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2000年全国硕士研究生入学统一考试
理工数学二试题详解及评析
一、 填空题
（1）limarctanx?x=. x→0ln1+2x3【答】 ?1. 6
1?12arctanx?xarctanx?x【详解】 lim=lim=lim2 33x→0ln1+2xx→06xx→02x
?x2
=lim2x→06x1+x2 =?
（2）设函数y=y(x)由方程2
【答】(ln2?1)dx
【详解】方法一：
根据微分形式不变性，在已知等式两边同时求微分，得2xy16=x+y所确定，则dy|x=0xy=. (ydx+xdy)ln2=dx+dy
由原方程知，当x=0时，y=1，将其代入上式，得ln2dx?dx=dy,
即有dy
方法二：
在方程2xy|x=0=(ln2?1)dx, =x+y两边对x求导，得
xy 2ln2??y+x?
?dy?dy=+ 1?dx?dx
将x=0代入原方程得y=1，将x=0，y=1代入上式有：ln2(1+0)=1+dy dx
即有 dy=ln2?1 dx
所以 dy
（3）
|x=0=(ln2?1)dx, ∫+∞
2=【答】 π
3
【详解】
=t,则x=t2+2,dx=2tdt,于是
∫+∞
+∞b
==1
x（4）曲线y=(2x?1)e的斜渐近线方程为【答】 y=2x+1
【详解】 因为
y1?1?a=lim=lim?2??ex=2x→∞xx→∞x??
1??1?? b=lim(y?2x)=lim?2x?ex?1??ex? x→∞x→∞??????
??1??x?2?e?1?1???ex?=1 =lim???x→∞???x????
故渐近线方程为
y=2x+1
?100??230（5）设A=??0?45??00?6
＝ . 0?0??,E为4阶单位矩阵，且B=(E+A)?1(E?A),则(B+E)?10??7?
?100??120【答】 ??0?23??00?3
【详解】 由B=(E+A)?10?0?? 0??4?(E?A)，有
(E+A)B=E?A
即
AB+A+B+E=2E,
(E+A)(E+B)=2E,
也即
故 1(E+A)(E+B)=E, 2
0?
0?? 0??4??100??1201?1(B+E)=(E+A)=??0?232??00?3
二、选择题
（1）设函数f(x)=x在(?∞,+∞)内连续，且limf(x)=0，则常数a,b满足 bxx→?∞a+e
（A） a<0,b<0（B）a>0,b>0
（C）a≤0,b>0 （D）a≥0,b<0
【 】
【答】 应选（D）
因此对任意的x∈(?∞,+∞)，有，，这只需a≥0【详解】 由题设，f(x)在(?∞,+∞)内连续，
即可.
另外，由limf(x)=0知，lima+ex→?∞x→?∞(bx)=∞
所以必有b<0
故正确答案为（D）
（2）设函数f(x)满足关系式f
（A）f(0)是f(x)的极大值
（B）f(0)是f(x)的极小值 '''f(x)+??(x)??2=x,且f'(0)=0，则
（C）点0,f(0)是曲线y=f(x)的拐点
（D）f(0)不是f(x)的极值，点0,f(0)不是曲线y=f(x)的拐点
【 】
【答】 应选（C）
【详解】 因为f'()()(0)=0，由原关系式
'''f(x)+??(x)??=x, 2 f
知f''(0)=0,因此点(0,f(0))可能为拐点.
2'由f(x)=???f(x)??=x, ''
知f(x)的三阶导数存在，且
f
可见f''''''(x)=?2f'(x)f''(x)+1 (0)=1
''''对应曲线是下凹（上凸）的；而在x=0的右侧，f(x)>0， (x)<0，因此在x=0的左侧，f
对应曲线是上凹（上凸）的.
故点0,f(0)是曲线y=f(x)的拐点
（3）设函数f(x),g(x)是大于零的可导函数，且f'()(x)g(x)?f(x)g'(x)<0,则当a<x<b时，有
（A）f(x)g(b)>f(b)g(x) （B）f(x)g(a)>f(a)g(x)
（C）f(x)g(x)>f(b)g(b) （C）f(x)g(x)>f(a)g(a)
【 】
【答】 应选（A）.
【详解】 由题设知
?f(x)?f'(x)g(x)?f(x)g(x)<0 ??=2gxgx??
因此当a<x<b时，有
''f(x)f(b), >gxgb即f(x)g(b)>f(b)g(x)
可见（A）为正确选选项.
（4）若limsin6x+xf(x)6+f(x)则为 =0,lim320x→0x→xx
（A）0（B）6 （C）36（D）∞
【答】 应选（C）
【详解】 方法一： 因为sin6x=6x?1
3!(6x)3+o(x3)
所以有
limsin6x+xf(x)6x?36x3+o(x3)+xf(x)
x→0x3=limx→0x3
=lim?6+f(x)?
x→0??x2?36?
?
=0
可见lim6+f(x)＝36 x→0x2
方法二：
因为
limsin6x+xf(x)sin6x?6x+6x+xy(x
x→0x3=lim)x→0x3
=lim?sin6x?6x
x→0?+6+f(x)??x3x2?
?
=0
所以
lim6+f(x)sin
x→0x2=?lim6x?6xx→0x3=?lim6cos6x?6x→03x2
=?lim?12sin6x
x→02x=36
（5）具有特解y?x?xx
1=e,y2=2xe,y3=3e的3阶常系数齐次微分方程是
（A）y'''?y''?y'+y=0 （B）y'''+y''?y'?y=0
（C）y'''?6y''+11y'?6y=0（D）y'''?2y''?y'+2y=0
【答】 应选（B）
【详解】 由特解知，对应特征方程的根为
λ1=λ2=?1,λ3=1 【 】 【 】
于是特征方程为
(λ+1)(λ?1)=λ3+λ2?λ?1=0
''''''2故所求线性微分方程为 y+y?y?y=0
可见正确选项为（B）
ln(1+x),计算∫f(x)dx. 三、设f(lnx)=x
【详解】设lnx=t,则x=e，于是
f(t)=
从而 tln(1+et)et,
∫f(x)dx=∫
?xln(1+ex)exxdx=?∫ln(1+ex)de?x??dx ??1exx?x=?eln(1+e)+∫?1?=?eln(1+e)+∫x1+ex?1+e=?e?xln(1+ex)+x?ln(1+ex)+C
=x?(1+ex)ln(1+ex)+C
四、设xOy平面上有正方形D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}及直线l:x+y=t(t≥0)若
x
0S(t)表示正方形D位于直线l的左下方部分的面积，试求∫S(t)dt(x≥0).
【详解】
根据题设，有
12?t,0≤t≤1?2??12 S(t)=??t+2t?1,1<t≤2
?2
1,t>2???
可见，当0≤x≤1时，
∫
当1<x≤2时 x0S(t)dt=∫x0121tdt=x3; 26
xx?1212?21tdttt+?+???dt∫0∫1?202?11=?x3+x2?x+63xS(t)dt=∫
当x>2时，
因此 ∫x0S(t)dt=∫S(t)dt+∫S(t)dt=x?1 022x
13?x,0≤x≤1,?6?x1?132,1<x≤2 Stdt=?x+x?x+()?∫03?6
x?1,x>2???
五、求函数f(x)=xln(1+x)在x=0处的n阶导数f2(n)(0)(n≥3)
【详解】方法一：
由麦克劳林公式
f(x)=f(0)+f(0)x+'f''(0)
2!x+"+2f(n)
n!(0)xn+"
及
n?2??x2x3n?1xxln(1+x)=x?x?+?"+(?1)+"?n?223?? n?2x4n?1x3+" =x?+"+(?1)n?2422
比较x的系数得 n
f(n)(0)(?1) =n!n?2
所以 f
方法二： (n)(n?1)(0)(?1)(=n?1)n!n?2
由莱布尼茨公式
(uv)(n)=u(n)v(0)+Cn1u(n?1)v'+Cn2u(n?2)v''+"+u(0)v(n)
(k)及 ??ln(1+x)??(?1)(k?1)!（k为正整数） =k(1+x)
n?1n?2n?3k?1
得 (?1)(n?1)!+2nx(?1)(n?2)!+nn?1(?1)(n?3)! f(n)(x)=x2()nn?1n?2(1+x)(1+x)(1+x)
?1)((0)=(?1)n(?1)(n?3)!=n?3n?1于是可得 f
六、设函数S(x)=∫costdt, 0(n)n!n?2 x
（1） 当n为正整数，且nπ≤x<(n+1)π时，证明2n≤S(x)<2(n+1);
（2） 求lim
【详解】 S(x) x→+∞x
（1）当nπ≤x<(n+1)π时，主义到被积函数是非负得，于是有 ∫nπ
0cosx≤S(x)<∫(n+1)π0cosx 又因为cosx是以π为周期的函数，在每一个周期上积分值相等
所以
∫∫nπ0cosx=n∫cosxdx=2n 0π(n+1)π
0cosxdx=(n+1)∫nπ0cosx=2(n+1)
因此当nπ≤x<(n+1)π时，有
2n≤S(x)<2(n+1);
（2）由（1）知，当nπ≤x<(n+1)π时，有
S(x)2(n+1)2n <<xnπn+1π
当x→+∞，有n→∞，根据夹逼定理得
S(x)2= x→+∞xπlim
七、某湖泊的水量为V,每年排入湖泊内含污染物A的污水量为
水量为V，流入湖泊内不含A的污6VV，流出湖泊的水量为，已知1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标，63
m为了治理污染，从2000年初起，限制排入湖泊中含A污水的浓度不超过0.问至多需要经过V
多少年，湖泊中污染物A的含量才可降至m0以内？（注：设湖水中A的浓度时均匀的）
【详解】设从2000年初（令此时，t=0）开始，第七年湖泊中污染物A的总量为m(t)，浓度为m, V
m0Vm.dt=0dt,排除量近似为 V66则在时间间隔[t,t+dt]上，排入湖泊中A的量近似为
mVm.dt=dt, V33
因此在时间间隔[t,t+dt]上m(t)的改变量为
dm=?
这是可分离变量方程，解得
t?m03?Ce m=2?m0m???dt 63??
代入初始条件m(0)=5m0，得
C=?9m0 2
t??m0?3于是m=?1+9e?，令m=m0，得 2??
t=6ln3
即至多需要经过6ln3年，湖泊中污染物A的含量才可降至m0以内.
八、设函数f(x)在[0,π]上连续，且
内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2，使f
【详解】 方法一： ∫f(x)dx=0,∫f(x)cosxdx=0,试证明：在(0,π)00ππ(ξ1)=f(ξ2)=0.
令 F(x)=∫f(t)dt,则有 0π
F(0)=0,F(π)=0
又因为
0=∫f(t)cosxdx=∫cosxdF(x)=F(x)cosx|+∫F(x)sinxdx0000ππππ
=∫F(x)sinxdx0π
令G(x)=∫F(t)sintdt 0π
则G(0)=G(π)=0,于是存在ξ∈(0,π)，使
F(ξ)sinξ=0.
因为当ξ∈(0,π)，sinξ≠0，所以有F(ξ)=0，这样九证明了 F(0)=F(ξ)=F(π)=0
再对F(x)在区间[0,ξ]，[ξ,π]上分别用罗尔中值定理，知至少存在ξ1∈(0,ξ),ξ2∈(ξ,π)，使得
F
即 f
方法二：
令F(x)='(ξ1)=F'(ξ2)=0, (ξ1)=f(ξ2)=0, ∫f(t)dt,则有 0π
F(0)=0,F(π)=0
由罗尔中值定理知，存在ξ1∈(0,π)使得
F'(ξ1)=f(ξ1)=0,
若在(0,π)内f(x)=0仅有一个实数根x=ξ1，
则由∫f(x)dx=0可知，f(x)在(0,ξ)内与(ξ,π)内异号. 011π
不妨设在(0,ξ1)内f(x)>0，于是再由∫f(x)dx=0,∫f(x)cosxdx=0,及cosx在 00ππ
[0,π]上的单调性知：
0=∫f(x)(cosx?cosξ1)dx0π
=∫f(x)(cosx?cosξ1)dx+∫f(x)(cosx?cosξ1)dx>00ξ1π ξ1
矛盾，从而推知，在(0,π)内除ξ1外，f(x)=0至少还有另一实数根ξ2， 故知存在两个不同的点ξ1,ξ2，使f
九、已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)?3f(1?sinx)=8x+a(x)
其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(ξ1)=f(ξ2)=0. (6,f(6))处的切线方程.
【详解】 由f(1+sinx)?3f(1?sinx)=8x+a(x)两边取极限，得
lim?f(1+sinx)?3f(1?sinx)??8x+a(x)??=lim? x→0?x→0?
即有 f(1)?3f(1)=0,
于是得 f(1)=0,
又因为
limx→0f(1+sinx)?3f(1?sinx)sinxa(x)x??8x=lim?+??=8 x→0sinxxsinx??
可见
f(1+sinx)?3f(1?sinx)
x→0sinx
f(1+sinx)?f(1)f(1?sinx)?f(1)+3=limx→0sinx?sinx
=f'(1)+3f'(1)lim
=4f'(1)=8
故 f(1)=2 '
由于f(x+5)=f(x),
所以 f(6)=f(1)=0
又f(1)存在，所以f''(6)也存在，且f'(6)=f'(1)=2
故所求得切线方程为
y=2(x?6)
即2x?y?12=0
十、设曲线y=ax2(a>0,x≥0)与y=1?x2交于点A,过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形，问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最大？
?y=ax2
【详解】当x≥0时，由?，解得 2?y=1?x
x=
故直线OA的方程为：
y=y=
于是旋转体的体积为 a2x2
24??V=πax?dx0?1+a?
22?a2?2aaπ? =π?x3?x5?=05?151+a5?3
1+a()2
从而有
352a(1+a)?a?(1+a)2dV2π=?5da15(1+a)522 =π(4a?a2
7
2) 15(1+a)
令(a>0)dV=0,并由a>0，得唯一驻点a=4 da
由题意知，此旋转体在a=4时取最大值，其最大体积为
V=
十一、函数f(x)在[0,+∞]上可导，f(0)=1，且满足等式 2π16?5=π 15218755
f'(x)+f(x)?
（1） 求导数f'1xf(t)dt=0. x+1∫0(x)；
?x（2） 证明：当x≥0时，不等式e
【详解】
（1） 由题设知 ≤f(x)≤1成立.
(x+1)f'(x)+(x+1)f(x)?∫f(t)dt=0. 0x
上式两边对x求导，得
(x+1)f''(x)=?(x+2)f'(x).
df'(x)x+2=?dx 即 'fxx+1
两边积分，得
lnf'(x)=?x+ln(x+1)+lnC
在题设等式中令x=0，得f
又f(0)=1，于是f
代入f'''(0)+f(0)=0 (0)=?1， (x)的表达式，得C=1,故有
'e?x
f(x)=?x+1
（2）方法一：
当x≥0时，f'(x)<0,即f(x)单调减少，又f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1.
设?(x)=f(x)?e,则 ?x
?(0)=0,?'(x)=f'(x)+e?x=
当x≥0时，?(x)≥0，即?(x)单调增加， 'x?xe, x+1
因而?(x)≥?(0)=0,
即有
f(x)≥e?x,
综上所述，当x≥0时，不等式有e
方法二：
因
将f'?x≤f(x)≤1. ∫x0f'(t)dt=f(x)?f(0)=f(x)?1 (x)代入，
xe?x
. 得f(x)=1?∫01+t
xe?t
又x≥0时， 0≤∫≤∫e?tdt=1?e?x. 01+t0x
所以 e
?x≤f(x)≤1.
?1??1??0??1?????TTT十二、设α=2,β=??,γ=0,A=αβ,B=Bα,其中β是β的转置，求解方程 ?????2????1???8???0???
2B2A2x=A4x+B4x+γ.
【详解】 由题设，有
1??10???1?2??1,1,0?=?210? 2A=αβT????????2????1?1??0??12???1??1??B=?1,,0??2?=2, ?2????1??
进一步有
代入原方程化简，得
16Ax=8Ax+16x+γ
即 8(A?2E)x=γ
令x=(x1,x2,x3,)，代入上式，得到非齐次线性方程组 TA2=αβTαβT=α(βTα)βT=2AA=8A4
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