2013年湖北省理科数学高考试题WORD解析版
一、选择题
1、在复平面内，复数z?2i（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（） 1?i
A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【解析与答案】z?
故选D
【相关知识点】复数的运算
x????1??2、已知全集为R，集合A??x???1?，B??x|x2?6x?8?0?，则A?CRB?（ ）
??2????2i?1?i，?z?1?i。 1?i
A.?x|x?0? B.
C. ?x|0?x?2或x?4?D.?x|0?x?2或x?4?
【解析与答案】A??0,???，B??2,4?，?A?CRB??0,2???4,???。
故选C
【相关知识点】不等式的求解，集合的运算
3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）
A.??p????q? B. p???q?C. ??p????q?D.p?q
【解析与答案】“至少有一位学员没有降落在指定范围”
即：“甲或乙没有降落在指定范围内”。
故选A。
【相关知识点】命题及逻辑连接词
4
、将函数y?x?sinx?x?R?的图像向左平移m?m?0?个长度单位后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是（ ） A. ?
12B. ?
6 C. ?
3
?
? D. 5? 6【解析与答案】y?2cos?x????的图像向左平移m?m?0?个长度单位后变成6?
????y?2cos?x??m?，所以m的最小值是。故选B。 66??
【相关知识点】三角函数图象及其变换
x2y2y2x2
??1与C2:2?2?1的（ ）5、已知0???，则双曲线C1: 4cos2?sin2?sin?sin?tan2??
1
A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等
【解析与答案】双曲线C1的离心率是e1?1，双曲线C2的离心率是
cos?
e2??1，故选D cos?
【相关知识点】双曲线的离心率，三角恒等变形
????????6、已知点A??1,1?、B?1,2?、C??2,?1?、D?3,4?，则向量AB在CD方向上的投影为（ ）
C.
D. ????????????????
AB?CD【解析与答案】AB??2,1?，CD??5,5?，?A。 ??CD A.
【相关知识点】向量的坐标运算，向量的投影
7、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v?t??7?3t?25（t的单1?t
位：s，v的单位：m/s）行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m）是（ ）
11 C. 4?25ln5 D. 4?50ln2 3
25【解析与答案】令 v?t??7?3t??0，则t?4。汽车刹车的距离是1?tA. 1?25ln5 B. 8?25ln
25??7?3t??dt?4?25ln5，故选C。 ?0?1?t??4
【相关知识点】定积分在实际问题中的应用
8、一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）
A. V1?V2?V4?V3 B. V1?V3?V2?V4
C. V2?V1?V3?V4 D. V2?V3?V1?V4
2
【解析与答案】C 由柱体和台体的体积公式可知选C
【相关知识点】三视图，简单几何体体积
9、如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为E?X??
A. 12661687 B. C. D.
12551255
第9题图
【解析与答案】三面涂有油漆的有8块，两面涂有油漆的有36块，一面涂有油漆的有54块，没有涂有油漆的有27块，所以E?X??3?
【相关知识点】古典概型，数学期望
10、已知a为常数，函数f(x)?x?lnx?ax?有两个极值点x1,x2(x1?x2)，则（ ） 836546?2??1??。故选B。 1251251255
A. f(x1)?0,f(x2)??
f(x1)?0,f(x2)??11f(x)?0,f(x)?? B. 122211f(x1)?0,f(x2)??2 D. 2
3 C.
【解析与答案】令f?(x)?1?2ax?lnx?0得0?2a?1，lnxi?2axi?1(i?1,2)。 又f??1?1?，?0?x?1??x2。?01?2a?2a??f(x1)?x1lnx1?ax12?x1?2ax1?1??ax12?ax12?x1?0，
2f(x2)?ax2?x2?x2?ax2?1??ax2?1?a?11?1?? 2a2
故选D。
【相关知识点】函数导数与极值，函数的性质
二、填空题
（一）必考题
11、从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示。
（I）直方图中x的值为 ；
（II）在这些用户中，用电量落在区间?100,250?内的户数为
第11题图
【解析与答案】?0.006?0.0036?0.0024?2?0.0012?x??50?1，x?0.0044
?0.0036?0.006?0.0044??50?100?70
【相关知识点】频率分布直方图
4
12、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i?
【相关知识点】程序框图
13、设x,y,z?R，且满足：x?y?z?1，x?2y?3z
?，则x?y?z?
。
【解析与答案】由柯西不等式知1?2?3222?222??x2?y2?z2???x?2y?3z?，结合已知条2
件得xyzxyzx?y?z?。 ??，从而解得???123123【相关知识点】柯西不等式及其等号成立的条件）
14、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,10，?，第n个三角
n?n?1?121?n?n。记第n个k边形数为N?n,k??k?3?，以下列出了部分k边形数形数为222
中第n个数的表达式：
三角形数 N?n,3??121n?n 22
2正方形数 N?n,4??n
五边形数 N?n,5??321n?n 22
2六边形数 N?n,6??2n?n
??
5
可以推测N?n,k?的表达式，由此计算N?10,24?? 。
【解析与答案】观察n和n前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故N?n,24??11n?10n，?N?10,24??1000 22
【相关知识点】归纳推理，等差数列
（二）选考题
15、如图，圆O上一点C在直线AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E。若AB?3AD，则
CE的值为 。 EOCAB第15题图
AD??AB?AD?CECD2AD?BD????8222EOOD?OA?AD??1AB?AD?【解析与答案】由射影定理知 ???2?
【相关知识点】射影定理，圆幂定理
16、在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为??x?acos???为参数，a?b?0?。在极坐y?bsin??
标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O
的极坐标方程分别为?sin????
???若直线l经过??m为非零常数?与??b。?4?椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为 。
【解析与答案】直线l的方程是x?y?
m，作出图形借助直线的斜率可得c?，所以c2?2?a2?
c2?，e?【相关知识点】极坐标与直角坐标的转化，椭圆的几何性质，直线与圆
三、解答题
17、在?ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c。已知cos2A?3cos?B?C??1。 （I）求角A的大小；
（II）若?
ABC的面积S?，b?5，求sinBsinC的值。 6
【解析与答案】（I）由已知条件得：cos2A?3cosA?1
?2cos2A?3cosA?2?0，解得cosA?1，角A?60? 2
a2122（II
）S?bcsinA??c?4，由余弦定理得：a?21，?2R???28 22sinA
?sinBsinC?bc5 ?4R27
【相关知识点】二倍角公式，解三角函数方程，三角形面积，正余弦定理
18、已知等比数列?an?满足：a2?a3?10，a1a2a3?125。
（I）求数列?an?的通项公式；
（II）是否存在正整数m，使得
明理由。
【解析与答案】（I）由已知条件得：a2?5，又a2q?1?10，?q??1或3，
所以数列?an?的通项或an?5?3
（II）若q??1，n?2111?????1？若存在，求m的最小值；若不存在，说a1a2am 1111??????或0，不存在这样的正整数m； a1a2am5
m1119??1??9若q?3，??????1?????，不存在这样的正整数m。 a1a2am10???3???10
【相关知识点】等比数列性质及其求和
19、如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，直线PC?平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点。
（I）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明； （II）设（I）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满????1????足DQ?CP。记直线PQ与平面ABC所成的角为?，异面2
直线PQ与EF所成的角为?，二面角E?l?C的大小为?，
求证：sin??sin?sin?。
第19题图 7
【解析与答案】（I）?EF?AC，AC?平面ABC，EF平面ABC
?EF?平面ABC
又EF?平面BEF
?EF?l
?l?平面PAC
（II）连接DF，用几何方法很快就可以得到求证。（这一题用几何方法较快，向量的方法很麻烦，特别是用向量不能方便的表示角的正弦。个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差。）
8
【相关知识点】
9
20、假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N800,502的随机变量。记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0。
（I）求p0的值；（参考数据：若X?N?,?2，有P?????X??????0.6826，
） P???2??X???2???0.9544，P???3??X???3???0.9974。
（II）某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆。公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆。若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
【解析与答案】（I）p0?0.5?????1?0.9544?0.9772 2
（II）设配备A型车x辆，B型车y辆，运营成本为z元，由已知条件得
?x?y?21?36x?60y?900?，而z?1600x?
2400y ?y?x?7??x,y?N?
作出可行域，得到最优解x?5,y?12。
所以配备A型车5辆，B型车12辆可使运营成本最小。
10
【相关知识点】正态分布，线性规划
21、如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n?m?n?，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D。记??m
n，?BDM和?ABN的面积分别为S1和S2。
（I）当直线l与y轴重合时，若S1??S2，求?的值；
（II）当?变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1??S2？并说明理由。 第21题图
m?1
【解析与答案】（I）S??1
1??S2?m?n???m?n?，???m?
n?1??1
解得：???1（舍去小于1的根）
x2
II）设椭圆Cy2x2y2（1:a2?m2?1?a?m?，C2:a2?n2?1，直线l：ky?x ??ky?x
??x22?
a2?m2k2
y2?1?y?
?a2?ym2?1a2m2A同理可得，yB?
又??BDM和?ABN的的高相等
?S1BDyB?yDyB?y
S???A
2AByA?yByA?yB
如果存在非零实数k使得S1??S2，则有???1?yA????1?yB， 22
即：?2???1????1?a2??2?2??1??
a??2n2k2?a2?n2k2，解得k2?2?1?
2?4n2?3
11
?
当??1?时，k2?0，存在这样的直线l
；当1???1?时，k2?0，不存在这样的直线l。
【相关知识点】直线与椭圆相交的问题（计算异常复杂）
22、设n是正整数，r为正有理数。
（I）求函数f(x)??1?x?r?1??r?1?x?1(x??1)的最小值；
nr?1??n?1?（II）证明：r?1r?1?n?1??nr??nr?1
； r?1r?1
（III）设x?R，记??x??为不小于x的最小整数，例如??2???2，??????4，?????1。令2?3???
S????，求??S??的值。
（参考数据：80?344.7，?350.5，124?618.3，126?631.7）
rr??f(x)?r?11?x?r?1?r?11?x?1? ??????????证明：（I）??43434343
?f(x)在??1,0?上单减，在?0,???上单增。
?f(x)min?f(0)?0
（II）由（I）知：当x??1时，?1?x?r?1??r?1?x?1（就是伯努利不等式了）
r?1r?1r?n?r?1n?n?1?????所证不等式即为：? r?1r?1r??n??r?1?n??n?1?
若n?2，则nr?1??r?1?n??n?1?rr?1?1???n?r?1???1???n?1? ?n?
rrr?1??1???1??????① n?1?n?rrr?1? ??1?????1，???nn?1nn??r
rr?1?，故①式成立。 ??1???1??1?nn?1?n?
若n?1，nr?1r??r?1?nr??n?1?r?1显然成立。
12
r
nr?1??r?1?nr??n?1?r?1?n?r?1????1?1?
n???n?1?
?1?r?1?r
n?1???1?n??????②
r
????1?1?rrr
n???n?1，n?n?1
r
????1?1?
n???1?rr
n?1?n?1，故②式成立。
综上可得原不等式成立。
4
（III）由（II）可知：当k?N*时，3?4
?k3??k?1?3?1??k3?3?44
??k?1?3?k3?
4??4???3125?4
?S?4?4
?k3??k?1?3???3?44
?1253?803???210.225
k?81??4??
4
S?3
4k?125?433?3?4433??81???k?1??k???4??126?81???210.9 ???S???211
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