新课标八年级数学竞赛讲座
第三十二讲 几何不等式
1．三角形的不等关系是研究许多几何不等问题的基础，这种不等关系分为两类：一类是在同一三角形中进行比较；一类是在两个三角形中比较．这里主要方法是把要比较的边或角如何转化到同一个三角形或适当安排在两个三角形之中．
2．在同一个三角形中有关边或角不等关系的证明，常有以下定理：
(1)三角形任何两边之和大于第三边．
(2)三角形任何两边之差小于第三边．
(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
(4)同一三角形中大边对大角．
(5)同一三角形中大角对大边．
例题求解
【例1】 如图19-2，在等腰梯形ABCD中，A∥BC，AB=CD，E、F分别在AB、CD上且AE=CF．求证：EF?1(AD?BC)． 2
思路点拨如图所示，延长AD至D1使DD1=BC，延长BC至Cl，使CCl =AD，连结ClDl，则ABC1Dl是平行四边形，ABCD和CDDlCl是两个全等的梯形，在D1C1上取一点G使D1G=AE，连结FG和EG．
由AE=CF，则EF=FG，又EG=AD1=AD+BC，
∴2EF=EF+FG≥EG=AD+BC．
即EF?1(AD?BC)． 2
注当且仅当点F落在EG上时，即E为AB的中点时，结论中的等号成立．证明这类不等式的一个常用方法是能过添加辅助线，把要比较大小的线段或角集中到一个三角形中，或者适当地安排在两个三角形中，以便应用上述基本不等式关系．
【例2】 如图19-3，△ABC中，AB>AC，BE、CF是中线，求证：BE>CF．
思路点拨将BE、CE分别平移到FG、FD，则四边形EFDC为平行四边形，作FH⊥BC于H．
∴AB>AC，且F，E分别为AB、AC的中点，∴ FB>CE．
∴FB>FD，由勾股定理得：HB>HD，即FB>FD．
又∵GH=GB+BH=EF+BH=DC+BH>CD+DH=CH，
即GH>CH，∴GF>CF．即BE>CF．
www.99jianzhu.com/包含内容：建筑图纸、PDF/word/ppt 流程，表格，案例，最新,免费下载,施工方案、工程书籍、建筑论文、合同表格、标准规范、CAD图纸等内容。