小学四年级奥数专题（三）高斯求和
例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。 解：（1）最大三角形面积为
（1＋3＋5＋…＋15）×12
＝［（1＋15）×8÷2］×12
＝768（厘米2）。
（2）火柴棍的数目为
3＋6＋9+…+24
＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。
例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？
分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了
2×1＋2×2＋…＋2×10
＝2×（1＋2＋…＋10）
＝2×55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
综合列式为：
（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3
＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。
练习3
1.计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋…＋200；
（2）17＋19＋21＋…＋39；
（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；
（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。
2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？
5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？
小学五年级奥数教案
教学内容：长方形和正方形的周长和面积（探究活动1～3）
教学目标：1、知识目标：会利用转化及割补的方法求不规则图形的面积和周长。
2、能力目标：培养学生的观察能力及逻辑思维能力。
3、情感目标：渗透转化的数学思想，在转化的过程中要抓住“变”与“不变”。
教学重点：将不规则图形转化为规则图求解
教学难点：观察转化后的“变”与“不变”（形状、面积发生变化，但是周长不变）
教学关键：画图观察
教具准备：三角尺，两个相同的长方形。
教学过程：（40分钟）
一、复习导入（5分钟）
1、我们已经学习过长方形、正方形的周长和面积，请你用字母表示长方形、正方形的周长和面积。
2、看图：在练习本上写出周长和面积
3、汇报。同时了解一下学生基础知识掌握如何。
二、新授（探究1～3）（30分钟）
（一）、学习探究活动1
求ABEFGD的周长和面积。图形ABEFGD是由一个长方形ABCD和一个正方形CEFG拼成的。AB＝10cmBE＝10cmDG＝
4cm
1、黑板上画出图形。
2、让学生默读几遍题，要求看图就能够说出题中的已知条件和问题。
3、提问：看图说出题中的已知条件和问题。教师把文字部分擦除。（目的是让学生理解题意，为讲题打基础，同时也是培养学生良好的做题习惯）
4、两个人互相说题中的已知条件和问题。
5、自己试着解题，教师巡视，了解学生的做题方法及学生的水平。
6、汇报同时讲解
方法一：直接求：AB＝DC
CG＝DC－DG＝10－4＝6cm
BC＝10－6＝4cm
AD＝BC＝4cm
ABEFGD周长＝AB＋BE＋EF＋GF＋DG＋AD＝10＋10＋6＋6＋4＋4＝40cm
ABEFGD面积＝ABCD面积＋GCEF面积＝10×4＋6×6＝76cm
方法二：转化后求解
GF＝DG'＝4cmDG＝G'F＝6cmABEG'是一个正方形
所以：ABEFGD的周长就是ABEG'的周长＝10×4＝40cm（转化后周长没有发生变化，把复杂的图形转化为简单的图形）
不规则图形ABEFGD转化为正方形ABEG'后面积却发生了变化：增加了长方形DGFG'的面积，因此求ABEFGD的面积要用正方形ABEG'的面积减去长方形DGFG'的面积。
因此ABEFGD面积＝ABEG'的面积－DGFG'的面积＝10×10－4×6＝76cm
7、讲解后让学生把错误的改正过来，同时把黑板上的答案擦除，让学生看图再在练习本上做一遍此题，加深理解。
8、置疑。（有不明白的地方、或者有其它看法的可以提出来）
（二）、学习探究活动2
求ABEFGD的周长和面积。两个相同的长方形，长9cm，宽5cm。
1、黑板上画出图形。同时用教具演示。
2、让学生默读几遍题，要求看图就能够说出题中的已知条件和问题。
3、提问：看图说出题中的已知条件和问题。教师把文字部分擦除。
4、两个人互相说题中的已知条件和问题。
5、自己试着解题，教师巡视，了解学生的做题方法及学生的水平。
6、汇报同时讲解（因为有了前一道题的基础，所以本题重点让学生分析转化后什么没有变化，什么发生变
化）
7、还有其它的解法吗？因为是两个完全相同的长方形，因此有很多解法。
如：方法三：9×5×2－5×5
方法四：9×5＋4×5
（三）、学习探究活动3
最小的正方形的面积是多少？图中有六个正方形，较小的正方形都是由较大的正方形的四边中点连接而成。已知最大的正方形的边长是10厘米。那么最小的正方形的面积是多少平方厘米？
1.黑板上画出图形。
2.让学生默读几遍题，要求看图就能够说出题中的已知条件和问题。
3.提问：看图说出题中的已知条件和问题。教师把文字部分擦除。
4.两个人互相说题中的已知条件和问题。
5.自己试着解题，教师巡视，了解学生的做题方法及学生的水平。
6.对于这种题大部分学生会感觉到束手无策，因此老师要抓住此题的关键，先降低此题的难度。只画两个正方形
先求黄色正方形的面积，做辅助线。
学生可以轻易地求出黄色正方形的
面积是蓝色正方形的面积的一半。
从而找出规律：连接正方形的中点
所组成的小正方形的面积是大正方
形面积的一半。因此原题的面积可以迎刃而解：10×10÷2÷2÷2÷2÷2＝3.125平方厘米
6、置疑。
三、练习（4分钟）
P6--------2
四、总结（1分钟）
本节课你学会了什么？掌握了怎么的解体方法？把你学会的技能跟老对说一说。
三年级仁华数学课本五：找简单数列的规律（上册）
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奥数练习：牛顿的“牛吃草问题”（六年级）
伟大的科学家牛顿，曾经写过一本数学书。书中有一道非常有名的、关于牛在牧场上吃草的题目，后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”。
“牛顿问题”是这样的：“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。”这类题目的一般解法是：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：
（1）27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162
（这162包括牧场原有的草和6天新长的草。）
（2）23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207
（这207包括牧场原有的草和9天新长的草。）
（3）1天新长的草为：（207－162）÷（9－6）＝15
（4）牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72
（5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草： 72÷（21－15）＝72÷6＝12（天）
所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。
请你算一算。
有一牧场，如果养25只羊，8天可以把草吃尽；养21只羊，12天把草吃尽。如果养15只羊，几天能把牧场上不断生长的草吃尽呢？
奥数讲座：第9讲 盈亏问题
在日常生活中常有这样的问题：一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。盈亏问题就是在已知亏盈的情况下来确定物品总数和参加分配的人数。这是一类典型问
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