2015-2016学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.
1．椭圆x2+4y2=100的长轴长为______．
2．已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为______． 3．已知二元一次方程组
______． 的增广矩阵是，则此方程组的解是
4．行列式中﹣3的代数余子式的值为______．
5．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM所在直线的方程为______．
6．已知直线l1的方程为3x﹣y+1=0，直线l2的方程为2x+y﹣3=0，则两直线l1与l2的夹角是______．
7．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是______．
8．执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是______．
9．若圆C的方程为x2+y2﹣2ax﹣1=0，且A（﹣1，2），B（2，1）两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是______．
10．若，且 存在，则实数a的取值范围是______．
第1页（共17页）
11．已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，﹣1）且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且，则点M的轨迹方程为______．
12．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是______．
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分. 13．点（a，b）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（ ）
A．B．C．（1﹣b，1﹣a） （1﹣a，1﹣b） （﹣a，﹣b） D．（﹣b，﹣a） 14．若位于x轴上方、且到点A（﹣2，0）和B（2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C，点P的坐标为（a，b），则“”是“点P在曲线C上”的（ ） A．.充分不必要条件 B．.必要不充分条件
C．.充要条件 D．既非充分又非必要条件
15．在圆x2+y2﹣2x﹣6y=15内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则|AC|?|BD|的值为（ ）
A． B． C． D．
16．bn+1]?[an，bn]且对数列{an}，{bn}，若对任意的正整数n，都有[an+1，
则称[a1，b1]，[a2，b2]，…为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ） A．
C． B． D． ，
三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
17．已知两直线l1：x+（m+1）y+m﹣2=0，l2：mx+2y+8=0．
（1）当m为何值时，直线l1与l2垂直；
（2）当m为何值时，直线l1与l2平行．
18．在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），圆E是△ABC的外接圆．
（1）求圆E的方程；
（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程．
19．已知
（1）用是不平行的两个向量，k是实数，且表示；
．
第2页（共17页）
（2）若，记
，且对任意n∈N*，都有，求f（k）及其最小值． 20．在数列{an}中，．
（1）计算a2，a3，a4，由此推测{an}的通项公式，并用数学归纳法证明； （2）若
21．已知点P是曲线，求无穷数列{bn}的各项之和与最大项． 上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2．
（1）求曲线C2的方程；
（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围； （3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．
第3页（共17页）
2015-2016学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.
1．椭圆x2+4y2=100的长轴长为20．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用椭圆的简单性质求解．
【解答】解：椭圆x2+4y2=100化为标准形式，得：
∴a=10，b=5，
∴椭圆x2+4y2=100的长轴长为2a=20．
故答案为：20．
2．已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为
．
=1，
【考点】
直线的倾斜角．
【分析】
设直线l
的倾斜角为
θ
，
θ∈[0，π），则tanθ=﹣，即可得出．
【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ=﹣，
∴θ=．
． 故答案为：
3．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是 ．
【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组．
【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得．
【解答】解：由题意，方程组
解之得
故答案为
第4页（共17页）
4．行列式中﹣3的代数余子式的值为5．
【考点】三阶矩阵．
【分析】写出行列式的﹣3的代数余子式，再计算，即可得到结论．
【解答】解：由题意，行列式中﹣3的代数余子式为﹣=﹣（3+2）=﹣5
故答案为：﹣5
5．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM所在直线的方程为 3x﹣2y+2=0 ．
【考点】待定系数法求直线方程．
【分析】由AC的中点M（2，4），利用两点式方程能求出AC边上的中线所在的直线方程．
【解答】解：∵AC的中点M（2，4），
∴AC边上的中线BM所在的直线方程为：
=，
整理，得3x﹣2y+2=0，
故答案为：3x﹣2y+2=0．
6．已知直线l1的方程为3x﹣y+1=0，直线l2的方程为2x+y﹣3=0，则两直线l1与l2的夹角是
．
【考点】
两直线的夹角与到角问题．
【分析】
设直线
l1与l2的夹角的大小为θ，求出直线的斜率，则由题意可得
tanθ=||=1，由此求得θ的值．
【解答】解：设直线l1与l2的夹角的大小为θ，则θ∈[0，π），
由题意可得直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为﹣2，
tanθ=|
故答案为：
7．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式． |=1，解得θ=， 成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是 2k ．
【考点】数学归纳法．
第5页（共17页）
【分析】观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为
时增加的项数即可．
【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为； ，然后判断n=k+1
由n=k，末项为
故答案为2k．
到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k．
8．执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是
【考点】
程序框图．
【分析】
由已知中的程序框图及已知中
p
输入
6，可得：进入循环的条件为n＜6，即n=1，2，…，5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．
【解答】解：当n=1时，S=0+2﹣1=；
当n=2时，S=+2﹣2=；
当n=3时，S=+2﹣3=；
当n=4时，S=+2﹣4=
当n=5时，S=+2﹣5=； ；
当n=6时，退出循环，
第6页（共17页）
则输出的S为：
故答案为：． ．
9．若圆C的方程为x2+y2﹣2ax﹣1=0，且A（﹣1，2），B（2，1）两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是 （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） ．
【考点】点与圆的位置关系．
【分析】根据A，B与圆的位置关系讨论列出不等式解出a．
【解答】解：（1）若A在圆内部，B在圆外部，则，解得a＜﹣2． （2）若B在圆内部，A在圆外部，则
综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．
故答案为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．
10．若
＜2 ．
【考点】极限及其运算．
【分析】根据得出﹣1＜，且，解得a＞1． 存在，则实数a的取值范围是＜1，再根据存在得出﹣1＜≤1，由此求出实数a的取值范围．
【解答】解：∵，
∴=，
第7页（共17页）
∴﹣1＜＜1，
解得﹣4＜a＜2；
又存在，
∴﹣1＜≤1，
解得﹣1≤a＜3；
综上，实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．
故答案为：﹣1≤a＜2．
11．已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，﹣1）且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且，则点M的轨迹方程为 9x+6y+1=0 ．
【考点】轨迹方程；向量数乘的运算及其几何意义．
【分析】先设M（x，y），可讨论l1是否存在斜率：（1）不存在斜率时，可求出A（1，0），B（0，﹣1），从而由可以求出x=，即点M（），（2）存在斜率时，可设斜率为k，从而可以分别写出直线l1，l2的方程，从而可以求出
，这样根据
k便可得出关于x，y的方程，并验证点便可用k分别表示出x，y，这样消去是否满足该方程，从而便得出点M的轨迹方程．
【解答】解：设M（x，y），
（1）若l1不存在斜率，则：l1垂直x轴，l2垂直y轴；
∴A（1，0），B（0，﹣1）；
∴由得，（x﹣1，y）=2（﹣x，﹣1﹣y）；
∴；
∴；
即；
，则：
； （2）若l1斜率为k，l2斜率为l1：y﹣4=k（x﹣1），令y=0，x=
∴；
第8页（共17页）
l2：
∴
∴由； 得，，令x=0，y=； ；
∴；
∴消去k并整理得：9x+6y+1=0；
点满足方程9x+6y+1=0；
综（1）（2）知，点M的轨迹方程为9x+6y+1=0．
故答案为：9x+6y+1=0．
12．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是 [﹣20，4] ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】首先建立平面直角坐标系：以C为原点，平行于AB的直线为x轴，这样便可建立坐标系，然后便可根据条件确定出A，B点的坐标，并根据题意设P（3cosθ，3sinθ），从而可求出的坐标，进行数量积的坐标运算便得出，这样根据﹣1≤cosθ≤1便可求出的取值范围．
【解答】解：如图，以C为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则：
；
点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点；
∴设P（3cosθ，3sinθ）；
∴
∴； ；
∵﹣1≤cosθ≤1；
∴﹣20≤﹣12cosθ﹣8≤4；
∴的取值范围为[﹣20，4]．
故答案为：[﹣20，4]．
第9页（共17页）
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分. 13．点（a，b）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（ ）
A．B．C．（1﹣b，1﹣a） （1﹣a，1﹣b） （﹣a，﹣b） D．（﹣b，﹣a）
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．
【分析】设出对称点的坐标列出方程组求解即可．
【解答】解：点（a，b）关于直线x+y=1对称的点为（x，y），
则，解得：，
故选：A．
14．若位于x轴上方、且到点A（﹣2，0）和B（2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C，点P的坐标为（a，b），则“
A．.充分不必要条件 B．.必要不充分条件
C．.充要条件 D．既非充分又非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由题意可得：（a+2）2+b2+（a﹣2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b＞0）．即可判断出结论．
【解答】解：由题意可得：（a+2）2+b2+（a﹣2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b＞0）． ∴“点P在曲线C上”?“
∴“”，反之也成立． ”是“点P在曲线C上”的（ ） ”是“点P在曲线C上”的充要条件．
故选：C．
15．在圆x2+y2﹣2x﹣6y=15内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则|AC|?|BD|的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆的位置关系．
第10页（共17页）
【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，即可求出AC与BD的乘积．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=25，
则圆心坐标为（1，3），半径为5，
根据题意画出图象，如图所示：
由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=10，MB=5，ME=，
所以BD=2BE=2
所以|AC|?|BD|=10?4
故选：C． =4=40， ．
16．bn+1]?[an，bn]且对数列{an}，{bn}，若对任意的正整数n，都有[an+1，
则称[a1，b1]，[a2，b2]，…为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ） A．
C． B． D． ，
【考点】数列的极限．
【分析】对于A，运用数列的极限，即可判断；对于B，运用n=1时，两区间的关系，即可判断；
对于C，运用n=1时，判断两区间的关系，即可得到结论；
对于D，运用指数函数的单调性和数列的极限的公式，计算即可得到结论．
【解答】解：对于A，
间套；
对于B，当n=1时，[a1，b1]=[，]，[a2，b2]=[，]，显然不满足[a2，b2]?[a1，b1]，故不构成区间套；
对于C，当n=1时，[a1，b1]=[，]，[a2，b2]=[，]，显然不满足[a2，b2]?[a1，b1]，故不构成区间套
第11页（共17页）
（bn﹣an）=﹣=2﹣1=1≠0，故不构成区
对于D，由1﹣（）n＜1﹣（）n+1＜1+（）n+1＜1+（）n，满足[an+1，bn+1]?[an，bn]；又
=（bn﹣an） [1﹣（）n]﹣ [1+（）n]=1﹣1=0，故构成区间套．
故选：D．
三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
17．已知两直线l1：x+（m+1）y+m﹣2=0，l2：mx+2y+8=0．
（1）当m为何值时，直线l1与l2垂直；
（2）当m为何值时，直线l1与l2平行．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】（1）利用两直线垂直的充要条是 A1A2+B1B2=0，可得 1×m+（1+m）?2=0，由此求得解得m的值．
（2）由两直线平行的充要条件是=≠，由此求得解得m的值．
【解答】解：（1）∵两条直线l1：x+（1+m）y+m﹣2=0，l2：mx+2y+8=0，由两直线垂直的充要条件可得 A1A2+B1B2=0，
即 1×m+（1+m）?2=0，解得m=﹣．
（2）由两直线平行的充要条件可得=≠，
即=≠，
解得：m=1．
18．在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），圆E是△ABC的外接圆．
（1）求圆E的方程；
（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出圆心坐标和半径即可得到结论．
（2）根据直线和圆相切的性质，建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：（1）∵在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），
∴AB是直径，则AB的中点（﹣1，0），即圆心E（﹣1，0），
半径R=|BE|=
则圆E的方程为（x+1）2+y2=25．
（2）∵（4+1）2+102=125＞25，
第12页（共17页）
===5，
∴点M在圆外，
当切线斜率不存在时，此时切线方程为x=4，到圆心的距离d=4﹣（﹣1）=5．此时满足直线和圆相切，
当直线斜率存在时，设为k，则切线方程为y﹣10=k（x﹣4），
即kx﹣y+10﹣4k=0，
则圆心到直线的距离d===5，
即|2﹣k|=
即4k=3， ，平方得4﹣4k+k2=1+k2，
则k=，此时切线方程为3x﹣4y+28=0，
综上求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程为3x﹣4y+28=0或x=4．
19．已知
（1）用
（2）若
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）==k+=k（）+， 是不平行的两个向量，k是实数，且表示； ，记，求f（k）及其最小值． ．
（2）利用（1）的结论，对
【解答】解：（1）
（2）=2×=取平方，转化为二次函数求最值． =k+=k（）+=（1﹣k）+k+k． =﹣1．∴||2=[（1﹣k）]2=4（1﹣k）2+k2﹣2k（1﹣k）=7k2﹣10k+4=7（k﹣）2+．
∴f（k）=
f（k）的最小值为
20．在数列{an}中，，且对任意n∈N*，都有． =． ．
（1）计算a2，a3，a4，由此推测{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）若
【考点】数学归纳法；数列的函数特性．
，求无穷数列{bn}的各项之和与最大项．
第13页（共17页）
【分析】（1）由，且对任意n∈N*，都有．可得a2==，a3=，a4=．由此推测{an}的通项公式，an=．再利用数学归纳法证明即可得出．
（2），可得bn=+9，利用等比数列的前n项和公式可得：无穷数列{bn}的各项之和Tn．
【解答】解：（1）∵，且对任意n∈N*，都有． ∴a2==，a3==，a4==． 由此推测{an}的通项公式，an=
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1==成立； ．
②假设当n=k∈N*时，ak=．
则n=k+1时，ak+1=
因此当n=k+1时也成立，
综上：?n∈N*，an=
（2）
∴bn=（﹣2）n==， 成立． ， =+9， ∴无穷数列{bn}的各项之和Tn=+
=﹣=+﹣．
第14页（共17页）
www.99jianzhu.com/包含内容：建筑图纸、PDF/word/ppt 流程，表格，案例，最新,免费下载,施工方案、工程书籍、建筑论文、合同表格、标准规范、CAD图纸等内容。