1平行于y轴，点P1在点A1上方），且△A1P1D1的两个顶点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点A1的横坐标m；若不存在，请说明理由．
9.如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”．如：2=13-（-1）3，26=33-13，所以2、26均为“麻辣数”．
【立方差公式a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）】
（1）请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由；
（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“求出在不超过2016的自然数中，所有的‘麻辣数’之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“这个难不倒图图，我们知道奇数可以用2k+1表示?，再结合立方差公式?”，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程．
10.已知抛物线y=-x2++4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接AC、BC．
（1）求交点A、B的坐标以及直线BC的解析式；
（2）如图1，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点O运动，过点P作y轴的平行线交线段BC于点M，交抛物线于点N，过点N作NC⊥BC交BC于点K，当△MNK与△MPB的面积比为1：2时，求动点P的运动时间t的值；
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（3）如图2，动点P 从点B出发以每秒5个单位的速度向点A运动，同时另一个动点Q从点A出发沿AC以相同速度向终点C运动，且P、Q同时停止，分别以PQ、BP为边在x轴上方作正方形PQEF和正方形BPGH（正方形顶点按顺时针顺序），当正方形PQEF和正方形BPGH重叠部分是一个轴对称图形时，请求出此时轴对称图形的面
积．
11.连续整数之间有许多神奇的关系，
如：32+42=52，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广：设三个连续整数为a，b，c（a＜b＜c） 若a2+b2=c2，则称这样的正整数组为“奇幻数组”；
222若a+b＜c，则称这样的正整数组为“魔幻数组”；
222若a+b＞c，则称这样的正整数组为“梦幻数组”．
（1）若有一组正整数组为“魔幻数组”，写出所有的“魔幻数组”；
（2）现有几组“科幻数组”具有下面的特征：
若有3个连续整数：
若有5个连续整数：
若有7个连续整数：=2； =2； =2；
?
由此获得启发，若存在n（7＜n＜11）个连续正整数也满足上述规律，求这n个数．
12.如图，△ABC中，AB=BC，以AB为一边向外作菱形ABDE，连接DC，EB并延长EB交AC于F，且CB⊥AE于G．
（1）如图1，若∠EBG=20°，求∠AFE；
（2）试问线段AE，AF，CF之间的数量关系并证明；
（3）如图2，延长DB交AC于H，若O为DH的中点，过O作MN∥AC交EF于M，交CD于N，连结NF，若S四边形ABDE=24，BE=6，直接写出BH+NF的
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值．
13.在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，延长AB至点D，使BD=BC，点E是直线BC上一点，点F是直线AC上一点，连接DE．连接EF，且∠DEF=∠DBC．
（1）如图1，若∠D=∠EFC=15°，AB=，求AC的长．
（2）如图2，当∠BAC=45°，点E为线段BC的延长线上，点F在线段AC的延长线上时，求证：CF=BE．
（3）如图3，当∠BAC=90°，点E为线段CB的延长线上，点F在线段CA的延长线上时，猜想线段CF与线段BE的数量关系，并证明猜想的结
论．
14.（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．
（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．
15.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），
B（5，0）两点，直线y=-x+3与y轴交于点C，与
x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，
过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P
的横坐标为m．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）若PE=5EF，求m的值；
（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16.如图1，△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接
DE．
（1）若AB=BC，DE=1，BE=3，求△ABC的周长；
（2）如图2，若AB=BC，AD=BD，∠ADB的角平分线DF交BE于点F，求证：BF=DE；
（3）如图3，若AB≠BC，AD=BD，将△ADC沿着AC翻折得到△AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论．
17.已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任一
点．
（1）如图（1），若∠A=45°，AB=，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE，AD交于点F，求DE的长．
（2）如图（2），若2∠AEB=180°-∠BED，∠ABE=60°，求证：BC=BE+DE
（3）如图（3），若点E在的CB延长线上时，连接DE，试猜想∠BED，∠ABD，∠CDE三个角之间的数量关系，直接写出结论．
18.如图1，已知抛物线y=
y轴相交于点C，顶点为x2-x-3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与
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D
（1）求出点A，B，D的坐标；
（2）如图1，若线段OB在x轴上移动，且点O，B移动后的对应点为O′，B′．首尾顺次连接点O′、B′、D、C构成四边形O′′B′DC，请求出四边形O′B′DC的周长最小值．
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接CM、MN．当△CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点N的坐标．
19.如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴
上，且AB=3，BC=2，直线y=x-2经过点C，交y轴于
点G．
（1）求C，D坐标；
（2）已知抛物线顶点y=x-2上，且经过C，D，若抛物线
与y交于点M连接MC，设点Q是线段下方此抛物线上一点，当
点Q运动到什么位置时，△MCQ的面积最大？求出此时点Q的
坐标和面积的最大值．
（3）将（2）中抛物线沿直线y=x-2平移，平移后的抛物
线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）．平移后是否
存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
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