2016—2017学年大兴区上学期初三数学期末试卷
一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）
1. 已知3x?5y(y?0),则下列比例式成立的是
A．xyx5x3xy?B.?C. ? D.
? 3y 53 y5
3 5434C
．D． 5432．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5,则cosA的值是 A． B．
23. 将抛物线y?x先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，A．y?(x?2)?3 B．y?(x?2)?3C．y?(x?2)?3 D．y?(x?2)?3
4. 如图，在△ABC中， DE∥BC
，AD∶AB=1∶3，若△ADE的面积等于
A．9 B．15C．18 D．27
5. 当m< -1时,二次函数y?(m?1)x?1的图象一定经过的象限是 22222A．一、二B．三、四 C．一、二、三
6.
7. 如图,将一把两边都带有刻度的直尺放在以AB为直径的半圆形纸
片上,使其一边经过圆心O,另一边所在直线与半圆相交于点D , E.现度量出半径OC=5cm,弦DE=8cm,则直尺的宽度为
A.1cmB.2cmC.3cmD. 4cm
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=4cm,若以点C ，∠B=30°
为圆心,以2cm为半径作⊙C,则AB与⊙C的位置关系是
A.相离 B.相切
C.相交 D.相切或相交
9. 如图，A,B,C是⊙O上三个点,∠AOB=2∠BOC,则下列说法中正确的是
A. ∠OBA=∠OCA B. 四边形OABC内接于⊙O
C.. AB=2BC D. ∠OBA+∠BOC=90°
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，那么一元二次
方程ax2+bx+c=m(a≠0, m为常数且m ≤4)的两根之和为
A. 1 B. 2
C. -1 D. -2
二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）
11.已知扇形的圆心角为60°，半径是2，则扇形的面积为_________.
12.二次函数y?2(x?2)2?1的最小值是_________.
13.请写出一个开口向上，且过点(0,1)的抛物线的表达式 _________.
14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BAD=110°,则∠C的度数
是_________.
15.已知抛物线y?x?2x?1，点P是抛物线上一动点，以点P为圆心，
2个单位长度为半径作⊙P. 当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为________.
16.在数学课上，老师提出如下问题：
如图，AB
是⊙O的直径，点C在⊙O外，AC,BC分别与⊙O交于点
D,E,请你作出△ABC中BC边上的高.
小文说：连结AE,则线段AE就是BC边上的高.
老师说：“小文的作法正确.”
请回答：小文的作图依据是_________.
三、解答题（本题共13道小题，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，共72分）
17. 计算：cos30??tan60??2sin45?
2
18.已知：如图，矩形ABCD中，E，F分别是CD,AD上的点，
且BF⊥AE于点M.
求证：AB﹒DE=AE﹒AM
19.已知抛物线的顶点坐标为（3，-4），且过点（0，5），求抛物线的表达式 .
20.某班开展测量教学楼高度的综合实践活动.大家完成任务的方
法有很多种，其中一种方法是：如图，他们在C点测得教学
楼AB的顶部点A的仰角为30°，然后向教学楼前进20米到达
点D，在点D测得点A的仰角为60°，且B, C, D三点在一条直
线上.请你根据这些数据，求出这幢教学楼AB的高度.
21．图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x(min)之间的关系如图2所示：
图1 图2
（1）根据图2填表：
x(m
in)
y
（m）
（2）变量y是x的函数吗？为什么？
（3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径
.
54 ? 0 3 6 8 12 ?
22.已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠C= 45°，AB=2,求⊙O的半径.
23. 已知:如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1?
于
点A（-4，-1）和点B（1，n）.
（1）求这两个函数的表达式；
（2）观察图象，当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围；
（3）如果点C与点A关于y轴对称，求△ABC的面积．
24.已知：在四边形ABCD中,?ABC?90?,?C?
60?,AB
?
（1）求tan?ABD的值；
（2）求AD的长.
25.某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每
天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣2x+80（20≤x≤40）．设这种健身球每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得
150元的销售利润，销售单价应定为多少元？
,BCm的图象与一次函数y2=kx+b的图象交x?1?CD?2.
26.已知：如图，在△ABC中，AC=BC,以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E.
（1）求证：DE⊥BC；
（2）若⊙O的半径为5，cosB=
27．阅读下面材料：
小敏遇到这一个问题：已知α为锐角，且tanα=1
23,求AB的长. 5，求tan2α
小敏根据锐角三角函数及三角形有关的学习经验，先画出一个含
锐角α的直角三角形：如图，在Rt△ABC中，∠C
=90°，∠B=α.她通
过独立思考及与同学进行交流、讨论后，形成了构造2α方法
1：如图1，作线段AB的垂直平分线交BC于点D,连结AD.
方法2：如图2，以直线
BC为对称轴，作出△ABC的轴对称图形△ABC．
方法3：如图3，以直线AB为对称轴，作出△
ABC的轴对称图形△ABC．
图1 图2 图3
请你参考上面的想法，根据勾股定理及三角函数等知识帮助小敏求tan2α的值．（一种方法即可）
28.已知：抛物线y = ax 2 + 4ax + 4a （a > 0）
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线经过点A（m，y1），B（n，y2），其中– 4 <m≤– 3，0 < n≤1，
则y 1_____y 2（用“<”或“>”填空）；
（3）如图，矩形CDEF的顶点分别为C（1，2），D（1，4），E（– 3，4），F（– 3，2），若该
抛物线与矩形的边有且只有两个公共点（包括矩形的顶点），求a的取值范围. ，，
备用图
29.已知：△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10,点D是边AB上的一点，过C，D两点的⊙O分别与边
CA，CB交于点E，F.
（1）若点D是AB的中点，
①在图1中用尺规作出一个符合条件的图形（保留作图痕迹，不写作法）； ．．
②如图2,连结EF，若EF∥AB,求线段EF的长;
③请写出求线段EF长度最小值的思路.
（2）如图3，当点D在边AB上运动时，线段EF长度的最小值是_________.
大兴区2016~2017学年度第一学期期末检测试卷
初三数学答案及评分标准
一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）
三、解答题（本题共13道小题，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题
8分，共72分）
17. 计算：cos30??tan60??2sin45? 解：原式
………………………3分 ?
2
= ……………………………5分
2
18.证明：如图
∵ 四边形ABCD是矩形∴∠BAD=∠D=90o， ∴∠BAE+∠EAD=90o. ∵BF⊥AE，∴∠AMB=90o. ∴∠BAE+∠ABM =90o
∴∠EAD =∠ABM……………………………2分 ∵∠D=∠AMB=90o，…………………………3分 ∴△ADE∽△BMA………………………………4分 ∴
AEDE
? ABAM
∴AB·DE=AE·AM …………………………………5分
19. 解: 设二次函数的表达式为y =a (x- h)2 + k(a≠0) ……………1分∵抛物线的顶点坐标是(3,-4),
∴y=a(x-3)2-4………………………………………………2分
又∵抛物线经过点(0,5)∴5=a(0-3)2-4 ………3分
∴a=1………………………………………………………4分
∴二次函数的表达式为y=(x-3)2－4……………………5分
化为一般式y=x2-6x+5
20. 解：如图，由已知，可得
∵∠ADB=60o，∠ACB=30o,
∴∠CAD=30o. …………1分
∴∠CAD=∠ACD∴CD= AD.
∵CD=20, ∴AD=20. … …………2分
∵∠ADB=60o,∠ABD=90o
∴sin∠ADB
=AB …………3分
?AD∴AB? ………4分
答：教学楼的高度为.…………………………5分
21.(1)
……………………………………………………………………………2分
(2)变量y是x的函数.
因为在这个变化的过程中，有两个变量x , y，对于x的每一个取值， y都有唯一确定的值和它相对应…………………………………4分
（3）65米…………………………………………………………………5分
22. 解：连结
OB,OA………………………………………1分
∵ ∠BCA=45o，
∴∠BOA=90o，…………………………………………2分
∵ OB=OA， ……………………………………………3分
∴ ∠OBA=∠OAB= 45o，………………………………4分
∵AB=2∴OB=OA=2……………………………………………5分
23. 解：（1）∵函数y1?m的图象过点A（-4，-1）， x
4 ∴m=4， ∴y=， 1x
4又∵点B（1，n）在y=上，1x
∴n=4， ∴B（1，4）
又∵一次函数y=kx+b过A,B两点， 2
??4k?b??1?k?1
即，?k?b?1 解之得?b?3． ??
∴y=x+3．2
综上可得y1=4，y2=x+3．…………………………………2分 x
12（2）要使y＞y，即函数y的图象总在函数y的图象上方， 12
∴x＜﹣4 或0 ＜ x ＜1．……………………………………4分
(3)作BD⊥AC于点D
∵AC=8，BD=5，
11∴△ABC的面积S△ABC=AC·BD=×8×5=20．…………………………5分 22
∴ tan∠ABD=1. … …………3分
AD? ………………5分 25.解：（1）w =（x﹣20）?y
=（x﹣20）（﹣2x+80）
=﹣2x2+120x﹣1600，
w与x的函数关系式为：w=﹣2x2+120x﹣1600；………………………………1分
（2）w=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200， …………………………………2分
∵﹣2＜0， ∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．…………………………………3分 答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．
（3）当w=150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200=150．
解得 x1=25，x2=35．……………………………………………………………4分
∵35＞28， ∴x2=35不符合题意，应舍去．
答：该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润，销售单价定为25元．………5分
26.（1）如图连结OD… ……1分
∵过点D作⊙O的切线交BC于点E
∴OD⊥DE于E ∴∠ODE=90°
∵OA=OD ∴∠A=∠1
∵AC=BC
∴∠A=∠B
∴∠B=∠1 ∴OD∥BC
∴∠ODE=∠DEB=90° ∴DE⊥BC… …………2分
（2）连结CD……… …………3分
∵AC为⊙O的直径∴∠ADC=90°∴CD⊥AB
∵AC=BC∴AD=BD,∠A=∠B
∴cosA=cosB=3AD=………… ………4分 5AC
∵⊙O的半径为5∴AC=BC=10
∴AD=6∴CD=8
∴AB=12………… ………………5分
27. 解：方法1：
∵线段AB的垂直平分线BC交于点D，
AD=BD, ……… …………1分
∴∠1=∠B
∵∠B=α ∴∠2=∠1+∠B=2α… ……3分
1AC1在Rt△ABC中，∠C=90°，tanα= ∴? 2BC2
设AC?k,DC?x,则AD?BD?2k?x,……………………………4分
在Rt△ADC中，∠C=90°，由勾股定理得，k2?x2?(2k?x)2,…… ……………5分 3k,……… ………………6分 4
ACk4∴tan2????.……… ………………7分 DC3k3
4解得：x?
方法2：过A作AD⊥A＇B于点D. …………………………………………1分 ∵△ABC、△A＇BC关于BC对称，
∴∠1=∠ABC =α
∴∠A＇BA=∠1+∠ABC =2α…………………………………………2分
1AC1在Rt△ABC中，∠C=90°，tanα=∴?
2BC2
设AC?A'C?k,则BC?2k,AB?A'B?,…………………………3分 ∵S?ABA'??AA'?BC??A'B?AD
∴2k?2k?AD………………………………………………………4分
1212∴AD5分 在Rt△ABD中，∠ADB=90°
，AB?,AD?
∴BD6分
AD4??.………………………………………………7分 ∴tan2??BD3
方法3：延长C＇A交BC的延长线于点D. ………………………………………1分 ∵△ABC、△ABC’关于直线AB对称，
∴∠1=∠ABC = α，BC＇= BC
∴∠C＇BC=∠1+∠ABC =2α………………………………………………2分
1∵tanα=∴设AC = k,则BC = 2k， 2
BC＇= 2k……………………………………………………………………3分 设CD = x
∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°,
∴△ACD ∽△BC’D………………………………………………………4分 ∴ACDCkx?? ∴ 2kC'DBCDC
∴C＇D = 2 x ∴AD =2x -k
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，
由勾股定理得，k2?x2?(2x?k)2 ……… ………5分
4x?k………… ……………6分 3
42?k,CD?4…… ………7分 ?∴tan2??2k3BC, 28. 解：（1）y = a ( x 2 + 4x + 4 ) = a ( x + 2 ) 2 ……………1分
抛物线的顶点为：（– 2，0）………………………2分
（2） y 1 < y 2…………………………………………4分
（3）对于y = a ( x + 2 ) 2
代入点C（1，2），得a = 2………………………5分 9
代入点F（– 3，2）得a = 2，………………………6分
∴
2< a < 2…………………………………………7分 9
29. （1）
①…………………………………2分
②如图,连结CD，FD
∵AC=6，BC=8，AB=10
∴AC2+BC2=AB2
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°
∴EF是⊙O的直径……………………………3分 ∵D是AB中点
∴DA=DB=DC=5
∴∠B=∠DCB，
∵EF∥AB
∴∠A=∠CEF
∵∠CDF=∠CEF
∴∠A=∠CDF
∵∠A+∠B=90°
∴∠CDF+∠DCB=90°
∴∠CFD=90°
∴CD是⊙O的直径
∴EF=CD=5………………4分
③由AC2+BC2=AB2可得∠ACB=90° ,
所以，EF是⊙O的直径.
由于CD是⊙O的弦,
所以，有EF≥CD，
所以，当CD是⊙O的直径时，EF最小…………6分
（2）
图3 A图1 图
2 24 错误！未指定书签。………………………………………………8分
5
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