浙江省名校协作体2016-2017学年高二第一学期联考数学试
题
一、选择题：共8题
1．函数??(??)=lg(1? 的定义域为
A.(2,3)
【答案】C B.(2,3] C.[2,3) D.[2,3]
【解析】本题主要考查函数的定义域.依题意，要使函数有意义，则 1? >0，???2≥0解得2≤??<3，故选C.
(2??+)的图象，只需将函数??=sin2??的图象 2．为了得到函数??=cos?3πA.向右平移个单位 6
C.向左平移个单位 6
【答案】D 5π5πB.向右平移 12D.向左平移 125π5π(2??+??=sin[(2??+)+【解析】本题主要考查诱导公式及三角函数图像.由??=cos?33
πππ]=sin(2??+25π)=sin2(??+12)，则只需将函数??=sin2??的图象向左平移1265π5π故选D.
3．若??>??>1，?0<??<1，则
A.????<????
C.??log????<??log????
【答案】C B.??????<?????? D.log????<log????
【解析】本题主要考查对数及对数函数.由??>??>1，0<??<1，则函数??(??)=????在(0,+∞)上为增函数,故????>????，故A错误；函数??(??)=?????1在(0,+∞)上为减函数,故?????1<?????1,故??????<??????,即??????>??????；故B错误；0<?log????<?log????,故???log????<???log????,即??log????>??log????,即??log????<??log????，故C正确；log????<0,且log????<0,log????<1,即log????log????=log????log????<1,即log????>log????.故D错误；故选C.
4．若正数??,??满足4??+???1=0，则????的最小值为 ??+??A.12
【答案】C B.10 C.9 D.8
【解析】本题主要考查基本不等式.依题意，4??+??=1，则????=(4??+??)(??+??)=5+??????+??11+4????≥5+2 ?????4????=9，当且仅当??=??4??????=2??时取等号，故选C.
5．方程2??+3??+5??=7??共有几个不同的实根
A.0 B.1 C.2 D.无数多个
【答案】B
【解析】本题主要考查函数与方程.依题意，由方程2??+3??+5??=7??得(7)??+(7)??+
(???1=0，设??(??)=()??+(??+(???1，由??=()??,??=()??,??=()??均递减，7777777523523523则??(??)=(7)??+(7??+(7???1递减，当??→?∞时，??(??)<0，当??=0时，??(??)>0，故函数有唯一零点，即方程2??+3??+5??=7??有唯一实根，故选B.
6．设等差数列{????}的前??项和为????，若??1>0，3??8=5??13，则????中最大的是 235A.??10
【答案】C B.??11 C.??20 D.??21
3??8=5??13，【解析】本题主要考查等差数列的通项公式及数列求和.依题意，由??1>0，
得3??1+21??=5(??1+12??)即2??1=?39??>0，得??<0，故
????=????1+??(???1)??2=?392????+????22?????????222?20????，则根据二次函数得对称轴为??=20，
故??=20，????最大.故选C.
7．已知函数??(??)=sin(????+??)(??>0，|??|≤),??=?为??(??)的零点，??=为424πππ??=??(??)图像的对称轴，且??(??)在(4，3)单调，则??的最大值为
A.12
【答案】B B.11 C.10 D.9 ππ
??=???(??)的零点，??=为??=??(??)图【解析】本题主要考查三角函数性质.依题意，44
像的对称轴，则
π2??+14ππ???=,即2πππ2??+14π?2π????=(??∈??)即??=2??+1,(??∈??)，即??为正奇数，22π??π若??(??)在(4，3)单调则3?4=12?2，即??=
时,?11π4ππ?6，得???12，当??=11ππππ+??=??π，??∈??，由|??|≤2??=?4??(??)在(4，3)单调，满足题意故??的最大值为11，故选B.
8．??(??)、??(??)是定义域为??的三个函数，??(??)+??(??)、设??(??)、对于命题：①若??(??)+??(??)、
??(??)+??(??)均为增函数，则??(??)、??(??)、??(??)中至少有一个增函数；②若??均是??(??)+??(??)、??(??)+??(??)、??(??)+??(??)的一个周期，则??也均是??(??)、??(??)、??(??)的一
??(??)+??(??)、??(??)+??(??)均是奇函数，??(??)、??(??)均是个周期，③若??(??)+??(??)、则??(??)、
奇函数，下列上述命题成立的个数为
A.0
【答案】C
【解析】本题主要考查函数的性质.①不成立，反例
2??+3,???02??,???1???,???0.??(??)= ???+3,0<??<1,h(x)=.对于②依题意，??(??)= ???+3,??>12??,??>02??,???1
??(??)+??(??)=??(??+??)+??(??+??),??(??)+??(??)=??(??+??)+??(??+??),??(??)+
??(??)=??(??+??)+??(??+??)，前两式作差得??(??)???(??)=??(??+??)???(??+??),结合第三式可得??(??)=??(??+??),??(??)=??(??+??),同理可得??(??)=??(??+??)，故②正确.对于③，若??(??)+??(??)、??(??)+??(??)、??(??)+??(??)均是奇函数，则??(??)、??(??)、??(??)至多有一个偶函数，若??(??)为偶函数，??(??)、??(??)为奇函数，则(??)+??(??)、??(??)+??(??)不可能为奇函数，故??(??)、??(??)、??(??)均是奇函数，③正确.故选C.
二、填空题：共7题
??={??∈??|log1??<2}，9．??={??∈??|2??<4}，集合??={??∈??|??2<9}，则??∩??= ；2B.1 C.2 D.3
??∪??=?????=【答案】(?3,2)；(?3,+∞)；[2,+∞)
【解析】本题主要考查集合的基本运算及对数与对数函数.集合??= ??∈?? ??2<9 =
??={??∈??|log1??<2}={??|??>4，{??|?3<??<3}，??={??∈??|2??<4}={??|??<2}，21则??∩??={??|?3<??<2}，??∪??={??|??>?3}；?????={??|??≥2}.故填(?3,2)；(?3,+∞)；[2,+∞)
()??,??≤010．设函数??(??)= 2，则??[??(?2)]= ??(??)<0的??的取值范围是 .
log2??,??>0【答案】2；(0,1)
【解析】本题主要考查分段函数.依题意，??(?2)=(2?2=4，??[??(?2)]=??( =
2
1
1
log2
2
(2??>0，当??>0时，?? ?? =log2??<0得0<??<1，故填2；=2，当??≤0时，
1
(0,1).
11．若sin(??+)=则cos(???)cos(2???)36
6
5
π
3
π
π
【答案】5;±25
【解析】本题主要考查诱导公式及二倍角公式.依题意,cos 3??? =sin[2?(??+6=sin(??+6)=5,由sin ??+ =,得cos ??+ =±sin(2??+3)=2sin(??+6)cos(??+6565
π
π
3
π
3
π
4
π
π
π
π
π
324
)=±,cos 2???=cos 2??+? =cos 2??? =±.故填;±625255256326
24ππππ24324
12．在数列{????}中，??1=2，??3=8.若{????}为等差数列，则其前??项和为{????}为
等比数列，则其公比为 . 【答案】
3??2+??2
;±2
??3???13?1
2+??
【解析】本题主要考查数列求通项及数列求和.若{????}为等差数列，则公差??=则其前??项和为
13．在????????中，tan+tan=1，则tan . 222
??
??
??
3??2+??2
??
=3，±2.
33??2
；若{????}为等比数列，则公比??=??=4,??=±2，故填
1
2
【答案】[4,1)
【解析】本题主要考查基本不等式.tan2=tan(2?2?2)=
??
??
??
??
??
??
??
π
??
??
1tan(22??
3
=
1?tantan
??tan2+tan2
??=1?
tan2tan2tan2>0,??????2>0，则tan2<1，tan2=1?tan2tan2≥1?(
tan2
??????
=4，综上，4≤tan2<1，故填[4,1).
2
3
3??3
14．已知函数??(??)=??2+(???1)??+4，??(??)=??2+(??+1)??+??+4，若不存在实数??0，
??(??0)<0使得 ，则实数??的取值范围为 . ??(??0)<0
【答案】[1? 1+
【解析】本题主要考查一元二次函数的性质.依题意，函数??(??)=??2+(???1)??+4，
??(??0)<0??(??)=??2+(??+1)??+??+4，若不存在实数??0，使得 ，则??(??0)<0
??1=(???1)2?16≤0 解得1? <??<1+ [1? 1+ . ??2=(??+1)2?4 ??+4 ≤0
15．|??????????|已知??,??,??是三个单位向量，且?????=?????>0，则对于任意的正实数??，??1的最小值为2，则?????= .
【答案】8或??8【解析】本题主要考查平面向量的数量积及一元二次函数的最值.依题意，由?????=?????>0，设??,??夹角为??，则??,??夹角为2??，即?????=cos??,?????=cos2??，|??????????|2=??2+??2??2+??
111??2??171=1+??2+?2(??+)?????+?2?????????????+2???????????12112?????=(??+??)2?2(??+???????+2??????1，令??=??+??,??≥2，得|????????
1????|2=??2?2cos?????+2cos2???1,??≥2，看作关于??的一元二次函数，对称轴为
11??=cos??，由0<cos??≤1，得当??=2时，有最小值4即4?4cos??+2cos2???1=4即
16cos2???16cos??+3=0，得cos??=4cos??=4，故cos2??=2cos2???1=?88，即?????=8或??88或??8
三、解答题：共5题
16．在△??????中，??、??、??分别是角??、??、??的对边，且cos??
cos??17171371=?2??+??. ??
(1)求角??的大小；
(2)若??= ，??+??=4，求△??????的面积.
【答案】(1)cos??=?2??+??=?2sin??+sin???2sin??cos??+cos??sin??+sin??cos??=0
1?2sin??cos??+sin??=0?cos??=????=
(2)cos??=?=21??2+??2?132????cos????sin??2π ∴??2+??2+????=13?(??+??)2?????=13?????=3
13 ??????????=????sin??=【解析】本题主要考查正弦定理余弦定理及两角和与差的三角公式.(1)利用正弦定理化简cos??=?2??+??得2sin??cos??+cos??sin??+sin??cos??=0，利用两角和与差的正弦公式得2sin??cos??+sin??=0，求得cos??的值，从而求得角??的大小.(2)利用余弦定理得??2+??2+????=13，求得????的值，代入三角形面积公式求得△??????的面积.
17．如图:??是单位圆与??轴正半轴的交点，点??在单位圆上且??(?,)，??是劣弧????上一5534cos????
=???? +???? ，∠??????=??,∠??????=??，点(不包括端点??、??)，四边形????????的面积为??. ????
(1)当??=6时，求cos??；
+??的取值范围. (2)求 ????? ????
【答案】(1)cos(??+6)=?5,sin(??+6)=5πππ1π4?3 cos??=cos[(??+?]=cos(??++sin(??+)= =(1,0)=(cos??+1,sin??)??=sin?? (2)????????
?+??=sin??+cos??+1 ????????
π ?+??= ??+)+1
????????π3π4π
4ππ5π4π ??∈(0,π?arcsin)??+∈(,?arcsin)sin(??+)∈(,1] π6 ?????+??= ??+)+1∈(， +1] ????【解析】本题主要考查三角函数定义、两角和与差的三角公式、平面向量数量积.(1)利用三角函数定义求得cos(??+6)=?5,sin(??+6=5，利用两角和与差的的余弦公式求
=(1,0)，????=(cos??+1,sin??)，??=sin??，从而得???? ?????+??=得cos??的值.(2)????
+??的取值范围. sin??+cos??+1化简后根据角的范围求得最值，从而求得 ????? ????
18．已知数列{????}的前??项和为????，且????是????与2的等差中项，数列{????}中，??1=1，π3π4????+1=????+2.
(1)求数列{????}，{????}的通项公式????和????；
(2)设????=????·????，求数列{????}的前??项和????.
【答案】(1)2????=????+2，????=2?????2，????=2(??????????1)，????=2?????1， ??1=2，故????=2??
????=2???1
(2)????=(2???1)?2??，
????=2+3×22+5×23+?+(2???1)?2??
2????=22+3×23+5×24+?+(2???1)?2??+1
做差，得????=(2???1)?2??+1?2?2×(22+23+?+2??)
=(2???3)2??+1+6
????=??????????1，【解析】本题主要考查数列的通项公式及数列求和.(1)利用当??≥2时，
求得????,?????1的关系，从而求得????，利用等差数列的定义求得????.(2)利用错位相减法求得数列{????}的前??项和????.
19．已知奇函数??(??)=log????+????
1?????
(1)求??的值，并求出??(??)的定义域
(2)若存在区间[??,??]，使得当??∈[??,??]时，??(??)的取值范围为[log??6??,log??6??]，求??的取值范围
【答案】(1)由已知??(??)+??(???)=0，得??=1
故??(??)=log??1?????，定义域为(???,??)
(2)当0<??<1时，
??(??)=log??1?????=log??(1??????1)在(???,??)上单调递减 1+????2111+????11
??(??)=log??1?????=log??6??1+????211??==(?1)(?,上单调递增 故有 ，而在1+????1?????1???????????(??)=log??=log??6??1?????
1+????1+????
所以1?????<1?????又6??<
故??>1 1+????1+????1?????6??与 1+????1?????=6??=6?? 矛盾
??(??)=log??=log??6??1????? 所以 1+??????(??)=log??=log??6??1?????1+????
故方程1?????=6??在(???,??上有两个不等实根，
即6????2+(???6)??+1=0在(???,??上有两个不等实根
设??(??)=6????2+(???6)??+1，则
??=(???6)2?24??>0 1???61???<?12??<?? 2???36??+36>0???<18?12 ， ? 112??(???=??>0??<18 1??()=2>0 ??
故1<??<18?12 .
【解析】本题主要考查函数的定义域及最值及一元二次方程根的分布.(1)由已知??(??)+??(???)=0，得??=1，代入利用函数对数的真数为正，求得函数的定义域.(2)对参数??讨论，当0<??<1时，??(??)log??(1??????1)在(???,??上单调递减，问题转化为1+????
1?????211111+????11<1+????
1?????，证得矛盾，故0<??<1不合题意，当??>1时，利用单调性将问题转化为
11方程1?????=6??在(???,??)上有两个不等实根，设??(??)=6????2+(???6)??+1，利用根的
分布求得??的取值范围.
20．已知数列{????}，{????}满足??1=1，??1=2，????+1= ????????+1=????+????21+????，
(1)求证：当??≥2时，?????1≤????≤????≤?????1
(2)设????为数列{|?????????|}的前??项和，求证：????<1092()【答案】证明：(1)当??≥2时，?????????=?????1+?????1? ???1???1= ???1 ???1≥0 22
故有????≥????(??∈???)
所以????= ???1???1≥?????1，????=
???????????1+?????123≤?????1 (2)由(1)知 ??≤ ???1≤?≤ 1= <??????2?????11
1( ??? ??)≤( ??+ ??)?2 ??≤3 ??故|?????????|=|?????1+?????1? ???1???1=2( ???1? ???1)22
≤
1( ???1? ???1)( ???1+ ???1)|?????1??????1| =1109故????≤1+10+?+10??<
【解析】本题主要考查数列比较大小及数列求和.(1)当??≥2时，?????????=( ???1? ???122≥0，故有????≥????，????= ???1???1≥?????1，????=
??????3?????1+?????12≤?????1，从而证得结论.(2)由(1)知 ????≤ ?????1≤?≤ ??1= <2?????11
|?????????|≤
( ???1? ???1)( ???1 ???1)10=|?????1??????1|10从而证得????≤1+10+?+10??<11109.
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