2016年四川省成都外国语学校高考数学模拟试卷（理科）（一）
一.选择题：共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则（?UA）∩B=（） A．{4} B．{3，4} C．{2，3，4} D．{3}
2．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）
A．8 cm3 B．12 cm3 C． cm3 D． cm3
4．已知＜a＜1，则方程a|x|=|logax|的实根个数是（）
A．1个 B．2个
C．3个 D．1个或2个或3个
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）
A．7 B．9 C．10 D．11
）的图象为C，下面结论中正确的是（） 6．设函数f（x）=sin（2x﹣
A．函数f（x）的最小正周期是2π
B．函数f（x）在区间（﹣，）上是增函数
个单位得到 C．图象C可由函数g（x）=sin2x的图象向右平移
D．图象C关于点（，0）对称
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7．设m∈R，实数满足 ，若|x+2y|≤18，则实数m的取值范围是（ ）A．﹣3≤m≤6 B．m≥﹣3 C． D．
8．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱CC1上的一个动点，平面BED1交棱AA1于点F．则下列命题中假命题是（ ）
A．存在点E，使得A1C1∥平面BED1F
B．存在点E，使得B1D⊥平面BED1F
C．对于任意的点E，平面A1C1D⊥平面BED1F
D．对于任意的点E，四棱锥B1﹣BED1F的体积均不变
9．如图过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（ ）
A．y2=x B．y2=9x C．y2=x D．y2=3x
10．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，）
二.填空题
B．（0，] C．（0，] D．（0，1）
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11．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为 万元．
12．若等比数列{an}的前n项和Sn=a?3n﹣2，则a2=
13．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内（含正方体表面）任取一点M，则
的概率p= ．
14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2（k1?k2≠0），若|k1|+|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为
15．设x是实数，定义[x]不超过实数x的最大整数，如：[2]=2，[2.3]=2，[﹣2.3]=﹣3，记函数f（x）=x﹣[x]，函数g（x）=[3x+1]+给出下列命题：
①函数f（x）在[﹣，]上有最小值，无最大值；
②f（﹣）=f（）且f（x）为偶函数；
③若g（x）﹣2x=0的解集为M，则集合M的所有元素之和为﹣2；
④设an=f（），则当n为偶数时ai=，当n为奇数时，则ai=+． 其中正确的命题的序号是 ．
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三．解答题
16．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a， b）与=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．
17．由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如图：
（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ）若视力测试结果不低丁5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；
（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn?Sn﹣1=0（n≥2，n∈N*），a1=． （Ⅰ）求证：{}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若bn=2（1﹣n）an（n≥2，n∈N*），求证：b22+b32+…+bn2＜1．
20．已知椭圆的离心率为，且过点．若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”．
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（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
21．已知函数f（x）=2ex+2ax﹣a2，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若x≥0时，f（x）≥x2﹣3恒成立，求实数a的取值范围．
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2016年四川省成都外国语学校高考数学模拟试卷（理科）
（一）
参考答案与试题解析
一.选择题：共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则（?UA）∩B=（ ） A．{4} B．{3，4} C．{2，3，4} D．{3}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据题意，由集合A与全集U，可得?UA，由集合B集合交集的意义，可得答案．
【解答】解：根据题意，全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，
则?UA={2，4}，
又由集合B={3，4}，则（CUA）∩B={4}，
故选A．
2．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】复数相等的充要条件；充要条件．
【分析】利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”?“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”?“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．
【解答】解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，
故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；
当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，
故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；
综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；
故选A
3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A．8 cm3 B．12 cm3 C． cm3 D． cm3
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【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据已知中的三视图可分析出该几何体是一个正方体与一个正四棱锥的组合体，结合图中数据，即可求出体积．
【解答】解：由已知中的三视图可得，
该几何体是一个正方体与一个正四棱锥的组合体，
且正方体的棱长为2，正四棱锥的高为2；
所以该组合体的体积为
V=V正方体+V正四棱锥=23+×22×2=
故选：C．
4．已知＜a＜1，则方程a|x|=|logax|的实根个数是（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．1个或2个或3个
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】分别作出函数y=a|x|和y=|logax|的图象，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：∵＜a＜1，
∴分别作出函数y=a|x|和y=|logax|的图象如图：
则由图象可知，两个函数的图象只有2个交点，
即方程a|x|=|logax|的实根个数是2个，
故选：B cm3．
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）
A．7 C．10
【考点】程序框图．
B．9 D．11
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【分析】算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg 的值，根据条件确定跳出循环的i值．
的值， 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg
∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg
∴跳出循环的i值为9，
∴输出i=9．
故选：B
6．设函数f（x）=sin（2x﹣=lg＜﹣1， ）的图象为C，下面结论中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期是2π
B．函数f（x）在区间（﹣，）上是增函数
个单位得到 C．图象C可由函数g（x）=sin2x的图象向右平移
D．图象C关于点（，0）对称
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由条件利用正弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论
【解答】解：根据函数f（x）=sin（2x﹣
在区间（﹣，）上，2x﹣∈（﹣）的周期为，=π，可得A错误； ），故f（x）没有单调性，故B错误；
）的图象，故C错把函数g（x）=sin2x的图象向右平移
误；
令x=，可得f（x）=sin（2x﹣个单位，可得y=sin（2x﹣）=0，图象C关于点（，0）对称，故D正确， 故选：D．
7．设m∈R，实数满足 ，若|x+2y|≤18，则实数m的取值范围是（ ）A．﹣3≤m≤6 B．m≥﹣3 C． D．
【考点】简单线性规划．
【分析】由题意作平面区域，从而可得A（6，6），B（m，
3）≥﹣18，从而求得．
【解答】解：由题意作平面区域如下，
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﹣3），从而可得m+2（﹣
，
结合图象可知，A（6，6），B（m，
易知m≤6，
且m+2（﹣3）≥﹣18， ﹣3），
故m≥﹣3，
故﹣3≤m≤6，
故选A．
8．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱CC1上的一个动点，平面BED1交棱AA1于点F．则下列命题中假命题是（ ）
A．存在点E，使得A1C1∥平面BED1F
B．存在点E，使得B1D⊥平面BED1F
C．对于任意的点E，平面A1C1D⊥平面BED1F D．对于任意的点E，四棱锥B1﹣BED1F的体积均不变
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】当E为CC1的中点时，则F也为AA1的中点，可证A1C1∥平面BED1F，判断A是真命题；
用反证法证明不存在点E，使得B1D⊥平面BED1F，判断B是假命题； 根据对于任意的点E，都有BD1⊥平面A1C1D，判断C是真命题；
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根据=+ ，而两个三棱锥的体积为定值，判断D是真命题．
【解答】解：对A，当E为CC1的中点时，则F也为AA1的中点，∴EF∥A1C1，∴A1C1∥平面BED1F；故A为真命题；
对B，假设B1D⊥平面BED1F，则B1D在平面BCC1B1和平面ABB1A1上的射影B1C，B1A分别与BE，BF垂直，
可得E与C1重合，F与A1重合，而B，A1，C1，D1四点不共面，∴不存在这样的点E，故B为假命题你；
对C，∵BD1⊥平面A1C1D，BD1?平面BED1F，∴平面A1C1D⊥平面BED1F，故C是真命题；
对D，∵=+，∵CC1∥AA1∥平面BB1D1，∴四棱锥B1﹣BED1F的体积为定值，故D是真命题；
故选B．
9．如图过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（ ）
A．y2=x B．y2=9x C．y2=x D．y2=3x
【考点】抛物线的标准方程．
【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．
【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，
在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，
∴2|AE|=|AC|
∴3+3a=6，
从而得a=1，
∵BD∥FG，
∴=求得p=，
因此抛物线方程为y2=3x．
故选D．
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10．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，） B．（0，] C．（0，] D．（0，1）
【考点】分段函数的应用．
【分析】曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）=（x+1）lnx（x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a的范围．
【解答】解：假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．
不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
∴?=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0 ①．
若方程①有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程①无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．
若0＜t＜e，则f（t）=﹣t3+t2代入①式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，
即t4﹣t2+1=0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）=alnt，
代入①式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，
即=（t+1）lnt ②，令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），
则h′（x）=lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，
∵t≥e，∴h（t）≥h（e）=e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．
∴对于0＜a≤
故答案为：（0，
二.填空题
，方程②总有解，即方程①总有解． ]．
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11．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为 10 万元．
【考点】频率分布直方图．
【分析】由直方图可以看出11时至12时的销售额应为9时至10时的销售额的4倍，利用9时至10时的销售额即可求出11时至12时的销售额
【解答】解：由直方图可以看出11时至12时的销售额应为9时至10时的销售额的4倍， 因为9时至10时的销售额为2.5万元，
故11时至12时的销售额应为2.5×4=10，
故答案为：10．
12．若等比数列{an}的前n项和Sn=a?3n﹣2，则a2=12．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用递推关系可得：a1，a2，a3，再利用等比数列的性质即可得出．
【解答】解：等比数列{an}的前n项和Sn=a?3n﹣2，
分别令n=1，2，3，可得：a1=3a﹣2，a1+a2=9a﹣2，a1+a2+a3=27a﹣2，
解得a1=3a﹣2，a2=6a，a3=18a，
∴（6a）2=（3a﹣2）（18a），
解得a=2．
则a2=12．
故答案为：12．
13．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内（含正方体表面）任取一点M，则
的概率p=
．
第12页（共22页）
【考点】几何概型．
【分析】本题是几何概型问题，欲求点M满足的概率，先以A为原点建立空间直角坐标系，由数量积公式得出点M到平面ABCD的距离大于等于，点M的轨迹是正方体的，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法求解即可．
【解答】解：本题是几何概型问题，正方体的体积为V=8，
以A为原点建立空间直角坐标系，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴．
那么A（0，0，0），A1（0，0，2）
设M（x，y，z），那么x，y，z∈[0，2]
∴
则=（x，y，z），=（0，0，2） ．
，，即2z≥1，zV1=即点M与平面ABCD的距离大于等于，点M的轨迹是正方体的，其体积为：
则的概率p为：，
故答案为：．
14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2（k1?k2≠0），若|k1|+|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为
．
【考点】
双曲线的简单性质．
【分析】先假设点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法，可得斜率之间为定值，再利用|k1|+|k2|的最小值为1，即可求得双曲线的离心率．
【解答】解：由题意，可设点M（p，q），N（﹣p，﹣q），P（s，t）．
∴，且．
两式相减得．
再由斜率公式得：k1k2=
∵|k1|+|k2| ．
第13页（共22页）
根据|k1|+|k2|的最小值为1，可知
∴
故答案为：， ． ，
15．设x是实数，定义[x]不超过实数x的最大整数，如：[2]=2，[2.3]=2，[﹣2.3]=﹣3，记函数f（x）=x﹣[x]，函数g（x）=[3x+1]+给出下列命题：
①函数f（x）在[﹣，]上有最小值，无最大值；
②f（﹣）=f（）且f（x）为偶函数；
③若g（x）﹣2x=0的解集为M，则集合M的所有元素之和为﹣2；
④设an=f（），则当n为偶数时ai=，当n为奇数时，则ai=+． 其中正确的命题的序号是 ①③④ ．
【考点】函数的值．
【分析】①求出f（x）在x∈[﹣，]的解析式，判断f（x）在[﹣，]上有最小值，无最大值；
②计算f（﹣）与f（）的值，得出f（﹣）≠f（）；
③把方程g（x）﹣2x=0化为[3x+1]=2x﹣，根据题意求出方程的解组成的集合M，计算M的所有元素之和为即可；
④求出an的通项公式，计算n为偶数和奇数时ai的值即可．
【解答】解：对于①，x∈[﹣，0）时，[x]=﹣1，f（x）=x+1；
x∈[0，]时，[x]=0，f（x）=x；
所以x∈[﹣，]时，函数f（x）=x﹣[x]=；
即f（x）在[﹣，]上有最小值0，无最大值；命题正确．
对于②，f（﹣）=﹣（﹣1）=，f（）=﹣0=，
第14页（共22页）
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