最大公约数和最小公倍数
1、如果一个自然数a能被自然数b整除，便称a是b的倍数，b是a的约数，几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个数，称为这几个数的最大公约数。一般用(a,b)表示a，b的最大公约数。如(6,9)=3，(6,8,12)=2。
2、几个数公有的倍数，称为这几个数的公倍数。公倍数中除零以外最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。一般用[a,b]表示a、b的最小公倍数。如
[4,6]=12，[6,8,12]=24。
3、若(a,b)=1，称a、b互质。
4、最大公约数的性质：
(1)两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。即：如果(a,b)=d，c|d，那么c|a，c|b。
(2)两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定互质。即：如果(a,b)=d，那么(a÷d,b÷d)=1。
5、最小公倍数的性质：
(1)两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，即：如果(a,b)=d，[a,b]=m，则dm=ab，且d|m。
(2)如果一个数C能同时被两个（或几个）自然数a，b整除，那么C一定能被这两个（或几个）数的最小公倍数整除。或者说，一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。
6、最小公倍数与最大公约数的关系：
ab=(a,b)×[a,b]或[a,b]=ab/(a,b)
7、求最大公约数和最小公倍数通常可采用：列举法、分解质因数法、短除法。
经典例题：
1.选择题（把正确答案的字母填在括号里）
（1）两个数的（ ）个数是无限的。
A.公约数 B.公倍数 C.最大公约数 D.最小公倍数
（2）下列四组数中，两个数只有公约数1的数是（ ）。
A.13和91B.21和51
C.34和51D.15和28
（3）17是136和476的（ ）。
A.公约数 B.公倍数 C.最大公约数 D.最小公倍数
（4）有两个合数是互质数，它们的最小公倍数是210，这样的数有（ ）对。
A.1B.2C.3D.4
（5）自然数a、b，如果数a除以数b的商是2，那么两数的最大公约数是（ ）。
A. a B. b C.1D. 2
（6）a、b和c是三个自然数，在a=b×c中，不一定成立的是（ ）。
A.a一定是b的倍数 B.a一定能被b整除
C.a一定是b和c的最小公倍数 D.b一定是a的约数
2.填空题
（1）两个数的最大公约数是1，最小公倍数是221，这两个数是（ ）或（ ）。
（2）有一个数，用它去除18，36，42，正好都能整除，这个数最大是（ ）。
（3）（ ）与60的最大公约数是60，最小公倍数是120。
（4）如果A=2×2×3×3×5，B=2×3×3×7，C=2×3×11，那么A、B、C三个数的最大公约数是（ ）；A、B两个数的最小公倍数是（ ）；B、C两个数的最小公倍数是（ ）。
（5）三个数的和等于63，甲数比乙数少3，丙数是甲数的2倍，这三个数的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
（6）写出除以7所得商和余数（不为0）相同的所有数：（ ）。
（7）一个数被2，3，7除都余1，这个数最小是（ ）。
3.有三根绳子，第一根长24米，第二根长36米，第三根长48米，现在要把三根长绳截成长度相等的小段。每段最长是多少米？一共可以截多少段？
4.一张长方形的纸，长40厘米，宽28厘米，要把它截成边长是最大的正方形纸片，一共可以截多少块？
5.一个班学生人数不足50人，分别按6、8和12人分组，学生都正好分完。这个班共有多少人？
6.一筐苹果5个5个地数，8个8个地数，10个10个地数，都正好数完，没有余下的。这筐苹果最少是多少个？
练习：
1.甲数=2×3×7×A，乙数=2×5×7×A，当A=（ ）时，甲、乙两数的最大公约数是42。
A.2 B.3 C.5 D.7
2.如果a能被b整除，c又是b的约数，那么a、b、c三个数的最小公倍数是（ ）。
A.abc B.a＋b＋c C.a D.b
3.一个两位数加上3能被5整除，减去3能被6整除。所有满足上述条件的两位数是（ ）。
4.求一个最小的自然数，使它除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4。这个数是（ ）。
5.如果某数除492、2241、3195都余15，那么这个数最小是（ ），最大是（ ）。
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