新课标八年级数学竞赛讲座
第三十一讲完全平方数和完全平方式
设n是自然数，若存在自然数m，使得n=m2，则称n是一个完全平方数(或平方数)．常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关问题等．最常用的性质有：
(1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数；
(2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数；
(3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数；
(4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式；
(5)任何整数平方之后，只能是3n或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数；
(6)相邻两个整数之积不是完全平方数；
(7)如果自然数n不是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是偶数；如果自然数n是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数；
(8)偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数． 例题求解
【例1】 n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和． 思路点拨设3n+1=m2，显然3卜m，因此，m=3k+1或m=3k+2(k是正整数)．
m2?1?3k2?2k． 若rn=3k+1，则n?3
∴ n+1=3k2+2k+1= k2+ k2+( k+1)2．
m2?1?3k2?4k?1 若m=3k+2，则n?3
∴ n+1=3k2+4k+2= k2+(k+1)2+( k+1)2．
故n+1是3个完全平方数之和．
【例2】一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．
思路点拨 引入参数，利用奇偶分析求解．
设所求正整数为x，则
x+100=m2----①
x+168==n2 -----②
其中m，n 都是正整数，②—①得n2—m2=68，即 （n—m）(n+m)=22×17．---- ③ 因n—m，n+m具有相同的奇偶性，由③知n—m，n+m都是偶数．注意到0<n—m<n+m，由③可得 ??n?m?2． n?m?2?17?
解得n=18．代人②得x=156，即为所求．
【例3】 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52—32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由．
思路点拨1不能表为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=(k+1)2－k2(k=1，2，?)．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”． 对于被4整除的偶数4k，有4k=(k+1)2—(k—1)2(k=2，3，?)．即大于4的被4整除的
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