上海高考数学模拟卷
一、填空题（每空4分，共56分）
1、方程
2、函数的解为_____________.的定义域是．
被圆
，公差，截得的弦长为_______________.为其前项和，若
成等比数列，则
项的系数为_______．3、在极坐标系中，直线4、已知5、
6、已知圆C：
是等差数列，
的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中与直线相切，且圆D与圆C关于直线对称，则圆D的方程是___________。
7、下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在，
,的人数依次为输出的、、……、．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，图乙
．（用数字作答）
8、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为m的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=m,PA=PC=m
,
若在这个四棱锥内放一个球,则此球的最大半径是.
9、设k是一个正整数，(1＋)的展开式中x的系数为
.k3，则函数y＝x与y＝2kx+m的图象只有一个交点时，k+m的值为
10、在区间[-3,3]上随机取一个数x，使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率为
11、给出下列命题：（1）在△ABC中，若A＜B，则sinA＜sinB；（2）将函数
个单位，得到函数y=sin2x的图象；（3）在△ABC中,若AB=2,AC=3,∠ABC=
（4）在同一坐标系中，函数的图象向右平移,则△ABC必为锐角三角形;。的图象和函数
，
,
，则的图象有三个公共点；其中正确命题的序号是12、设13
、对任意实数
数14、已知函数，函数
的值为______。，如果函数，那么函的最大值等于．给出下列四个命题：①存在实数，使得，则关于的方程方程恰有1
个实根；②存在实数，使得方程恰有2
个不相等的实根；③存在实数，使得方程恰有3个不相等的实根；④存在实数，使得方程恰有4个不相等的实根。其中正确命题的序号是
二、选择题（每空5分，共20分）
15
、设
A．
C．
16、设集合
A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)
①幂函数一定是偶函数一定是奇函数B．D．，若当时，取得最大值，则（）一定是偶函数一定是奇函数，
D.[0,1]的图象与与直线y=x可能有三个交点；
③若x+x－1=3，则②若b=1；，则函数，为虚数单位，R，则为（）17、下列四个结论：y=ax+b－1()的图象不经过第一象限；
④函数定义域为R，则m
的取值范围为0，)；其中正确结论个数为()
A．①②④B．①②③C．①③D．②④
18、已知ABCD-A1B1C1D1为单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，白蚂蚁爬行的路线是AA1→A1D1→……，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→……，它们都遵循如下规则：
所爬行的第
与第段所在直线必须是异面直线（其中是自然数），设白，黑蚂蚁都走完2011段后各停
）止在正方体的某个顶点处，这时黑，白两蚂蚁的距离是（
A．1B．C．D．0
三、综合题（12+14+14+16+18，共74分）19、已知复数（Ⅰ）若
且
,
，求的值；（Ⅱ）设
＝
，求
且
．
的最小正周期和单调减区间．
20、某企业科研课题组计划投资研发一种新产品，根据分析和预测，能获得10万元～1000万元的投资收益．企业拟制定方案对课题组进行奖励，奖励方案为：奖金
（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加
模型模拟这一奖励
而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金也不超过投资收益的20
％，并用函数方案．（I）试写出模拟函数并说明你的理由．①
21、
所满足的条件；（II）试分析下列两个函数模型是否符合奖励方案的要求？
，
②
．
内的概率为
（i）当点C
在圆周上运动时，求（ii）记平面
与平面
：
的最大值；所成的角为
和⊙
：
，当
取最大值时，求
上一点
.
的值。
作两条直
22、如图，已知抛物线线与⊙
相切于
、
，过抛物线
到
两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点
抛物线准线的距离为(2)当
．(1)求抛物线的方程；
的斜率．
，
为其前，
为数列
的前n项和．（1
）求
、
和
的角平分线垂直轴时，求直线
23、已知数列
项和，且满足
是各项均不为的等差数列，公差为
，
．数列，不等式
满足
；（2）若对任意的
整数
，使得
恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在正的值；若不存在，请说明理由．
成等比数列？若存在，求出所有
参考答案
一、填空题
1、【答案】
【解析】因为。
2、【答案】【命题意图】本题函数的概念、不等式的解法．简单题．
3、
4、5、61
6、
7、6000；【解析】由已知，图甲中从左向右第一组的频数为
4000，
所以,总调查人数为10000，而图甲乙算法表示的为S=A2+A3+……+A6=6000．
8、【答案】
【解析】设内切圆的圆心为O，半径为R，连接OA、OB、OC、OD、OP，易知，即
，解得，所以此球的最大半径是。
9、0
10、11、（1）（3）（4）12、48
13、
14、16.
知，①②正确.①②
由的图象知
,则,根据的图象(如图)可
二、选择题
15、A
16、【答案】D【解析】由，所以
，由
所以17、A，因此选D。，
所以，为虚数单位，
R=，=18、A
三、综合题
19、解：（1）∵
∴
∴……………2分
若则得……………4分
∵
∴
或∴…………………………6
分
（2）∵
＝……………9分∴函数的最小正周期为…………………………10分由
得∴的单调减区间．…………………………12分
20、解：（I）由题意，模拟函数满足的条件是：（1）
在上是增函数；（2）；（3）．
（II）对于①，
当时，，即，∵
，∴不符合条件（2）：
，即函数模型不符合奖励方案的要求；对于②
，显然它在上是增函数，满足条件（1），又当时，，即，从而满足条件（2），下面证明：
，即
对于恒成立．
令，则
．
∵
，∴，∴，而，∴
，∴对于恒成立．
∴在上是减函数．
∴当时，，即
，即
对于恒成立．从而满足条件（3）．故函数模型符合奖励方案的要求．
综上，两个函数中只有第②个函数符合奖励方案要求．
21、【解析】（Ⅰ）因为平面ABC，平面
ABC，所以，
因为AB是圆O
直径，所以
，又
，所以
平面，
而平面，所以平面平面。K^S*5U.C#O%（Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为，则AB=
，故三棱柱的体积为
=，又因为，
所以=，当且仅当时等号成立，从而，而圆柱的体积，故
=当且仅当，即
时等号成立，所以。K^S*5U.C#O%（ii）由（i）可知，取最大值时，，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系
（0，r，2r），
（如图），则
C（r，0，0），B（0，r，0），
因为平面
，所以是平面的一个法向量，
设平面的法向量
，由，故，
取
得平面的一个法向量为，因为，
所以。22、解：（I）依题意，以的中点
为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．点的纵坐标满足方程，
解得
所以
，其定义域为（II）记，
则．
令
，得．因为当时，；当时，，
所以在
上是单调递增函数，在上是单调递减函数，所以是的最大值．
因此，当
时，
也取得最大值，最大值为．
23、解：（1）（法一）在中，令，，
得
即……………………………………2分解得，，………………………………………3
分．，
．……………………5分（法二）
是等差数列，
．…………………………2分
由，得，
又，，则．………………3分(求法同法一)（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．…………………………………6
分
，等号在时取得．
此时需满足．…………………………7分②当
为奇数时，要使不等式恒成立，
即需不等式恒成立．…………………………………8
分是随
的增大而增大，时
取得最小值．
此时需满足．
分
综合①、②可得的取值范围是．…………………………………………10分
（3），若成等比数列，则
，即．…11分
（法一）由，可得，
即，…………………………………12分
．……………………………………13分又，且，所以，此时．
因此，当且仅当，时，
数列中的成等比数列．…………14分………9
（法二）因为
，故，即，
，（以下同上）．…………………………………………13分
【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，以及数列的求和、利用均值不等式求最值等知识；考查了学生的函数思想方法，及其推理论证和探究的能力．
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