2017年镇海中学高中数学竞赛模拟试卷(1)

2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（1）姓名_______

一、填空题

lna)?f(ln1、已知函数f(x)?ln(?a2x2?ax)?1 (a?0)，则f(1)?____________. a

2、A,B两点分别在抛物线y2?6x和⊙C:(x?2)2?y2?1上，则的取值范围是____________.

3、若tan??3tanβ?0??????

????，则???的最大值为____________. 2?

4、已知△ABC等腰直角三角形，其中∠C为直角，AC=BC=1，过点B作平面ABC的垂线DB，使得DB=1，在DA、DC上分别取点E、F，则△BEF周长的最小值为____________.

3x5、已知函数f(x)?x?3x，对任意的m???2,2?，f(mx?8)?f(2)?0恒成立，则正．

实数．．x的取值范围为____________.

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6、已知向量a,b,c满足|a|:|b|:|c|?2:k:3(k?N*)，且b?a?2(c?b)，若?为a,c的夹角，则cos?的值为____________.

7、现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭的正四面体容器，则该容器棱长最小值为____________.

8、将10个小球（5个黑球和5个白球）排场一行，从左边第一个小球开始向右数小球，无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为____________.

二、解答题

9.(本小题满分14分)在△ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c，向量p??sinA?sinC,sinB?，向量q?(a?c,b?a)，且满足p?q.

(Ⅰ)求△ABC的内角C的值；

(Ⅱ)若c=2，2sin2A+sin(2B+C)=sinC，求△ABC的面积.

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210.（本小题满分14分）已知数列?an?满足：a1?2,an?1?an?2an.

(1)求证：数列?lg(an?1)?是等比数列，并求?an?的通项公式;

(2)若bn?11，且数列?bn?的前n项和为Sn，求证：Sn?1. ?anan?2

11.(本小题满分14分)设f(x)?ex?ax?a.（e是自然对数的底数） (Ⅰ)若f(x)?0对一切x??1恒成立，求a的取值范围；

?20151008)?e2. (Ⅱ)求证：(20161

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12.(本小题满分15分)设正数x,y满足x3?y3?x?y，求使x2?λy2?1恒成立的实数?的最大值.

1x2

?y2?1及点P(1,)，过点P作直线l与椭圆C交于13.(本小题满分15分)已知椭圆C:22

A、B两点，过A、B两点分别作C的切线交于点Q.

(1)求点Q的轨迹方程；

(2)求△ABQ的面积的最小值.

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2017年高中数学竞赛模拟试卷（1）答案

1.【解析】

f(x)?f(?x)??a2x2?ax)??a2x2?ax)?2?ln(1?a2x2?a2x2)?2?2.

2.【解析】由于AB?AC?1，则只需要考虑AC的范围.

AC?(x?2)2?y2?(x?2)2?6x?x2?2x?4?(x?1)2?3,又x?0,故ACmin?2，故的取值范围为?1，???.

3.【解析】tan?α????2tan??tan?2tan???1?tan?tan?1?3tan2?21?3tan?tan??3??tan 36

ππ??0?β?α?，?0?α???.?α?β?. 226

4.【解析】由题意可知，?CDB?

之和为

?4，且∠BDA与∠CDA?.如图，将侧面BDA和侧面CDB分别折起至面

cosα的值为?. 6

7.【解析】这10个小球成棱锥形来放，第一层1个，第2层3个，第3层6个，即每一条棱是3个小球，于是正四面体的一条棱长就应该是4倍的小球的半径加上2倍的球心到四面体顶点的距离到棱长上的射影的长度，又球心到顶点的距离为3，正四面体的高和棱所成角的余弦值为66?4?2. ，故容器棱长的最小值为4?2?3?33

8.【解析】法1：如果只有2个小球（1黑1白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为11；如果只有4个小球（2黑2白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为；如果23

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只有6个小球（3黑3白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为1；以此类推，可知4

将10个小球（5个黑球和5个白球）排成一行，从左边第一个小球开始向右数小球.无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为1； 6

法2：直接从10个小球入手分类讨论.

9.【解析】(Ⅰ)由题意p?q，所以，?a?c??sinA?sinC???b?a?sinB?0.

由正弦定理，可得?a?c??a?c???b?a?b?0.整理得a?c?b?ab. 222

πa2?b2?c21?，又C??0，??，所以，C? ……6分由余弦定理可得，cosC?32ab2

(Ⅱ)由2sin2A?sin?2B?C??sinC可得，4sinAcosA?sin?B?π?A??sin?B?A?. 整理得，4sinAcosA?sin?B?A??sin?B?A??2sinBcosA.

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12【解析】由正数x,y满足x3?y3?x?y，知x?y?0.令t??1. y

x3?y3