集合与函数系列专题一 集合与简易逻辑
一、基础知识
定义1一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x在集合A中，称x属于A，记为x?A，否则称x不属于A，记作x?A。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用?来表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，{xx?0}分别表示有理数集和正实数集。
定义2子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为A?B，例如N?Z。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。
定义3交集，A?B?{xx?A且x?B}.
定义4并集，A?B?{xx?A或x?B}.
定义5补集，若A?I,则C1A?{xx?I,且x?A}称为A在I中的补集。
定义6差集，A\B?{xx?A,且x?B}。
定义7集合{xa?x?b,x?R,a?b}记作开区间(a,b)，集合
{xa?x?b,x?R,a?b}记作闭区间[a,b]，R记作(??,??).
定理1集合的性质：对任意集合A，B，C，有：
（1）A?(B?C)?(A?B)?(A?C); （2）A?(B?C)?(A?B)?(A?C)；
（3）C1A?C1B?C1(A?B); （4）C1A?C1B?C1(A?B).
【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
（1）若x?A?(B?C)，则x?A，且x?B或x?C，所以x?(A?B)或x?(A?C)，即x?(A?B)?(A?C)；反之，x?(A?B)?(A?C)，则x?(A?B)或x?(A?C)，即x?A且x?B或x?C，即x?A且x?(B?C)，即x?A?(B?C).
（3）若x?C1A?C1B，则x?C1A或x?C1B，所以x?A或x?B，所以x?(A?B)，又x?I，所以x?C1(A?B)，即C1A?C1B?C1(A?B)，反之也有
C1(A?B)?C1A?C1B.
定理2加法原理：做一件事有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法，…，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N?m1?m2???mn种不同的方法。
定理3乘法原理：做一件事分n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，…，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N?m1?m2???mn种不同的方法。
二、方法与例题
1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。
例1设M?{aa?x?y,x,y?Z}，求证：
（1）2k?1?M,(k?Z)；
（2）4k?2?M,(k?Z)；
（3）若p?M,q?M，则pq?M.
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