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2017年考研数学一真题及答案解析
跨考教育 数学教研室
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
x?0（1
）若函数f(x)?在x?0处连续，则（） ?b,x?0?
1
2
(C)ab?0(A)ab?
【答案】A
?B?ab???D?ab?212
1x111?1x?0??b?ab?.选A. 【解析】lim在处连续?lim?,?f(x)?x?0?x?02a2axax2a
（2）设函数f(x)可导，且f(x)f'(x)?0，则（ ）
(A)f(1)?f(?1)
(C)f(1)?f(?1)
【答案】C ?B?f(1)?f(?1)?D?f(1)?f(?1)
【解析】?f(x)f'(x)?0,??
?f(x)?0?f(x)?0 (1)或?(2)，只有C选项满足(1)且满足(2)，所以选C。?f'(x)?0?f'(x)?0
2（3）函数f(x,y,z)?xy?z在点(1,2,0)处沿向量u??1,2,2?的方向导数为（ ） 2
(A)12
【答案】D 【解析】
选D.
(B)6(C)4(D)2 gradf?{2xy,x2,2z},?gradf(1,2,0)?{4,1,0}??fu122?gradf??{4,1,0}?,,?2. ?u|u|333
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线v?v1(t)（单全国统一服务热线：400—668—2155
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位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v?v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位：s），则（ ）
(s)
(A)t0?10
【答案】B (B)15?t0?20(C)t0?25(D)t0?25
【解析】从0到t0这段时间内甲乙的位移分别为?t0
0v1(t)dt,?v2(t)dt,则乙要追上甲，则 0t0
?
t00v2(t)?v1(t)dt?10，当t0?25时满足，故选C.
（5）设?是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（ ）
(A)E???T不可逆
(C)E?2??不可逆
【答案】A T?B?E???T不可逆?D?E?2??T不可逆
TTTT【解析】选项A,由(E???)??????0得(E???)x?0有非零解，故E????0。即E???
不可逆。选项B,由r(??T)??1得??的特征值为n-1个0，1.故E???的特征值为n-1个1，2.故可逆。其它选项类似理解。
TT
?200??210??100???????（6）设矩阵A?021,B?020,C?020,则（ ） ??????????001???001???002??
?B?A与C相似,B与C不相似 (C)A与C不相似,B与C相似?D?A与C不相似,B与C不相似(A)A与C相似,B与C相似
【答案】B
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【解析】由(?E?A)?0可知A的特征值为2,2,1
?100???因为3?r(2E?A)?1，∴A可相似对角化，且A~?020? ?002???
由?E?B?0可知B特征值为2,2,1.
因为3?r(2E?B)?2，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，
∴A~C，且B不相似于C
（7）设A,B为随机概率，若0?P(A)?1,0?P(B)?1，则P(AB)?P(AB)的充分必要条件是（ ）
(A)P(BA)?P(BA)
(C)P(BA)?P(BA)(B)P(BA)?P(BA)(D)P(BA)?P(BA)
【答案】A
【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。
1n
（8）设X1,X2???Xn(n?2)为来自总体N(?,1)的简单随机样本，记??Xi，则下列结论中不正确ni?1
的是（ ）
(A)?(Xi??)2服从?2分布
i?1
nn?B?2(Xn?X1)2服从?2分布
(C)?(Xi?)2服从?2分布
i?1?D?n(??)2服从?2分布
【答案】B
【解析】
X?N(?,1),Xi???N(0,1)
??(Xi??)2??2(n),A正确
i?1n
?(n?1)S??(Xi?)2??2(n?1)，C正确，2
i?1n
1?~N(?,??)?N(0,1),n(??)2~?2(1),D正确,n
(Xn?X1)2
?~N(0,2),~?2(1),故B错误.2
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由于找不正确的结论，故B符合题意。
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二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
(9) 已知函数f(x)?
【答案】f(0)??6
【解析】
??112nn2nf(x)???(?x)?(?1)x??221?x1?(?x)n?0n?01，则f(3)(0)21?x
f'''(x)??(?1)n2n(2n?1)(2n?2)x2n?3?f'''(0)?0
n?2?
(10) 微分方程y''?2y'?3y?0的通解为
y?_________
【答案】y?e?x(c1?c2)，（c
1,c2为任意常数）
【解析】齐次特征方程为??2??3?0??1,2?
?1
故通解为e?x(c1?c2)
(11) 若曲线积分2xdx?aydy22?Lx2?y2?1在区域D??(x,y)|x?y?1?内与路径无关，则 a?__________ 【答案】a?1
【解析】
(12) 幂级数?P?2xy?Q2axy?P?Q由积分与路径无关知?2,?,??a??1 ?y(x?y2?1)2?x(x2?y2?1)2?y?x?(?1)
n?1?n?1nxn?1在区间(?1,1)内的和函数S(x)?________
【答案】s(x)?1
?1?x?2
1???x?n?1n?1n?1n??【解析】?(?1)nx???(?1)x????2
n?1?n?1??1?x?(1?x)
?101???（13）设矩阵A??112?，?1,?2,?3为线性无关的3维列向量组，则向量组A?1,A?2,A?3的秩为?011???
?'' 全国统一服务热线：400—668—
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_________
【答案】2
【解析】由?1,?2,?3线性无关，可知矩阵?1,?2,?3可逆，故
r?A?1,A?2,A?3??r?A??1,?2,?3???r?A?再由r?A??2得r?A?1,A?2,A?3??2
（14）设随机变量X的分布函数为F(x)?0.5?(x)?0.5?(
x?4
，其中?(x)为标准正态分布函数，则2
EX?_________
【答案】2
【解析】F?(x)?0.5?(x)?
??0.5x?40.5??x?4
?(，故EX?0.5?x?(x)dx?x?(dx
??222???2
????????x?4x?4
?tx?(dxx?(x)dx?EX?0。令，则=24?2t?(t)dt?8?1?4t?(t)dt?8 ??????????????22
因此E(X)?2.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或．．．演算步骤.
（15）（本题满分10分）
dy设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，y?f(e,cosx)，求
dx
x
x?0
，
d2ydx2
x?0
dy
【答案】
dx
【解析】
x?0
d2y
?f(1,1),2
dx
'1x?0
''?f11(1,1), x?0
y?f(e,cosx)?y(0)?f(1,1)?dy
dx
??f1'ex?f2'??sinx??
x?0
x?0
x
?f1'(1,1)?1?f2'(1,1)?0?f1'(1,1)
d2y''2x''x''x''2'x'
?2?f11e?f12e(?sinx)?f21e(?sinx)?f22sinx?f1e?f2cosxdxd2y''?2?f11(1,1)?f1'(1,1)?f2'(1,1)dxx?0结论：
dydx
?f1'(1,1)
x?0
''?f11(1,1)?f1'(1,1)?f2'(1,1)x?0
d2y
dx2
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（16）（本题满分10分）求limBorn to win! k?k?ln?1???2n???n? k?1nn
【答案】【解析】 1 4211x?1?1kk1111221lim?2ln(1???xln(1?x)dx??ln(1?x)dx?(ln(1?x)?x0??dx)? 00n??n2021?x4k?1nn
（17）（本题满分10分）
已知函数y(x)由方程x3?y3?3x?3y?2?0确定，求y(x)的极值
【答案】极大值为y(1)?1，极小值为y(?1)?0
【解析】
两边求导得：
3x2?3y2y'?3?3y'?0 （1）
令y'?0得x??1
2''对（1）式两边关于x求导得 6x?6y?y?'?3yy?23y?'' 0 （2）
将x??1代入原题给的等式中，得??x?1?x??1， or?y?1y?0??
将x?1,y?1代入（2）得y''(1)??1?0
将x??1,y?0代入（2）得y''(?1)?2?0
故x?1为极大值点，y(1)?1；x??1为极小值点，y(?1)?0
（18）（本题满分10分）
设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数，且f(1)?0,lim?x?0f(x)?0，证明： x
(?)方程f(x)?0在区间(0,1)内至少存在一个实根；
(?)方程f(x)f'(x)?(f'(x))2?0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
【答案】
【解析】 （I）f(x)二阶导数，f(1)?0,lim?x?0f(x)?0 x
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解：1）由于lim?f(x)?0，根据极限的保号性得 x?0x
f(x)?0，即f(x)?0 ???0,?x?(0,?)有x
进而?x0?(0,?)有f????0
又由于f(x)二阶可导，所以f(x)在[0,1]上必连续
那么f(x)在[?,1]上连续，由f(?)?0,f(1)?0根据零点定理得：
至少存在一点??(?,1)，使f(?)?0，即得证
（II）由（1）可知f(0)?0，???(0,1),使f(?)?0，令F(x)?f(x)f'(x)，则f(0)?f(?)?0 由罗尔定理???(0,?),使f'(?)?0，则F(0)?F(?)?F(?)?0，
对F(x)在(0,?),(?,?)分别使用罗尔定理：
??1?(0,?),?2?(?,?)且?1,?2?(0,1),?1??2，使得F'(?1)?F'(?2)?0，即
F'(x)?f(x)f''(x)??f'(x)??0在(0,1)至少有两个不同实根。
得证。
（19）（本题满分10分）
设薄片型物体S
是圆锥面z?2被柱面z2?2x割下的有限部分，其上任一点的密度为
??C
(?)求C在xOy平面上的投影曲线的方程；
(?)求S的M质量。
【答案】64
【解析】
??z?（1）由题设条件知，C
的方程为?x2?y2?2x 2??z?2x
?x2?y2?2x则C在xoy平面的方程为?
?z?0
（2）
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Born to win! m????(x,y,z)dS????
ssD:x2?y2?2x?? ?
?18??d??2
?22cos?0r2dr?64
（20）（本题满分11分）设3阶矩阵A???1,?2,?3?有3个不同的特征值，且?3??1?2?2。 (?)证明 r(A)?2；
(?)若???1??2??3，求方程组Ax??的通解。
?1??1?????【答案】（I）略；（II）通解为k?2???1?,k?R
??1??1?????
【解析】
（I）证明：由?3??1?2?2可得?1?2?2??3?0，即?1,?2,?3线性相关， 因此，A??1?2?3?0，即A的特征值必有0。
又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.
??1?且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为?????
∴r(A)?r(?)?2 ?2???,?1??2?0 0??
（II）由（1）r(A)?2，知3?r(A)?1，即Ax?0的基础解系只有1个解向量，
?1??1??1???????由?1?2?2??3?0可得??1,?2,?3??2??A?2??0，则Ax?0的基础解系为?2?，
??1???1???1???????
?1??1??1???????又???1??2??3，即??1,?2,?3??1??A?1???，则Ax??的一个特解为?1?，
?1??1??1???????
?1??1?????综上，Ax??的通解为k?2???1?,k?R
??1??1?????
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win 222（21）（本题满分11分）设二次型f(x1,x2,x3)?2x1?x2?ax3?2x1x2?8x1x3?2x2x3
22在正交变换X?QY下的标准型?1y1，求a的值及一个正交矩阵Q ??2y2
????【答案】a?2;Q??????【解析】 022,f x?Qy ?3y?6y12 ?21?4???f(x1,x2,x3)?XTAX，其中A??1?11?
??41a???
22由于f(x1,x2,x3)?XTAX经正交变换后，得到的标准形为?1y1??2y2 ，
2
故r(A)?2?|A|?0?11?41?0?a?2，
a?1?41
?21?4???将a?2代入，满足r(A)?2，因此a?2符合题意，此时A??1?11?，则
??412???
??2
|?E?A|??1
4?14?1?0??1??3,?2?0,?3?6，
??2??1?1
?1???由(?3E?A)x?0，可得A的属于特征值-3的特征向量为?1???1?；
?1???
??1???由(6E?A)x?0，可得A的属于特征值6的特征向量为?2??0?
?1???
?1???由(0E?A)x?0，可得A的属于特征值0的特征向量为?3??2?
?1???
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令P???1,?2,?3???3????16，则PAP???，由于?1,?2,?3彼此正交，故只需单位化
即可
：
?0???
?1?TTT
1,?1,1?,?2??1,0,1?,?3?1,2,1?,，
??3???TQAQ?6， ???0???????则Q??
?1?2?3???????2f??3y12?6y2 x?Qy
（22）（本题满分11分）设随机变量X,Y相互独立，且X的概率分布为P(X?0)?P(X?2)?1，Y的2
?2y，0?y?1概率密度为f(y)?? 0,其他?
(?)求P(Y?EY)
(?)求Z?X?Y的概率密度。
【答案】(I)P{Y?EY}?
【解析】 ?z, 0?z?14 ;(II)fZ(z)??9?z?2,2?z?3
(?)E(Y)??y2ydy?0123
224P(Y?EY)?P(Y???32ydy?039
(?)Fz(Z)?P(Z?z)?P(X?Y?z)
?P(X?Y?z,X?0)?P(X?Y?z,X?2)
?P(Y?z,X?0)?P(Y?z?2,X?2)
11?P(Y?z)?P(Y?z?2)22
（1） 当z?0,z?2?0，而z?0，则Fz(Z)?0
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（2） 当z?2?1,z?1,即z?3时，Fz(Z)?1
12z 2
1（4）当1?z?2时，Fz(Z)? 2
112（5）当2?z?3时，Fz(Z)??(z?2) 22（3）当0?z?1时，Fz(Z)?
z?0?0?1?z2,0?z?1?2??1所以综上Fz(Z)??,1?z?2?2
?112?2?2(z?2),2?z?3
??1,z?3?
所以fz(Z)??Fz(Z)???' 0?z?1?z z?22?z?3?
（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量?是已知的，设n次测量结果X1,X2???Xn相互独立且均服从正态分布N(?,?2)。该工程师记录的是n次测量的绝对误差Zi?Xi??(i?1,2,???n)，利用Z1,Z2???Zn估计?。
(?)求Zi的概率密度；
(?)利用一阶矩求?的矩估计量
【答案】
z??22?, z?0(I)fZi(z)?;?0, 其他2
n?(II)矩估计?Xi??;?1
?(III)最大似然估计：? 【解析】(?)Fzi(z)?P(Zi?z)?P(Xi???z)
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精勤求学 自强不息 Born to win! 当z?0,Fzi(z)?0
当z?0,Fzi(z)?P(?z?Xi???z)?P(??z?Xi???z)?FX(??z)?F(??z) 当z?0时，
?fzi(z)?Fzi(z)?fx(??z)?fx(??z)?
z??2?,z?0综上fzi(z)? 0,z?0?
2?
?'?z22??
?z22???z22?
(?)E?
Zi????2????0?22?dz??0z2?2?dz2z2 ?0e?z22?z2d(?2)??2?1n1nZ??Zi??Xi?? ni?1ni?1^令E(Zi)?Z
由此可得
?的矩估计量??Xi?1ni?? 对总体X的n个样本X1,X2,???Xn，则相交的绝对误差的样本Z1,Z2,???Zn,Zi?xi?u,i?1,2...n,令其样本值为Z1,Z2,???Zn,Zi?
xi?u
??Zi2
n??i?1
?2?,Z1,Z2,???Zn?0 则对应的似然函数L(?)??e
???0,其他
两边取对数，当Z1,Z2,???
Zn?0时 n
1lnL(?)?n22??Z
i?1n2i
dlnL(?)n1n2令???3?Zi?0 d?u?i?1 全国统一服务热线：400—668—
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