2016-2017学年度高中人教A版必修一第三章《函数的应用》
单元模拟测验
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
x1．已知x0是函数f(x)?2?1的一个零点．若x1?(1, x0),x2?(x0, ??)，则1－x
（ ）
A．f(x1)?0, f(x2)?0
B．f(x1)?0, f(x2)?0
C．f(x1)?0, f(x2)?0
D．f(x1)?0, f(x2)?0
2．定义域是一切实数的函数y?f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数?(??R)使得f(x??)??f(x)?0对任意实数x都成立，则称f(x)是一个“?—半随函数”.有下列关于“?—半随函数”的结论：
①f(x)?0是常数函数中唯一一个“?—半随函数”； ②“1—半随函数”至少有一个零点； 2
2③f(x)?x是一个“?—半随函数”；
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个 D．0个
3．在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5．依上述情形，所列关系式成立的是（ ）
1111??5??5B．3x8x3x8x11?8x?5?8x?5 C． D．3x3x A．
4．下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（）
A
．f(x)?
x．f(x)?1 xC．f(x)?eD．f(x)?sinx
5．已知函数，若f（x0）=2，则x0=（）
A．2或﹣1B．2C．﹣1D．2或1
6．设f?x?是定义在R上的偶函数，对任意x?R，都有f?x?4??f?x?，且当
?1?
x???2,0?时，f?x?????6．若在区间??2,?6内关于x的方程
?3?
则实数a的取值范围是（ ） f?x??loag?x??2?（a0?1）恰有3个不同的实数根，A．?1,2?B．?2,??? C
． D
．
x
?
?
22
7．直线l:y?kx?1与曲线C:x?y?4x?3y?0有且仅有2个公共点，则实数k
??
的取值范围是
A．?0,? B．?0,? C．?,1,? D．?,1?
33333
??
4????
4???1?
4???1???
8．方程log3x?x?3的解所在的区间为（ ）
A．?0,1? B．?1,2? C．?2,3? D．?3,??? 9．已知函数f(x)?
ln(2x)
，关于x的不等式f2(x)?af(x)?0只有两个整数解，则x
实数a的取值范围是（ ）
A．?,ln2? B．??ln2,?ln6? C．??ln2,?ln6? D．?ln6,ln2?
333310．已知函数f(x)满足f(x)?f)，且当x??
?1
?????
1
????
1
???1???
1x
?1?
,1?时，f(x)?lnx，若当???
?1?
x??,??时，函数g(x)?f(x)?ax与x轴有交点，则实数a的取值范围是（ ）
???
A．??
1ln?e1?ln??
]D．(?,?] ,0?B．???ln?,0? C．(?,e?2????
二、填空题
11．若直线ｙ=kx＋1与曲线x=为 ．
y2?1有两个不同的交点，则k的取值范围
????x
12．若向量a?(e,cosx)，b?(1,2sinx)，则函数f(x)?a?b在区间??2?,2??上的
零点个数为．
13．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，
2
b]称为“关联区间”．若f(x)＝x－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．
14．已知函数f?x?????lg??x?,x?0
??x-6x?4,x?03，若关于x的函数y?f2?x??bf?x??1有8
个不同的零点，则实数b的取值范围是____________．
15．设f?x?和g?x?是定义在同一区间?a,b?上的两个函数，若函数y?f?x??g?x?在?a,b?上有2个不同的零点，则称f?x?和g?x?在?a,b?上是“关联函数”，区间?a,b?称为“关联区间”．若f?x???x??m?2?x?1和g?x??2x?3是1,5上的“关联函数”，2??
则实数m的取值范围为．
16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x?___ ____ 吨．
?2?x?1,x?017．已知函数f(x)??，若方程f(x)?x?a有且仅有两个不相等的实
?f(x?1),x?0
数根，则实数a的取值范围是__________.
?2x?1?x,x?0,18．函数f(x)??的零点个数为． ?1?lnx,x?0?
19．（2014?天津）已知函数f（x）=|x+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为 ．
x20．已知函数f?x??xe,方程f22?x??tf?x??1?0?t?R?有四个不同的实
数根，则t的取值范围为__________________．
三、解答题
21．（2015秋?黄冈期末）李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：
方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元．
方案二：不收管理费，每度0.58元．
（1）求方案一收费L（x）元与用电量x（度）间的函数关系；
（2）李刚家九月份按方案一交费35元，问李刚家该月用电多少度？
（3）李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？
22．已知f(x)?x2?2|x|，x?R.
（1）若方程f(x)?kx有三个解，试求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数m,n(m?n)，使函数f(x)的定义域与值域均为[m,n]？若存在，求出所有的区间[m,n]，若不存在，说明理由.
123．已知函数f(x)?lnx,g(x)?ax2?bx,设h(x)?f(x)?g(x)． 2
（1）若g（2）=2，讨论函数h（x）的单调性；
（2）若函数g（x）是关于x的一次函数，且函数h（x）有两个不同的零点x1，x2． ①求b的取值范围；
②求证：x1x2?e2．
24．（2015秋?福州校级期末）已知函数f（x）=ax+bx+c，满足f（1）=﹣，且3a＞2c＞2b．
（1）求证：a＞0时，的取值范围；
（2）证明函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1﹣x2|的取值范围．
2
25．如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120?,AB,AC的长度均大于200米，现在边界AP,AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．
（1）若围墙AP,AQ总 长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？
（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20000元,问如何围可使竹篱笆用料最省？
26．市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快.已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着
?16?1(0?x?4)??8?x时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y?a?f(x)，其中f(x)??，1?5?x(4?x?10)??2
若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用.
（1）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可能达几分钟？
（2）若第一次投放个2单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，问能否使接下来的4分钟
内持续有效去污？说明理由.
27．已知f(x)?|x2?1|?x2?kx.
（Ⅰ）若k?2，求方程f(x)?0的解；
（Ⅱ）若关于x的方程f(x)?0在（0,2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明11??4. x1x2
28．为保护生态环境，我市某山区自2005年起开始实行退耕还林．已知2004年底该山区森林覆盖面积为a亩．
（1）设退耕还林后，森林覆盖面积的年自然增长率为2%，写出该山区的森林覆盖面积y（亩）与退耕还林年数x（年）之间的函数关系式，并求出2009年底时该山区的森林覆盖面积．
（2）如果要求到2014年底，该山区的森林覆盖面积至少是2004年底的2倍，就必须还要实行人工绿化工程．请问2014年底要达到要求，该山区森林覆盖面积的年平均增长率不能低于多少？
456（参考数据：1．02=1．082，1．02=1．104，1．02=1．126，lg2=0．301，lg1．072=0．0301）
29．已知f(x)?log2(4x?1)?kx(k?R)．
（I）设g(x)?f(x)?a，k?2．若函数g(x)存在零点，求a的取值范围；
2x?（II）若f(x)是偶函数，设h(x)?log2(b?
只有一个公共点，求实数b的取值范围．
4b)，若函数f(x)与h(x)的图象有且3
30．已知函数g(x)?mx2?2mx?1?n(n?0)在1,2上有最大值1和最小值0，设??
f(x)?g(x)（e x
为自然对数的底数）．
（1）求m、n的值；
（2）若不等式f(log2x)?2klog2x?0在x??2,4?上有解，求实数k的取值范围；
（3）若方程f(ex??2k?3k?0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围． xe?1
参考答案
1．B
【解析】
试题分析：y?2x和y?11在?1的，???都是增函数，已知x0是函数f(x)?2x?1－x1?x
一个零点，所以f?x0??0，x1?x0?x2，所以f(x1)?0, f(x2)?0．
考点：1．函数的零点；2．函数的性质．
【方法点睛】此题主要考察函数的性质问题，属于基础习题，当一个习题给出一个函数，那你首先要通过所学习的知识，考察这个函数的一些典型性质了，对应求零点，或者是零点的应用问题，首先要考察函数的单调性，y?2x和y?1在?1，???都是增函数，所以增+1?x
增=增函数，结合fx0?0，当x1?(1, x0),x2?(x0, ??)，易得出f(x1)?0, f(x2)?0．
2．A
【解析】
试题分析：由“?—半随函数”的定义可知①③是不正确的,理由是对于①?不唯一,对于③?是不存在的；是正确的,由于f(x?)????1
21f(x)?0至少有一根,因此应选答案A. 2
考点：函数及新定义的概念的灵活运用．
【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是函数的零点等有关知识及推理判断的能力. 命题的真假的判断及分析求解的能力是解答好本题的关键,本题给出的三个命题的真假的判断成为解答这道试题的重中之重.对于命题①,实数?的取值是不唯一的,因此该命题是假命题；对于命题②,运用定义可得结论,显然这个方程f(x?)??1
21f(x)?0的解是不唯一2
的,所以是真命题；对于命题③找不到实数?满足题设,因此是假命题整个求解过程充满了推理和判断.
3．B
【解析】
试题分析：由题意，知3x的倒数比8x的倒数大5，故选B．
考点：1、倒数；2、一元一次方程的应用．
4．D．
【解析】
试题分析：A：不是奇函数，B：不存在零点；C：既不是奇函数，也不存在零点；D：符合题意，故选D．
考点：函数的奇偶性与函数的零点．
5．A
【解析】
试题分析：利用分段函数性质求解．
解：∵函数，f（x0）=2，
∴x0≤0时，，解得x0=﹣1；
x0＞0时，f（x0）=log2（x0+2）=2，解得x0=2．
∴x0的值为2或﹣1．
故选：A．
考点：函数的值．
6．D
【解析】
试题分析：当x?[0,2]时,f(x)?3x?6,所以f(2)?f(6)?3；当x?[2,4]
x?4?6?81?()x?6,画出函数的图象如图,时,x?4?[?2,0],则f(x)?f(x?4)?()1
313
结合图象可知:要使恰有三个不同实数根,只需函数y?f?x?的图象与y?loga?x?2?的图象有三个交点,所以?
是?loga8?3?f(2)?3,即?,解之得4?a?2,即实数a的取值范围
?loga4?3?f(6)?3，故应选D.
?
x
考点：函数的图象和基本性质的综合运用．
【易错点晴】本题考查的是函数的图像与零点的个数的综合运用问题.解答时可依据题设条件,借助函数的周期性
,单调性及对称性,将问题进行合理有效的转化与化归,在同一平面直角坐标系中画出函数y?f(x)和函数y?loga(x?2)的图象,数形结合,从图象不难看出, 方程f?x??loga?x?2??0（a?1）恰有3个不同的实数根等价于函数y?f(x)与函数
?f(2)?3,通过解不等式y?loga(x?2)的图像有三个交点.然后依据图形建立不等式组?f(6)?3?
组求出了参数a的取值范围是??f(2)?3.
?f(6)?3
7．C
【解析】
试题分析：如图所示，直线l:y?kx?1过点A?0,?1?，
圆x2?y2?4x?3?0的圆心坐标（2,0），r?1为直线l:y?0与曲线C:
kAB?x2?y2?4x?3?0有且仅有2个公共点设为B,C，则0??(1)1??0(1)?,kAc??2，直线l:y?kx?1与曲线C:x2?y2?4x?3?03?031?0
422相切时，k?0或，直线l:y?kx?1与曲线C:?x?y?4x?3?y?0有且仅有2个公3
共点，则实数k的取值范围是?,1,?．
考点：直线与圆相交，相切问题．
8．C
【解析】
试题分析：设y?log3x?x?3是增函数，f?1???2?0，f?2??log32?1?0，?1?34?3?f?3??1?0，即f?2?f?3??0，故选C．
考点：函数的零点
9．C.
【解析】 1?2?x?ln(2x)ee1?ln(2x)(0,)(,??)试题分析：f'(x)?，∴在上单调递增，f(x)?22x2x2
1ee221??2，上单调递减，∴f(x)nax?f()?，又∵f()?0，不等式f(x)?af(x)?0222e
??a?f(1)1?2a??只有两个整数解，∴??a?f(2)??ln?3??a?f(3)?
(?ln2?,1
3ln故选6]C． ln6即实数a的取值范围是，
【考点】本题主要考查导数的运用．
10．B
【解析】
试题分析：当x?[1,?]时，111?[,1]，把代入f(x)?x?x，即lnx
1?lxx?[11?nf(x)?f()?ln??lnx，即f(x)??由函数g(x)?f(x)?ax与x?．xx???lnxx?[1,?]
轴有交点，即f(x)?ax?0有解．令h(x)?ax，则h(x)是过原点的直线，作出f(x)与h(x)的图象，当直线h(x)过点(1,0)时，斜率a最大，将(1,0)代入h(x)?ax，解得a?0；当直线h(x)过点(1
?111,ln)时，斜率a最小，将(,ln)代入h(x)?ax，解得a???ln?，???
所以实数a的取值范围是???ln?,0?，故选B．
考点：1、函数的零点；2、函数图象．
11
．(?1)
【解析】 试题分析：由已知，曲线x?y2?1为双曲线右支，又直线y?kx?1恒过点(0,1)，当直线与曲线有两个不同的交点时，可知曲线与直线的方程有两组不等的公共解，且为正根，经联立方程，化简得
??4k2?8(1?k2)?0??2k22，解得?2?k??1. (1?k)x?2kx?2?0，则??021?k???2?0??1?k2
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
【思路点睛】本题为直线与圆锥曲线的综合问题.y?kx?1是过定点(0,1)的直线方程，曲线x?y2?1表示双曲线右支，将y?kx?1代入x?y2?1，消元可得
2由此可将直线y?kx?1与曲线x?y?1有两个不同的交点的(1?k2)x2?2kx?2?0，
问题转化为方程(1?k)x?2kx?2?0有两个不等的正根，从而解出k的取值范围. 12．3
【解析】 22
???xe?sin2x,x?[??2k?,?2k?]????22x试题分析：由f(x)?a?b?e?2sinxcosx???ex?sin2x,x?[??2k?,3??2k?]??22
（k?Z），则函数f?x?的零点可转化为y??e和y?sin2x,x?[?x?
2?2k?,?
2?2k?]，
函数y?e和 x
?3?y?sin2x,x?[?2k?,?2k?]在区间??7,0?上的交点个数，作出函数的图象，如图22??所示，两个函数共有A,B,C，共有五个交点，所以函数f(x)?a?b在区间??2?,2??上的
零点个数为3个．
考点：函数的零点的判断．
【方法点晴】本题主要考查了函数的零点问题的判断，其中解答中涉及到三角函数的化简、三角函数的图象与性质、知识函数的图象等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点是解答的关键．
?9??,?2?
13．?4
【解析】
试题分析：方法1；由题题中给出的定义“关联函数”，可知函数应有两个交点，即： f(x)?x2?3x?4,g(x)?2x?m，在区间[0,3]上函数图像有两个交点，画出函数 图像有在区间内的交点个数可得；
2方法2；f（x）=x-3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，
故函数h(x)?x?5x?4?m在[0，3]上有两个不同的零点， 2
??h(0)?0?9h(3)?0,??m??2 ?4?5?h()?0?2
考点：数学阅读能力与函数的零点及数形结合思想.
14．?2? 4
【解析】 ?17???
??lg??x?,x?0试题分析：因为函数f?x???，其中x3?6x?4?(x?2)(x2?2x?2)，3??x-6x?4,x?0
作出f(x)的简图，由图象可得，当f(x)在(0,4]上任取一值时，都有四个不同的x与f(x)的值对应，再结合题中关于x的函数y?f2?x??bf?x??1有8个不同的零点，可知关于x
2的方程k?bk?1?0有两个不同的实数根k1、k2，且0?k1?4,0?k2?4，则
???b2?4?0?b0??417? ?2?b?2?4?0?b?0?1?0
?16?4b?1?0?
考点：函数的图象与一元二次方程根的分布,数形结合思想.
【易错点晴】本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，采用数形结合的方法来解决，结合图像去解题使问题变得直观简单，数形结合思想是高考要求学生必须具备的一种重要的数学解题思想，能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质，一元二次的根的分布是很重要的数学基础知识，学习时不能忽视.
15．?4,5?
【解析】
试题分析：由题意可知函数y?f?x??g?x???x?mx?4在1,5上有两个零点，所以需2??
满足
???0??f?1??0，解不等式得实数m的取值范围为?4,5?
?f?5??0?
考点：1．函数零点；2．二次函数图像及性质
16．20
【解析】
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