宁夏育才中学2017届高三年级第四次月考
数 学 试 卷（理）
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A???1,0,1?，B??y|y?sin?x,x?A?，则A?B?（）
A．??1? B．?1? C．?0? D．?
2. 已知a，b为实数，则2a?2b是lna?lnb的（ ）
A．充分不必要条件
充分也不必要条件
3.已知?、?是两个不同平面，m、n是两不同直线，下列命题中的假命题是（）
A．若m//n,m??,则n??
C．若m??,m??,则?//? B．若m//?,????n,则m//n D．若m??,m??,则???B．必要不充分条件C．充要条件D．既不
4.已知实数a，b∈(0,1)，且满足cos πa<cos πb，则下列关系式成立的是()
11 A．ln a<ln bB．sin a<sin b C.abD．a3<b3
5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A. B. C.D.1
6.已知点P(an,an?1)在曲线x?y?d2?0上，且a1?0，且a1?a2?…?a10?30，则a5?a6161312
的最大值等于（ ）
A．9 B．10 C．6 D．11
?x?y?2?0
7.若x,y满足??kx?y?2?0且z?y?x的最小值为-4，则k的值为（ ）
?y?0?
A.2B.?2 C. D.? 1
212
8.过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
π?π?π?π??????????? 00，0，0 A. B. C. D.6363????????
9.
若正方体的棱长为为（ ）
A.2
B.
C.D. 3633
10.圆x2＋y2＋2y－3＝0被直线x＋y－k＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k＝( )
A2B． 12 C． 2－1或－－1 D．1或－3
?ax,x?0,f(x)?f(x2)11.已知函数f(x)??满足对任意x1?x2，都有1?0成立，x?x(a?3)x?4a,x?012?
则a的取值范围是（ ）
A．(0,] 1
4 B．(1,2] C．(1,3) D．(,1) 1
2
x2x3x4x201312．已知函数f(x)?1?x???????, 2342013
x2x3x4x2013
g(x)?1?x???????,设函数F(x)?f(x?3)?g(x?4)， 2342013
且函数F(x)的零点均在区间[a,b](a?b,a,b?Z)内，则b?a的最小值为（ ）
A．8 B．9 C． 10 D． 11
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________
14.
由曲线y?y?2?x及x轴所围成的图形的面积为 .
15. 在?ABC中，D为AC上一点，且?,P为BD上一点，且满足?m? n(m?0,n?0),则1311?的最小值是 mn
16.直三棱柱ABC?A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB?AC?AA1?2,?BAC?120?，则此球的表面积等于 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分12分）?ABC中，a，b，c分别是角A,B,C的对边，向量
????B2?n?(2sin(?),?1),?． m?(2sinB,2?cos2B)，42
（1）求角B的大小；
（2
）若a?b?1，求c的值．
18. （本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列?an?中，满足a1?a3?a5?12，且a1,a5,a17成等比数列.
（1）求数列?an?的通项公式an；
23an?1（2）若bn?2 ，数列?bn?的前n项和为Sn，求证：Sn?n?. 2an?1
19. （本小题满分12分）已知点P(0,5)及圆C：x2?y2?4x?12y?24?0.
（1）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程;
（2）求过P点的圆C 的弦的中点的轨迹方程.
20. （本小题满分12分）
如图在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是边长为a的
正方形,侧面PAD?底面ABCD
，且PA?PD?
设E、F分别为PC、BD的中点．
(Ⅰ) 求证：EF //平面PAD；
(Ⅱ) 求证：面PAB?平面PDC；
(Ⅲ) 求二面角B?PD?C的正切值．
分．做答时请写清题号。
22．选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l经过点P(，1)，倾斜角??
(1)写出直线l的参数方程；
(2)设直线l与圆C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积.
23．选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)?|x?a|?|x?2|.
（1）当a??3时，求不等式f(x)?3的解集；
（2）若f(x
)?|x?4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围. 12P B AD,2??，圆C的极坐标方程为????). 64
宁夏育才中学2017届高三年级第四次月考
数 学 试 卷（理）参考答案
一、选择题：
CBBCA ADDBD AC
二、填空题
13.?-2,2? 14.15.9 16.20?
三、解答题
217.解：（1）?
m?n?m?n?0,?4sinB?sin(76?
4?B)?cos2B?2?0 2
（2）?a??b,?此时B??
6，
综上c?2或c?1
18.解：（1）an?n?1；（2）Sn?n??3
211? n?1n?2
19.解：（1）直线l的方程为：x=0或3x-4y+20=0；
（2）所求轨迹方程：x2?y2?2x?11y?30?0
20.解：法一(Ⅰ)证明：ABCD为平行四边形 连结AC?BD?F，F为AC中点，
E为PC中点∴在?CPA中EF//PA
A且PA?平面PAD，EF?平面PAD ∴EF//平面PAD (Ⅱ)：因为面PAD?面ABCD 平面PAD?面ABCD?AD
ABCD为正方形，CD?AD
，CD?平面ABCD 所以CD?平面PAD ∴CD?PA 又PA?PD?
且?PAD??
2AD，所以?PAD是等腰直角三角形， 即PA?PD
CD?PD?D，且CD、PD?面ABCD
PA?面PDC
又PA?面PAB 面PAB?面PDC
(Ⅲ)设PD的中点为M,连结EM,MF,
则EM?PD由(Ⅱ)知EF?面PDC,
EF?PD，PD?面EFM， PD?MF，
?EMF是二面角B?PD?C的平面角
Rt?
FEM
中，EF?PA?
12
11 EM?CD?
a
22EF 故所求二面角的正切值为 tan?EMF???
2EM2a2
法二：如图,取AD的中点O, 连结OP∵PA?PD, ∴PO?AD. ∵侧面PAD?底面ABCD,
平面PAD?平面ABCD?AD,
∴PO?平面ABCD
,
而O,F分别为AD,BD的中点,∴OF//AB又ABCD是正方形,故OF?AD. ∵PA?PD?
aAD,∴PA?PD,OP?OA?.
22
以O为原点,直线OA,OF,OP为x,y,z轴建立空间直线坐标系, 则有A(,0,0),F(0,,0),D(?,0,0),P(0,0,),B(,a,0),C(?,a,0). ∵E为PC的中点, ∴E(?,,)
????????aaa
（Ⅰ）易知平面PAD的法向量为OF?(0,,0)而EF?(,0,?),
244
aaa
424
a2a2a2a2a2a2
????????aaa
且OF?EF?(0,,0)?(,0,?)?0, ∴EF //平面PAD
244
????????a?????aaa???
(Ⅱ)∵PA?(,0,?),CD?(0,a,0) ∴PA?CD?(,0,?)?(0,a,0)?0,
2222
????????
∴PA?CD,从而PA?CD,又PA?PD,PD?CD?D,
∴PA?平面PDC,而PA?平面PAB,
∴平面PAB?平面PDC．
????aa(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面PDC的法向量为PA?(,0,?). 22
????aa?????设平面PBD的法向量为n?(x,y,z).∵DP?(,0,),BD?(?a,a,0), 22
a?a????????????x?0?y??z?0∴由n?DP?0,n?BD?0可得?2,令x?1,则y?1,z??1, 2???a?x?a?y?0?z?0
??????
??????PA故n?(1,1,?1)∴cos?n,PA??n, ??3nPA即二面角B?PD?
C的余弦值为, 3
所以二面角B?PD?
C21.解：（1）当a?0时，f(x)?lnx?x，则f(1)?1，所以切点为(1,1)， 又f'(x）?2， ??1，则切线斜率k?f'(1）故切线方程为y?1?2(x?1)，即2x?y?1?0.
（2）g(x)?f(x)?(ax?1)?lnx?ax2?(1?a)x?1， 1?ax2?(1?a)x?1则g'(x)??ax?(1?a)?， xx121x
当a?0时，∵x?0，∴g'(x)?0. ∴g(x)在(0,??)上是递增函数，函数g(x)无极值点，
1a(x?)(x?1)?ax2?(1?a)x?1当a?0时，g'(x)?， ??xx
令g'(x)?0得x?. ∴当x?(0,)时，g'(x)?0；当x?(,??)时，g'(x)?0. 因此g(x)在(0,)上是增函数，在(,??)上是减函数. 1
a1a1a1a1a
∴x?时，g(x)有极大值g()?ln??综上，当a?0时，函数g(x)无极值；
当a?0时，函数g(x)有极大值
1a1a1aa2111?(1?a)??1??lna. a2a2a
1
?lna. 2a
?1x????2222、解：(1) 直线l
的参数方程是?（t是参数） ?y?1?1t??2
(2) 将直线l的参数方程代人圆C的直角坐标方程并整理得t2+t-=0， 得t1t2= -，所以|PA|·|PB|=| t1t2|=|-|=.
??2x?5,x?2
?
23、（1）当a??3时，f(x)??1,2?x?3，当x?2时，由f(x)?3得?2x?5?3，解
?2x?5,x?3?
1214
141414
得x?1；
当2?x?3时，f(x)?3，无解；当x?3时，由f(x)?3得2x?5?3，解得x?8，∴f(x)?3的解集为{x|x?1或x?8}.
（2）f(x)?|x?4|?|x?4|?|x?2|?|x?a|，当x?[1,2]时，|x?a|?|x?4|?4?x?x?2?2， ∴?2?a?x?2?a，有条件得?2?a?1且2?a?2，即?3?a?0，故满足条件的a的取值范围为[?3,0].
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