重庆市第十一中学校高2017级12月月考数学(文)试题
命题人：刘爱莲审题人：刘翠碧
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={3，log2（a2+3a）}，B={a，b}，若A∩B={2}，则实数a的值等于
（）
A．1或 -4B．1C．4
2.曲线y?D．-1或4 123x?2在点(1,?)处切线的倾斜角是（ ）22
?3?? A．1B.? C. D. 444
3. 数列{an}的首项a1=2，且（n+1）an=nan+1，则a3的值为（）
A．5B．6C．7D．8
4．若，b=，，则( )
A．b＞c＞a B．b＞a＞cC．a＞b＞c D．c＞a＞b
25．过圆C：x2+（y﹣1）=4的圆心，且与直线l：3x+2y+1=0垂直的直线方程是（ ）
A．2x﹣3y+3=0 B．2x﹣3y﹣3=0C．2x+3y+3=0D．2x+3y﹣3=0
6．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们
中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的
值=（ ）
A．1B．C．D． 的比7 . 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，（ ） A．若，则
B．若，则
C．若，则D．若，则
8．函数的图象向左平移（＞0）个单位后关于原点对称，则的最小值为（）
A．B． C．D．
9．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4﹣2a72+3a8=0，数列{bn}是等比数列，且
b7=a7，则b2b8b11等于（）
A．1B．2 C．4 D．8
10.在正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面AA1BB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距
离相等，则动点P所在曲线
的形状为( )
11．执行如图所示的程序框图，则输出的“S+n”的值为（ ） A．﹣19 12． 点
P为双曲
B．﹣20 C．﹣21 D．﹣18
F(c,0)为双曲线
x2y2
点??1(a?0,b?0)的右焦点，
a2b2
线左支上一点，线段PF与圆
b2
x?y?相切于点Q，且
4
2
2
????????1
PQ=P，则双曲线的离心率等F
2
于（ ）
A
D．2
二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卷的相应位置。
13．复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a= 14．函数f（x）=x3+sinx+2016（x∈R），若f（a）=2015，则f（﹣a）= _____
15．设变量x，y满足约束条件，则的最小值为16．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求
旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和
高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，B的角平分线
交过点A且与BC平行的直线于D，AC与BD交于点O．
（Ⅰ）求△OAB与△OBC的面积之比；
（Ⅱ）求sin∠BAD的值．
18．学校为了了解高三文科学生的数学、语文情况，利用随机表法从中抽取100名学生进行统计分析，抽出的100名学生的数学、语文成绩如表：
（Ⅰ）将学生编号为000，001，002，…499，500，若从第五行第五列的数开始右
读，请你依次写出最先抽出的5个人的编号（下面是摘自随机数表的第4～第7行）；
12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 （Ⅱ）若数学成绩优秀率为35%，求m，n的值；
(Ⅲ)在语文成绩为良的学生中，已知m≥13，n≥11，求数学成绩“优”比良的人数少的概率．
19．如图已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，
AB=AC=PA=2，∠BAC=90°，D，E分别为AB，PC
的中点，BF=2FC．
（I）求证：PD∥平面AEF；
（Ⅱ）求几何体P﹣AEF的体积
20．已知F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，⊙M过坐标原点和F点，且圆心M到抛物线C的准线距离为
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知抛物线C上的点N（s，4），过N作抛物线C的两条互相垂直的弦NA和NB，判断直线AB是否过定点？并说明理由．
21．已知函数（a∈R）．
（Ⅰ）当时，求的单调区间
（Ⅱ）当x1，x2∈（0，+∞）时，不等式恒成立，求a的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数，m是常数），以
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，原点O为极点，曲线C极坐标方程为ρ=asin（θ+），
点M的极坐标为（4，），且点M在曲线C上．
（I）求a的值及曲线C直角坐标方程；
（II ）若点M关于直线l的对称点N在曲线C上，求|MN|的长．
选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2| （I）当a=﹣3时，求不等式的解集；
（II）若的解集包含1，2]，求a的取值范围．
重庆十一中高2017级高三12月月考数学(文)答案
命题人：刘爱莲 审题人：刘翠碧
一、选择题：
1、A 2、D 3、B 4、C 5、A 6、D 7、D 8、B 9、D 10、C 11、A12、C
二、填空题：
13
．若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a= 14．函数f（x）=x3+sinx+2016（x∈R），若f（a）=2015，则f（﹣a）=_2017______．
15．设变量x，y
满足约束条件，则z=
（）2x﹣y的最小值为
______． 16．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式
求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为
周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．
，将此椭圆绕y轴旋转一
解：椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，
根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱﹣V圆锥）=2（π×22×5
﹣
故答案为：
三、解答题 ． ）
= ．
17．AB=AC=3，BC=2，B的角平分线交过点A且与BC平行的直线于D，如图，在△ABC中，
AC与BD交于点O．
（1）求△OAB与△OBC的面积之比；
（2）求sin∠BAD的值．
【考点】余弦定理的应用．
【分析】（1）运用三角形的内角平分线定理和三角形的面积公式，计算即可得到所求值； （2）由等腰三角形的定义和平行线的性质，结合诱导公式可得sin∠BAD=sinC，运用余弦定理和同角的平方关系，计算即可得到所求值．
【解答】解：（1）BD为∠ABC的平分线，
由角平分线定理知：， 2
即有； 5 （2）由AD∥BC且AB=AC，
可得∠ABC=∠ACB=∠CAD，
即有sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=sin（∠BAC+∠ABC）=sinC，
在△ABC中，AB=AC=3，BC=2， 7
可得， 9
即有
sinC=
故sin∠BAD
的值为=， ． 12
18．某校高三文科500名学生参加了1月份的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、语文情况，利用随机表法从中抽取100名学生进行统计分析，抽出的100名学生的数学、语文成绩如表：
（1）将学生编号为000，001，002，…499，500，若从第五行第五列的数开始右读，请你依次写出最先抽出的5个人的编号（下面是摘自随机数表的第4～第7行）；
12 56 85 99 26 96 96 68 27 31
05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 （2）若数学成绩优秀率为35%，求m，n的值；
（3）在语文成绩为良的学生中，已知m≥13，n≥11，求数学成绩“优”比良的人数少的概率．
【解答】解：（1）由随机数表法得到5个人的编号依次为：385，482，462，231，309．… 3 （2）由=0.35，得m=18， 5
因为8+9+8+18+n+9+9+11+11=100，得n=17． 7…
（3）由题意 m+n=35，且m≥13，n≥11，
所以满足条件的（m，n）有：
（13，22）、（14，21）、（15，20）、（16，19）、（17，18）、（18，17）、
（19，16）、（20，15）、（21，14）、（22，13）、（23，12）、（24，11）共12种， 10 且每组出现都是等可能的．…
记：“数学成绩“优”比“良”的人数少”为事件M，
则事件M包含的基本事件有（13，22）、（14，21）、（15，20）、（16，19）、（17，18）共5种，所以P（M）=．… 12
19．如图已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，AB=AC=PA=2，∠BAC=90°，D，E分别为AB，PC的中点，BF=2FC．
（I）求证：PD∥平面AEF；
（Ⅱ）求几何体P﹣AEF的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，
在线段BC上，取BG=GF，连接PG，DG，
在△ABF中，∵BG=GF，AD=DB，∴GD∥AF， 3
在△PCG中，∵CF=GF，PE=EC，∴EF∥PG，
又PG∩GG，∴平面PGD∥平面AEF，
则PD∥平面AEF； 6
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABC，AB=AC=PA=2，∠BAC=90°，
∴
又E为PC
的中点，∴=，9 ．
12
20．已知F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，⊙M过坐标原点和F点，且圆心M到抛物线C
的准线距离为
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知抛物线C上的点N（s，4），过N作抛物线C的两条互相垂直的弦NA和NB，判断直线AB是否过定点？并说明理由．
【解答】解：（I）抛物线的焦点为F
（，0），准线方程为x=
﹣．
∵⊙M过坐标原点和F点，∴M在直线
x=上．
∴M到抛物线的准线的距离
d=，解得p=2．
∴抛物线方程为y2=4x． 5
（II）把y=4代入抛物线方程得x=4．即N（4，4）．
设A
（，y1），B
（，y2）．
kNA
=
=，kNB
=
=，kAB
=
=． 7 ∵直线NA和直线NB
互相垂直，∴，即y1y2=﹣4（y1+y2）﹣32． ∴直线AB的方程为y﹣y1
=（x
﹣），即
y=
+
=﹣4，9 即AB方程为y+
4=（x﹣8）．
∴直线AB过定点（8，﹣4）． 12
20
．已知函数（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）为单调递减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当x1，x2∈（0，+∞
）时，不等式
的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）略4（Ⅱ）问题转化为h（x）=xf（x）在（0，+∞）递减，求出h（x）的导数，得到a
≤﹣
围即可．
【解答】（Ⅱ）当x1，x2∈（0，+∞
）时，不等式
即x1f（x1）﹣x2f（x2）]（x1﹣x2）＜0在（0，+∞）恒成立， 8
即h（x）=xf（x）在（0，+∞）递减，
而h（x）=ax2+2xlnx﹣a，h′（x）=2（ax+1+lnx）， 恒成立，，（x＞0），令m（x）=
﹣，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范恒成立，求a
由h′（x）≤0得：ax+1+lnx≤0，
即a
≤﹣
令m（x）=
﹣，（x＞0）， 10 ，（x＞0），m′（x）
=，
令m′（x）＞0，解得：x＞1，令m′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴m（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴m（x）min=m（1）=﹣1，
∴a≤﹣1． 12
选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知在直角坐标系xOy中，直线l
的参数方程是（t是参数，m是常数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为ρ=asin（θ
+M的极坐标为（4
，），且点M在曲线C上． ），点
（I）求a的值及曲线C直角坐标方程；
（II ）若点M关于直线l的对称点N在曲线C上，求|MN|的长．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（I）将M的极坐标代入曲线C的极坐标方程，可得a，由两角和的正弦公式，结合极坐标和直角坐标的关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C直角坐标方程；
（II ）求得曲线C表示的圆的圆心和半径，由点M关于直线l的对称点N在曲线C上，可得直线l经过圆心，求得m，进而得到直线l的普通方程，运用点到直线的距离公式，可得M到直线l的距离，进而得到所求MN的长．
【解答】解：（I）将点M的极坐标（4
，
可得4=asin
（
由ρ=4sin（θ
+
即有ρ2=2ρsinθ+
2
即曲线C：（x
﹣+）代入曲线C极坐标方程ρ=asin（θ
+）， ），解得a=4， 2 cosθ）， x﹣2y=0， ）即ρ=4
（sinθ
+ρcosθ，即为x2+y2﹣
2）2+（y﹣1）2=4； 5
）2+（y﹣1）2=4为圆心C
（，1），半径为2， （II ）曲线C：（x
﹣
则点M关于直线l的对称点N在曲线C上，直线l过圆C的圆心，
由，可得m=2，t=
﹣，
这时直线l
：，消去t，可得x
+y﹣
2=0，8
点M的极坐标为（4
，），可得M（
2，2），
=， 即有M到直线l的距离为
d=
可得|MN|的长为
2
选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|
（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集； ． 10
（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含1，2]，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．
【分析】（1
）不等式等价于
求出每个不等式组的解集，
再取并集即得所求．
（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即
①，或
，或
，或，②，
或③．
解①可得x≤1，解②可得x∈?，解③可得x≥4．
把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}． 5
（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在1，2]上恒成立，
等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在1，2]上恒成立．
故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0， 故a的取值范围为﹣3，0]． 10
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