2016年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
解：复数z满足2z+=3﹣2i，
设z=a+bi，
可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．
解得a=1，b=﹣2．
z=1﹣2i．
故选：B．
2．设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）
A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞）
解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），
B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），
∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．
故选：C．
3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），
[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）
A．56 B．60 C．120 D．140
解：自习时间不少于22.5小时的频率为：
（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，
故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7
×200=140，
故选：D
4．若变量x，y
满足，则x2+y2的最大值是（ ）
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D．（0，+∞）
A．4 B．9 C．10 D．12 作出可行域如图， 解：由约束条件
∵A（0，﹣3），C（0，2），
∴|OA|＞|OC|， 联立
∵
∴x2+y2的最大值是10．
故选：C．
5．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如
图所示．则该几何体的体积为（ ）
A．
+π B
．+π C．+π D．
1+π ，解得B（3，﹣1）． ，
解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半
球，下部是一个四棱锥，
半球的直径为棱锥的底面对角线，
由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=
故R=，故半球的体积为：． =π，
棱锥的底面面积为：1，高为1，
故棱锥的体积
V=， 故组合体的体积为：+
故选：C
6．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
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π，
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立，
当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，
故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件， 故选：A
7．函数f（x）=（
A． B．π C．sinx+cosx）（ D．2π
cosx﹣sinx）=2sin（x+）?2cos（x+）=2sincosx﹣sinx）的最小正周期是（ ） 解：数f（x）=
（
（2x+）， sinx+cosx）（
∴T=π，
故选：B
8．已知非零向量，满足4||=3||，cos
＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）
A．4 B．﹣4 C． D．﹣
解：∵4||=3||，cos
＜，＞=，⊥（t
+）， ∴?（
t+）
=t?+2=t||?||
?+||2=（
解得：t=﹣4，
故选：B．
9．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 ）||2=0，
解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），
∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．
∴f（6）=f（1），
∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（1）=﹣f（﹣1），
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∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，
∴f（﹣1）=﹣2，
∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，
∴f（6）=2．
故选：D．
10．若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互
相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）
A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3
解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相
垂直，
则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，
当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；
当y=lnx时，y′
=＞0恒成立，不满足条件；
当y=ex时，y′=ex＞0恒成立，不满足条件；
当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；
故选：A
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为
解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1．
第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＜b，
故i=2；
第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＜b，
故i=3；
第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＜b，
故输出的i值为：3，
故答案为：3
12．若（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80，
则实数a= ．
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解：（ax2+
令10﹣
∵（ax2+
∴）5的展开式的通项公式Tr+1==5，解得r=2． ）5的展开式中x5的系数是﹣80 （ax2）5﹣r=a5﹣r， a3=﹣80，
得a=﹣2．
13．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±
b
由题意可设A（﹣c
，
由2|AB|=3|BC|，可得
2
?=3?2c，即为2b2=3ac， ），B（﹣c
，﹣=±， ），D（c
，）， ），C（c，﹣
由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，
解得e=2（负的舍去）．
故答案为：2．
14．在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx
与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为
解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．
圆心到直线y=kx的距离为，
要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9
相交，则＜3，解得﹣＜k＜．
∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．
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故答案为：．
15．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是 解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：
∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，
∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，
必须4m﹣m2＜m（m＞0），
即m2＞3m（m＞0），
解得m＞3，
∴m的取值范围是（3，+∞），
故答案为：（3，+∞）．
三、解答题,：本大题共6小题，共75分.
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．
解：
（Ⅰ）证明：由+．
得：
；
∴两边同乘以cosAcosB得，
2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；
∴2sin（A+B）=sinA+sinB；
即sinA+sinB=2sinC（1）； 根据正弦定理，
；
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∴
∴a+b=2c；
（Ⅱ）a+b=2c；
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2； ，带入（1）得：；
∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；
又a，b＞0； ∴； =； ∴由余弦定理，
∴cosC的最小值为．
17．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．
（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知
EF=FB=AC=2
证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，
∵G、H为EC、FB的中点，
∴
GQ
又∵EF，QH
∥BO，∴
GQ， BO， AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．
∴平面GQH∥平面ABC，
∵GH?面GQH，∴GH∥平面ABC．
解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，
又∵OO′⊥面ABC，
∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z
轴，建立空间直角坐标系，
则A（
（0，，0，0），C（﹣2，3），
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，0，0），B（0，
2，0），O′（0，0，3），F
=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0）， 由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3）， 设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量， 则，即
）， ， 取x0=1，则=（1，﹣1，﹣
∴cos＜，＞
===
﹣．
∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，
∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．
18．已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=
解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n，
∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，
n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5；
∵an=bn+bn+1，
∴an﹣1=bn﹣1+bn，
∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．
∴2d=6，
∴d=3，
∵a1=b1+b2，
∴11=2b1+3，
∴b1=4，
∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；
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，求数列{cn}的前n项和Tn．
（Ⅱ）cn=
==6（n+1）?2n，
∴Tn=6[2?2+3?22+…+（n+1）?2n]①，
∴2Tn=6[2?22+3?23+…+n?2n+（n+1）?2n+1]②，
①﹣②可得﹣Tn=6[2?2+22+23+…+2n﹣（n+1）?2n+1]=12+6×
?2n+1=（﹣6n）?2n+1=﹣3n?2n+2，
∴Tn=3n?2n+2．
19．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，
故概率P=+
=，
（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，
则P（X=0）
=P（X=1）=2×
[P（X=2）=
+
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﹣6（n+1）+
+=+=， +]=， +
=+，
P（X=3）=2
×P（X=4）=2×
[P（X=6）
=
故X的分布列如下图所示：
+1×
+2×+3×
=
+
=，
]
=
+4×
+6
×
=
=
∴数学期望EX=0×
20．已知f（x）=a（x﹣lnx）+（I）讨论f（x）的单调性；
，a∈R．
（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立． （Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+
，
得f′（x）=a（1﹣）+
==（x＞0）．
若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数； 当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（为增函数， 当x∈（1，
）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）
若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数； 若a＞2，当x∈（0，
）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
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当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
（Ⅱ）解：∵a=1，
令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣
lnx
∵ex＞1+x，
∴x＞ln（1+x），
∴ex﹣1＞x，则x﹣1＞lnx，
∴F（x）＞=． ﹣1=x﹣
lnx+．
令φ（x）=，则φ′（x）=
∴φ（x）在[1，2]上为减函数，则
∴F（x）＞恒成立． （x∈[1，2]）． ，
即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．
21．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0
）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上；
（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．
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解：（I）由题意可得
e==
即有b=，a2﹣c2=，
解得a=1，
c=， ，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0
，），
可得椭圆的方程为x2+4y2=1；
（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0， 由
y=x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0， 则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），
可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，
可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得x1+x2=，即有中点D（，﹣）， 直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x0，可得y=
﹣． 即有点M在定直线y=﹣上；
（ii）直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0）， 则S1=|FG|?|x0
|=x0?（+y0）=x0（1+x02）；
S2=|PM|?|x0﹣
|=（y0
+）?=x0?， 则=，
令1+2x02=t（t≥1），则=
= =
=2+﹣=
﹣（﹣）2+，
则当t=2，即x0=时，取得最大值，
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此时点P的坐标为（ ，）．
第13页（共13页）
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