数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 （选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
21．函数f(x)??log2(x?x)的定义域为
A．(??,0)?(1,??)
C． [?1,0)?(1,2] B． [?1,2] D．(??,?1]?[2,??)
2．若直线(k2?1)x?y?1?2k?0不过第二象限，则实数k的取值范围是
A． ?1?k?1 2
B ． ?1?k?1 21?k?1 2C．k≥1D．
3．设A??x?x?2??0?,B??x|x2?ax?4?0?，若A?B?B，则实数a的取值范围为 ?x?4?
B． [?1,2]C． [0,3]D． [0,3)A ．[?1,2)
4．已知函数f(x)?2sin(?x?)，则f(1)?f(2)???f(2009)的值为 23
B
．1C
．D．0 ?A．1
5．在公差不为零的等差数列?an?中，a1,a3,a7依次成等比数列，前7项和为35,则数列?an?的通项an?
A．nB．n?1 C．2n?1D．2n?1
26． 若函数f(x)?x?2x?m (m?R)有两个零点，并且不等式f(1?x)??1恒成立则
实数m的取值范围为
A．(0,1) B． [0,1)C．(0,1]D[0,1]
7．计算cot70?tan??50???1
tan20??tan50?的值是
A
B
． C
．? D
．33
8． ?2
?2e|x|dx的值等于
2?22A．e?e B． 2e C． 2e?2 D． e?e22?2?2
x2y2
?1上的点，且点P到双曲线右准线的距离是P到两个焦点距9．已知点P是双曲线?169
离的等差中项，则P点横坐标x为
A．?3264 B． 55C．?6432 D． 55
10．定义运算ab?|ad?bc|，则对复数z?x?yi(x,y?R)符合条件z?xcd1的点在复平面上所表示的曲线形状是
A．直线 B． 圆 C． 椭圆 D．抛物线
11．曲线y?ln(2x?1)上的点到直线2x?y?8?0的最短距离是
A
B
． C．
D． 0
12．已知定义在R上的函数y?f(x)满足下列三个条件：
①对于任意的x?R都有f(x?4)?f(x)；
②对于任意的0?x1?x2?2都有f(x1)?f(x2)；
③函数y?f(x?2)的图象关于y轴对称.
则下列结论正确的是
B．f(5)?f(6.5)?f(15.5) A．f(6.5)?f(5)?f(15.5)
C．f(5)?f(15.5)?f(6.5) D．f(15.5)?f(5)?f(6.5)
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．甲乙两个小组各10名同学的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示：甲乙两组的平均数与中位数之差较大的组是．
14．阅读程序框图，输出的结果为．
?
?
?
15．已知OA?(0,1),OB?(?6,8)，若C点在?AOB的角平分线上，且|OC|?1，则C点坐标为 ．16． 定义一种运算“*”对于正整数满足下列运算：（1）2*2000=1 ，（2）（2n+2）*2000=3+（2n）*2000，则． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
在某平原地区有两个村庄A、B，分别驻守着两支敌方部队，一侦察兵为测量A、B两地距离，选取相距3km的C、D两地（在A、B两地的同侧），并测得
?ACB??BCD??ADB?60?，?ADC?30?，求A、B两地距离。
18． 已知向量m?(2cosx,sinxcosx),n?(a,b),f(x)?m?n?
2
,函数f?x?
的图2
象关于直线x??
12 对称，且f?
0??。 2
（Ⅰ）求f?x?的最小正周期；
（Ⅱ）求f?x?的单调递增区间；
（Ⅲ）函数的图象经过怎样平移变换能使所得图象对应的函数为偶函数？
19．已知圆M的方程为(x?2cos?)2?(y?3sin?)2?1,??[0,2?)，直线l:(2??)x?(1??)y?3?0,??R
（Ⅰ）求圆心M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）判断l与E的位置关系，并加以证明；
（Ⅲ）当l的斜率为
的最大值。
20．美国华尔街的次贷危机引起的金融风暴席卷全球，低迷的市场造成产品销售越来越难，为此某厂家举行大型的促销活动，经测算该产品的销售量P万件与促销费用x万元(x?0)
1时，l交曲线E于A，B两点，P是曲线E上的动点，求?PAB面积2
满足P?3?2（k为常数），如果不搞促销活动，该产品的销售只能是一万件，已知生x?k
产该产品的固定投入是10万元，每生产1万件该产品需要再投入2万元，产品的销售价格定为该产品的平均成本（不含促销费用）的2倍，
（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大。
21．已知 数列{an}、{bn}满足，（n?2,n?N）,a1?b1?1,a2?3,且Sn?1?Sn?1?2(Sn?1)
其中Sn 为数列{an}的前n项和．又b1?2b2?22b3???2n?2bn?1?2n?1bn?an, 对任意*n?N*都成立，
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列?an?bn?的前n项和Tn．
22．已知函数f(x)?a3b2x?x?x (a?0)，g(x)?x(lnx?m)， 32
（Ⅰ）当m?1时，求g(x)的单调递增区间；
（Ⅱ）若x1,x2是f(x)两个极值点，且x1?1?x2?2，求证f'(3)?1；
（Ⅲ）若f(x)是奇函数，且当m?1时，f(x)?g(x)有两个不同的实根，求a的取值范围。
参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题5分，共60分） 题 号 答 案
1 C
2 C
3 D
4 A
5 B
6 B
7 A
8 C
9 C
10 D
11 B
12 A
第Ⅱ卷
二、填空题（每小题4分，共16分）
13． 乙组 14． 15．(?三、解答题（共6小题，共79分） 17．（12分）
解：在?BDC中 ?BDC?60?30?90，
?
?
?
3,)16．1010
?BC?
CD
?2?3?6 …………………………………3分
cos60?
?
?
?
?
?
在?ACD中?CAD?180?60?60?30?30，
?AC?CD?3 …………………………………6分
在?ABC中，AB?62?32?2?6?3?cos60??km
所以A，B两地的距离为3km ………………………………12分
18．（12分）
解：（1） f(x)?m?n?
??
3?2acos2x?bsinxcosx 2sin2xb?acos2x?sin2x?a 22?a?
cos2x?1??
b
∵f?0??
3? ∴
a?a? ?
a?
2222
又函数f(x)的图象关于直线x?
?
12
对称， 有f?0??f?
???
? ?6?
即 ?b?33= cos+sin 32322
1???2x?sin2x?sin?2x?? , ……………3分 223???b?1,?f?
x??
故周期T?? 。 ………………6分
（2） 当f(x)单调递增时， ??
2?2k??2x??
3??
2?2k? ?k?Z?
? ?5???k??x??k? ?k?Z? 1212
∴f(x)的单调递增递增区间是 ????5???k?,?k???k?Z? ………………9分 12?12?
（3） f?x??sin?2x?
∴f(x)的图像向左移??????????????cos?2x??cos2x???????。 ?3?3???12??2??个单位，所对应的函数为偶函数。 12
?k??,k?Z） ………………12分 （ 答案不唯一：122
?x?2cos?x2y2
??1 ………………4分 解：（1）设M(x,y)，则?，消去?得 43?y?sin?19．（12分）
（2）由l得：(2x?y?3)?(x?y)??0
令??2x?y?3?0?x?1，所以l过定点M(1,1) ???y?1?x?y?0
1212
???1，所以M点在椭圆内，所以直线l与曲线E相交………………8分 43
?x?2y?1?0??16y2?12y?9?0 （3）设A(x1,y1),B(x2,y2)，联立?x2y2
??1?3?4
3?y?y?2?14 所以|AB|?5??(3)2?4?9??15 ???916??4?4?y1y2??16?
设与l平行的切线：x?2y?b?0,则16y?12by?3b?12?0 22
???144b2?4?16?(3b2?12)?0?b??4
所以切线与l间的最远距离d?
20．（12分）
解：（1）由题意知x?0时，P?1万件， ，?Smax?155………………12分 8
22?k?1,?P?3?………………2分 kx?1
10?2P10?2P)万元，y?2?()?P?10?2P?x ………5分 该产品售价为2?(PP
4?x?1)，代入化简的 y?17?(（x?0） ………………7分 x?1即1?3?
（2）y?17?(
当44?x?1)?17?2?(x?1)?13 x?1x?14?x?1,即x?1时，上式取等号 x?1
所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大。 ………………12分
21．（12分）
解：（1）?Sn?1?Sn?1?2(Sn?1),?Sn?2?Sn?2(Sn?1?1)
两式作差得：an?2?an?2an?1,?an?2n?1 ………………3分 由阶差法得：2n?1bn?an?an?1?2,(n?2)?bn?22?n,(n?2)
又?b1?1不满足，?bn???1
2?n?2n?1 ………………6分 n?2
,n?1 ,n?2（2）cn?anbn??1?
2?n?(2n?1)?2
Tn?1?3?5?2?1?7?2?2???(2n?1)22?n
113?2?31?nTn???5?2?7?2???(2n?1)2222
17Tn??2?(2?1?2?2???22?n)?(2n?1)?21?n
两式作差得：2 2
7
??2?
2
?
2?1(1?
1
n?2
11?2
)
?(2n?1)?21?n
11
?(2n?3)?21?n 2
?Tn?11?(2n?3)?22?n ………………12分
22．（14分）
解：（1）当m?1时，g(x)?x(lnx?1)
g'(x)?lnx?2，由g'(x)?0得：x?e?2
所以g(x)的单调增区间为[e?2,??) （2）f'(x)?ax2?bx?1,若x1?1?x2?2，则满足
??f'(1)?a?b?1?0??f'(2)?4a?2b?1?0??a?12f'(2)?f'(1)?12 ???a?0??
b?2f'(1)?12f'(2)?32?f'(3)?9a?3b?1?3f'(2)?3f'(1)?1?1 （3）由f(x)为奇函数得：b?0 当m?1，由f(x)?g(x)得，a?3lnx
x2
令y?a,F(x)?
3lnx
x2
，若f(x)?g(x)有两个不同的实数根， 则满足y?a与F(x)?3lnx
x
2
在(0,??)有两个不同的交点， ?F'(x)?3?6lnx
x3
所以当x?(0,e)，F(x)为单调增函数， 当x?(e,??)，F(x)为单调减函数
?Fmax(x)?F(e)?
32e，?a?32e
，又因为a?0 所以a的取值范围为0?a?3
2e
………………4分 ………………9分
分
………………14
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