二面角的求法：
方法一（定义法）即从二面角棱上一点在两个面内分别引棱的垂线。（适用两边三角形全等、或都为等腰三角形）
例1、如图1－5所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为3的菱形，∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．
(1)证明：MN∥平面ABCD；
(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．
方法二（三垂线法）在二面角的一个面上一点P棱及另一个面分别引垂线PA、PB，连接AB，根据三垂线定理（或逆定理），∠PAB为所求的二面角的平面角.
例3.在棱长为1的正方体AC1中，求平面C1BD与底面ABCD所成二面角C1?BD?C的1
例4．如图，AB?平面BCD，BD?CD，若AB?BC?2BD，求二面角B?AC?D的正弦值A
B
1
方法三（投影面积法）一个平面?上的图形面积为S，它在另一个平面?上的投影面积为S'，这两个平面的夹角为?，则S'=Scos?或cos?=S. /
S
例5．在正方体AC1中，E是BC中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1B1C1D1所成的二面角.
?????方法四（空间向量法）如图5，设n1,n2,是二面角??l??的两个半平面的法向量，其方向?????n1?n2。 arccos??l??一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角的平面角=?．．|n1||n2|
例6、点O是边长为4的正方形ABCD的中心，点E，F分别是AD，BC的中点．沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D－AC－B．
（Ⅰ）求?EOF的大小；
（Ⅱ）求二面角E?OF?A的大小．
练习题：
1. 在立体图形P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，Q是PC中点． AC，BD交于O点．
（Ⅰ）求二面角Q－BD－C的大小：
（Ⅱ）求二面角B－QD－C的大小．
2
2. 已知平面α⊥平面β，交线为AB，C∈?，D∈?，AB?AC?BC?43，E为BC的中点，AC⊥BD，BD=8．
①求证：BD⊥平面?；
②求证：平面AED⊥平面BCD；
③求二面角B－AC－D的正切值．
3. 如图，△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=
∠DBC=120°，求
(1) A、D连线和直线BC所成角的大小；
(2) 二面角A－BD－C的大小
B
CA
4. 如图平面SAC⊥平面ACB，ΔSAC是边长为4的等边三角形，ΔACB为直角三角形，∠ACB=90°，BC=42，求二面角S-AB-C的余弦值。22
11
5、如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M为AA1
的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为29，设这条最短路线与C1C的交点为N。求：
①该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
②PC和NC的长；
③平面NMP和平面ABC所成锐二面角大小的余弦值
6、如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC
＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点
(1)证明：CD⊥平面PAE；
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，
求四棱锥P－ABCD的体积．
3
【解析】
1. 在立体图形P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，Q是PC中点． AC，BD交于O点．
（Ⅰ）求二面角Q－BD－C的大小：
（Ⅱ）求二面角B－QD－C的大小．
2. 已知平面α⊥平面β，交线为AB，C∈?，D∈?，AB?AC?BC?43，E为BC的中点，AC⊥BD，BD=8．
①求证：BD⊥平面?；
②求证：平面AED⊥平面BCD；
③求二面角B－AC－D的正切值．
3. 如图，△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=
∠DBC=120°，求
(1) A、D连线和直线BC所成角的大小；
(2) 二面角A－BD－C的大小
BCA
4. 如图平面SAC⊥平面ACB，ΔSAC是边长为4的等边三角形，ΔACB为直角三角形，∠ACB=90°，BC=42，求二面角S-AB-C的余弦值。
4
5、正解：①正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为92?42?97
②如图1，将侧面BC1旋转120使其与侧面AC1在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过CC1到点M的最短路
线。
设PC＝x，则P1C＝x，
在Rt?MAP3＋x)2?22?29,x?2 1中，（?
?MCP1C24??,?NC? MAP1A55
③连接PP1（如图2），则PP1就是NMP与平面ABC的交线，作
NH?PP1于H，又CC1?平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，
NMP与平面ABC所成二面角的平面角。 CH?PP1。??NHC就是平面
在Rt?PHC中，??PCH?1?PCP1?60?,?CH?1 2
NC4541?，所以余弦值为 CH541在Rt?NCH中，tan?NHC?
6、解：解法1：(1)如下图(1)，连结AC.由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°得AC＝5.又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.因为PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.
(2)过点B作BG∥CD，分别与AE、AD相交于点F，G，连结PF.
由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角， 且BG⊥AE.由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角． 由题意∠PBA＝∠BPF，因为sin∠PBA＝PABF，sin∠BPF＝，所以PA＝BF. PBPB
由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形． 故GD＝BC＝3.于是AG＝2.
在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2
AB216858BG⊥AF，所以BG＝AB＋AG＝25，BF＝＝＝于是PA＝BF＝. BG55511又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA23
＝
1851285×＝
3515
5
解法2：如上图(2)，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设PA＝h，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，
→→→E(2,4,0)，P(0,0，h)．(1)易知CD＝(－4,2,0)，AE＝(2,4,0)，AP＝(0,0，h)．
→→→→因为CD·AE＝－8＋8＋0＝0，CD·AP＝0，所以CD⊥AE，CD⊥AP.
而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.
→→(2)由题设和(1)知，CD，PA分别是平面PAE，平面ABCD的法向量．
→→而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|cos〈CD，PB〉|＝|cos
→→??→→??CD·PBPA·PB→→〈PA，PB〉|，即?→→＝?→→?. |PB|??|PA|·|PB|??|CD|·
→→→由(1)知，CD＝(－4,2,0)，PA＝(0,0，－h)，又PB＝(4,0，－h)，
5?－16＋0＋0??0＋0＋h故?＝.解得h＝. ??5?216＋h??16＋h?
1又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16 2
1185128，所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝S×PA＝×33515
6 2
1、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为 ()
A．1
2 B．2
4 C．2
2 D．2
2、如图（20）图， ?和?为平面，????l,A??,B??,AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′，B′，AA′＝3，BB′＝2.若二面角??l??的大小为2?
3，
求：（1）点B到平面?的距离;
（2）异面直线l与AB所成的角（用反三角函数表示）.
（3）求异面直线l与AB的距离
变式题：
已知?和?为平面，????l,A??,B??,,A,B在棱l上的射影分别为A′、B′，AA′＝3，BB′＝2 ，A'B'?3，若二面角??l??的大小为600
（1） 求AB的长
（2） 异面直线l与AB所成的角
（3） 求异面直线l与AB的距离
7
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