四川师范大学
2013年攻读硕士学位研究生
入学考试试题
专业代码:-045104,0701*专业名称:数学类各专业
考试科目代码:_825考试科目名称:高等代数
(本试共10大题_______小题满分150分
说明:(1)试题和答卷分离,所有答题内容须写在答题纸上,写在试题或草稿纸上的内容无效；
(2)答题时,可不抄题,但须写明所答试题序号；
(3)答题时,严禁使用红色笔或铅笔答题。
1.设f(x),g(x)是数域P上不全为零的两个多项式,证明(???? x ，g?? x )=(f(x)，g x )??,(10分)
2.设f(x)是整系数多项式。a,b,c,d是互不相同的整数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=2,证明对任意整数n,f(a)?2不是素数。(15分)
??1?????????2???3.计算行列式 ???? 。(15分)
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4.己知A是n级矩阵,B是n×m矩阵,且rank(B)=n.如果AB=B,证明A为n级单位阵。(15分)
5.设A是n级矩阵:且A2+A=2????,其中E??是n级单位阵,证明rank(A+2E??)+rank(A?????)=n。(15分)
6.对任意一个半正定实矩阵A,证明存在实矩阵B,使得A=BB??(B??为B的转置矩阵)。(15分)
7.求正交线性替换使二次型f(x1,x2,x3)=2x12+2x22?x32?8x1x2?4x1x3+4x3x2为标准形。(20分)
8.设数域P上的n级矩阵空间为M??(??),集合S1={A∈M??(P)|A??=A},其中A??为A的转置矩阵，
1)证明S1是M??(P)的子空间；
+S2=Mn(P)。(15分) 2)求M??(P)的子空间S2使得S1○
9.设A是n级实对称矩阵,B是n级实正定矩阵,证明存在n级正交矩阵Q,使得Q??AQ与Q??BQ同时为对角阵。(15分)
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10,.已知A= 1?1?8 ,计算A??(n为任意正整数)(15分)
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