2015年长沙名校联盟高一年 级暑假第一次阶段性测试试卷
数学
（湖南卷版）
本试卷包括三个大题，共6页，总分150分，考试时量120分钟
注意事项：
1. 答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2. 必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3. 答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4. 请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔记清晰、卡面清洁；
5. 答题卡上不准使用涂改液涂改。
一、选择题（每小题5分，共50分）
1. 已知数列{an}是等差数列，且a2?a3?a10?a11?48，则a6?a7等于（）
A. 12B. 18 C. 24D. 30
2. 下列命题中，错误的个数有________个 ①平行于同一条直线的两个平面平行. ②平行于同一个平面的两个平面平行.
③一个平面与两个平行平面相交，交线平行.
④一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
3.已知圆C1:x2?y2?2x?8y?8?0与圆C2:x2?y2?4x?4y?2?0相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程为（）
A．x?2y?1?0
B．x?2y?1?0
D．x?2y?1?0 C．x?2y?1?0
4. 把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）
A．90 B．60 ??C．45 ?D．30?
5. 设偶函数f（x）的定义域为R，当x?[0,??)时f（x）是增函数，则f(?2),f(?),f(?3)的大小关系是（）
- 1 -
A.f(?)＞f(?3)＞f(?2)
B.f(?)＞f(?2)＞f(?3)
C.f(?)＜f(?3)＜f(?2)
D.f(?)＜f(?2)＜f(?3)
6. y?
1
??sin?的最大值为（ ） 221
2
B.
A.
2
C. 1 D. 2
7. 若任取x1,x2??a,b?,且x1?x2,都有f(
x1?x2f(x1)?f(x2)
)?成立，则称f(x) 是22
?a,b?上的凸函数．试问：在下列图像中，是凸函数图像的为（ ）
A
nn－1
8. 已知n次多项式f(x)＝anx＋an－1x＋?＋a1x＋a0，用秦九韶算法求f(x0)的值，需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是（ ）
A．n，n
B．2n，n
C．
n(n＋1)
，n 2
D．n＋1，n＋1
??????
9. 设向量a与b的夹角为?，定义a与b的“向量积”：a?b是一个向量，它的模
????
????
a?b?a?b?sin?，若a??1,b?，则a?b?（ ）
?
?? A．2 B．
10. 已知等比数列｛an｝中，an=2×3的值为（ ）
A．3－1
n
C．
n?1
D．4
,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn
9n?13(9n?1)
B．3(3－1) C．D．
44
n
二、填空题（每小题5分，共25分）
11． 函数y?log（的定义域为_______________． ）2log1x
3
A
CB
12． 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱锥A1——ABCD的体积
C B
与长方体的体积之比为_______________．
13． 按照程序框图(如右图)执行，第3个输出的数是_______________．
14． 已知函数f(x)?sin(x??)?cos(x??)是偶函数，且??[0,
的值为_______________．
15．在?ABC中，A?600,b?
1,?2]，则?
a?b?c?_______________． sinA?sinB?sinC
三、解答题（共75分）
16．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?sin
（Ⅰ）求?的值；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间?0?上的取值范围． 3
17．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点． （Ⅰ）求证：DE∥平面PAC.
（Ⅱ）求证：AB⊥PB；
（Ⅲ）若PC＝BC，求二面角P—AB—C的大小．
2?x?xsin??x??（??0）的最小正周期为π． 2???π??2π???P C A
B
(第17题) - 3 -
18．（本小题满分12分）
在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．
（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；
（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．
19．（本小题满分13分） 已知函数f(x)?cos?x?2?
?1π?g(x)?1?sin2x． ，?212?（Ⅰ）设x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；
（Ⅱ）求函数h(x)?f(x)?g(x)的单调递增区间．
20．（本小题满分13分）
2?设关于x的一元二次方程anx?an?1x?1?0 (n?N)有两根?和?，且满足
6??2???6??3.
（Ⅰ）试用an表示an?1； （Ⅱ）求证：数列?an??是等比数列； （Ⅲ）当a1???2?3?7时，求数列?an?的通项公式，并求数列{nan}的前n项和Tn. 6
21.（本小题满分13分）
已知f(x)?x(x?a)(x?b)，点A(s, f(s)), B(t, f(t))
（Ⅰ）若a?b?1,求函数f(x)的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f(x)的导函数f?(x)满足：当|x|≤1时，有|f?(x)|≤
的解析表达式；
（Ⅲ）若0<a<b, 函数f(x)在x?s和x?t处取得极值，
且a?b?证明：与不 - 5 - 3恒成立，求函数f(x)2
可能垂直.
2015年长沙名校联盟高一年级暑假第一次阶段性测试试卷
数学参考答案
1C 2B 3B 4C 5A 6C 7C 8A 9A 10D
11．（0，1） 12． 1：313．5 14．?oo 15．15或75 4
16．
?(x)?11π?1?2?x?cos2?x??sin?2?x???． 2226?2?
2π?π，解得??1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得2?因为函数f(x)的最小正周期为π，且??0，所以
2πππ7ππ?1?，所以?≤2x?≤，所以f(x)?sin?2x???．因为0≤x≤36666?2?
1π?π?13?3??? ?≤sin?2x??≤1，因此0≤sin?2x???≤，即f(x)的取值范围为?0?．226622??????
17． (1)证明：因为D，E分别是AB，PB的中点，
所以DE∥PA．
因为PA?平面PAC，且DE?平面PAC，
所以DE∥平面PAC．
(2)因为PC⊥平面ABC，且AB?平面ABC，
所以AB⊥PC．又因为AB⊥BC，且PC∩BC＝C．
所以AB⊥平面PBC．
又因为PB?平面PBC，
所以AB⊥PB．
(3)由(2)知，PB⊥AB，BC⊥AB，
所以，∠PBC为二面角P—AB—C的平面角． - 6 - P C A B (第17题)
因为PC＝BC，∠PCB＝90°，
所以∠PBC＝45°，
所以二面角P—AB—C的大小为45°．
18． 解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x，y.
用(x，y)表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4).
(1)设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，
则A＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}．
事件A由4个基本事件组成，故所求概率P(A)＝416＝1
4．
(2)设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B， 则B＝{(1，3)，(3，1)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)} 事件B由7个基本事件组成，故所求概率P(A)＝7
16.
19．解：（I）由题设知f(x)?1
2[1?cos(2x?π
6)]．
因为x?xπ
0是函数y?f(x)图象的一条对称轴，所以2x0?6?kπ， 即2x π
0?kπ?6（k?Z）． 所以g(x11π
0)?1?2sin2x0?1?2sin(kπ?6)．
当k为偶数时，g(x1
0)?1?2sin??π?13
??6???1?4?4，
当k为奇数时，g(x1π
0)?1?2sin6?1?1
4?5
4．
（II）h(x)?f(x)?g(x)?1?
2??1?cos???2x?π??
6?????1?1
2sin2x
?1??π??31?
2??cos??2x?13
6???sin2x???2?2?x?2sin2x???
?2
?1
2sin???2x?π?
3???3
2． 当2kπ?πππ
2≤2x?3≤2kπ?2，即kπ?5ππ
12≤x≤kπ?12（k?Z）时，
函数h(x)?1?π?3sin?2x???是增函数， 2?3?2
?5ππ?故函数h(x)的单调递增区间是??kπ?12，kπ?12??（k?Z）．
20．
解：（1）根据韦达定理，得????an?1
a， ????1,
nan
由6??2???6??3
得 6?an?1
a?2?3，故a11
n?1?
nan2an?3
（2）证明：a21112
n?1?3?2an?3?2(an?3)，若a222
n?3?0，则an?1?3?0，从而an?1?an?3， 这时一元二次方程a2
nx?an?1x?1?0无实数根，故an?1?2
3?0，
a2
n?1?
所以
a2?1
2，数列??an?2??是公比为1的等比数列． n??3?2
3
（3）设b21
n?an?3，则数列?bn?是公比q?2的等比数列， 又b2721
1?a1?3?6?3?2， n?1n
所以b?1
n?b?1?1?
1qn
2??2?????1?
?2??，所以a2?1?n2?n
3???2??，a?1?
n?n3???2??．
na2n
n?3n?2n
则由错位相减法可得Tn2?nn?2
n?3?2?2n．
21．解：(I) f32
(x)=x-2x+x, f?(x)=3x2-4x+1,
因为f(x)单调递增，
所以f?(x)≥0，
即 3x2-4x+1≥0,
解得，x≥1, 或x≤1
3,
故f(x)的增区间是(-∞，1
3)和
(II) f?(x)=3x2-2(a+b)x+ab.
当x∈时，恒有|f?(x)|≤3
2
故有?3
2≤f?(1)≤3
2， ?3
2≤f?(-1)≤3
2， ?3
2≤f?(0)≤3
2
???3≤ 3?2(a?b)?ab3①
?
即?2 ≤
??32,
3?2(a?b)?ab ≤ 3,②
32≤
?2
????2≤ ab≤ 3
2.③
①+②，得
?9
2≤ab≤?3
2，
又由③，得 ?3
2，
将上式代回①和②，得
a+b=0,
故f(x)=x3?3
2x
假设OA⊥OB,
即OA?OB=(s,f(s))?(t,f(t)) = st+f(s)f(t)=0, (s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1,
=-1,
由s，t为f?(x)=0的两根可得， 23(a+b), st=1
3, (0<a<b),
从而有ab(a-b)2=9
这样(a+b)2=(a-b)2+4ab 9
ab+4ab≥236=12，
- 9 - ab=(III) s+t==
即 a+b≥2,
这样与a+b<23矛盾 故与不可能垂直. - 10 -
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