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高三立体几何习题
一、 填空题
1.已知AB是球O的一条直径，点O1是AB上一点，若OO1?4，平面?过点O1且垂直AB，截得圆O1，当圆
O1的面积为9?时，则球O的表面积是
【答案】100p
2.把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球， 不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆 公斤．
【答案】9.6
3.已知球的表面积为64?cm，用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm，则截面与球心的距离是cm
【答案】2
4.一个圆锥与一个球体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为．
【答案】4p 【答案】4p
5.一个底面置于水平面上的圆锥，若主视图是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为．
1
6.如图所示：在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?BC，AB?BC?BB1，则平面A1B二面角的大小为 ． 【答案】
?
4
二、选择题
AB的中点， 1.如图，已知圆锥的底面半径为r?10，点Q为半圆弧?点P为母线SA的中点．若PQ与SO所成角为全面积与体积分别为（） A．,
B．100(1??,
?
，则此圆锥的 4
C．D．100(1??,
【答案】B
2.如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面?上．用一平行于平面?的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（） A．S圆＞S圆环B．S圆＜S圆环C．S圆=S圆环 D．不确定
1
3.如图所示，?PAB所在平面?和四边形ABCD所在的平面?互相垂直，且AD??，BC??，AD?4，BC?8，AB?6，若tan?ADP?2tan?BCP?1，则动点P
在平面?内的轨迹是（ ） ? A.线段 B.椭圆的一部分 C.抛物线 D.双曲线的一部分
【答案】D
4.在空间中，下列命题正确的是（ ） A．若两直线a,b与直线l所成的角相等，那么a//b B．空间不同的三点A、B、C确定一个平面
C. 如果直线l//平面?且l//平面?，那么?//?
D．若直线a与平面M没有公共点，则直线a//平面M
l 【答案】D
A 5.如图，已知直线l?平面?，垂足为O，在△
ABC中，
BC?2,AC?2,AB?P是边AC上的动点.该三角形在空间按以下条????????件作自由移动：(1)A?l，(2)C??.则OP?PB的最大值为( ) P B
(A) 2
. (B)
1
O 【答案】C C
6.平面?上存在不同的三点到平面?的距离相等且不为零，则平面?与平面?的位置关系为（ ）
(A) 平行 (B) 相交 (C) 平行或重合 (D) 平行或相交
【答案】D
7.a、b、c表示直线，?表示平面，下列命题正确的是（ ）
A．若a//b,a//?，则b//? B． 若a?b,b??，则a??
C．若a?c,b?c，则a//b D ．若a??,b??，则a//b
【答案】D
8.下列命题中，正确的个数是【 】
① 直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；
② a、b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个；
③ 直四棱柱是直平行六面体；
④ 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥．
A、0B、1C、2 D、3
【答案】B
9.在四棱锥V?ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB，VD的中点，则四面体AB1CD1的体积与四棱锥V?ABCD的体积之比为（ ）
A．1:6 B．1:5
【答案】C C．1:4 D．1:3
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三、解答题
1.（本题满分14分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，点E在棱AB上移动． （1）证明：D1E?A1D；
（2）AE等于何值时，二面角D1?EC?D的大小为
?． 4
x
【答案】解：（1）在如图所示的空间直角坐标系中，A,0,1),D(0,0,0),D1(0,0,1) 1(1
????????????????????
设E(1,y,0)(y?[0,2]) 则D1E?(1,y,?1),DA1?(1,0,1)…所以D1E?DA1?0……所以D1E?A1D……
?
（2）方法一：设n?(u,v,w)为平面DCE的一个法向量 1
????????u?(2?y)v??2v?w?0?n?CD1?0由??????，得?，所以?… ?
w?2vu?yv?w?0????n?D1E?0
??
因为二面角D1?EC?D的大小为，所以cos?| ??
44又y?
[0,2]，所以y?2
AE?2D1?EC?D的大小为
?
4
2.（本题满分14分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，点E在棱AB上移动． （1）当E为AB的中点时，求四面体E?ACD1的体积； （2）证明：D1E?A1D．
【答案】解：（1）S?ACE?
D1
A1
A
E
1
C1
11AE?BC?… 22
11
S?ACE?D1D?… 36
因为D1D?平面ACE，所以VE?ACD1?VD1?ACE?（2）正方形ADD1A1中，A1D?AD1……
因为AB?平面ADD1A1D…… 1，所以AB?A1D…所以A1D?平面AD1E…所以D1E?A
3
3.三棱柱ABC?A1B1C1中，它的体积是3，底面?ABC中，?BAC?90，AB?4,AC?3,B1在底面的射影是D，且D为BC的中点．
（1）求侧棱BB1与底面ABC所成角的大小；(7分)
（2）求异面直线B1D与CA1所成角的大小．(6分)
【答案】解：（1）依题意，B1D?面ABC，?B1BD就是侧棱BB1与底面A10ABC所成的角? 2分
1VABC?A1B1C1?S?ABC?B1D??4?3?B1D?2
4分
B1D?
5分 5?5，B1D?BDtan??tan?，
tan????? 7分 232
（2）取B1C1的中点E，连EC,A1E，
则?ECA1（或其补角）为所求的异面直线的角的大小 9分 B1D?面ABC，B1D‖CE，面ABC‖面A1B1C1?CE?面A1B1C1， ?CE?A1E 11分 计算BD?
5AE 12分 tan?A1CE???EC32
?所求异面直线B1D与CA1所成的角 13分 6
4.在如图所示的几何体中，四边形CDPQ为矩形，四边形ABCD为直角梯形，
1且?BAD??ADC?90?，平面CDPQ?平面ABCD，AB?AD?CD?
1，PD?
2
（1）若M为PA的中点，求证：AC//平面DMQ；
（2）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小.
【答案】解：（1）如图，设CP与M的交点为N，连接MN．
易知点N是CP的中点，又M为PA的中点，故AC//MN．…4分 A 于是，由MN?平面DMQ，得AC//平面DMQ．……………6分
（2）如图，以点D为原点，分别以DA、DB、DC为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P． QCB????? 易知n1?(0,1,0)为平面PAD的一个法向量，设n2?(x,y,z)为平面PBC的一个法向量． ?????????????x?y?n2?BC??x?y?0 则???，令y?1，得n2?(1,1．…………………10分 ??????????z??n2?PC?2y?0?????n1?n21 设平面PAD与平面PBC所成的锐二面角为?，则cos???，…………………12分 2n1n2
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故平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为
?
3
．………………………………………14分
5.(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 在如图所示的直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的 菱形，且?BAD?60?,AA1?4.
（1）求直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的体积； （2）求异面直线AD1与BA1所成角的大小．
【答案】解：（1）因菱形ABCD
的面积为AB2?sin60??……2分
故直四棱柱ABCD?
A1B1C1D1的体积为：
（2）连接BC1、AC，易知，故?A等于异面直线AD1与BA1BC1BC1111//AD1所成角. ……8分
由已知，可得A1B?BC1?AC11?A1
B1
DC1
S底面ABCD?AA1?4?……6分
A
C
……10(第20题图）分
222
AB?BC?AC71111 则在?A1BC1中，由余弦定理，得 cos?A1BC1?……12分 ?.
2A1B?BC110 7
故异面直线AD1与BA1所成角的大小为arccos……14分 .
10
6.（本题满分12分）本题共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?2，AA1?3，过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体ABCD?AC11D1.
（1）若A1C1的中点为O1，求求异面直线BO1与A1D
1所成角的大小（用反三角函数值表示）；
（2）求点D到平面A1BC1的距离d．
【答案】解：(1)按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，
可得点D(0,0,0)、B(2,2,0)、D1(0,0,3)、A1(2,0,3)、C1(0,2,3)． 由O1是AC11中点，可得O1(1,1,3).
??????????
于是，BO1?(?1,?1,3),A1D1?(?2,0,0)． 设异面直线BO1与A1D1所成的角为?，
??????????
BO?A1D1 则cos??1??
|BO1||A1D1| 因此，异面直线BO1与A1D1所成的角为???????n?BA1?0, (2)设n?(x,y,z)是平面ABD的法向量． ∴????????
??n?BC1?0.
??????????2y?3z?0,又BA1?(0,?2,3),BC1?(?2,0,3)，∴? 取z?2， ?
??2x?3z?0.
5
．
??x?3,n可得?y?3,即平面BAC11的一个法向量是??z?2.??????
DB?． ?(3,3,2)． ∴d?n?11|n|
7.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?2，AA1、C1、B三点的平面截去长方体的 1?3，过A
一个角后，得到如下所示的几何体ABCD?AC11D1．
（1）求几何体ABCD?AC11D1的体积，并画出该几何体的左视图(AB平行主视图投影所在的平面)；
（2）求异面直线BC1与A1D1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． D1
A1
C
AB
【答案】解：? AB?BC?2，AA1?3，
C1
?VABCD?A1D1C1?V长方体?
V三棱锥
11 =2?2?3???2?2?3?10．32
左视图如右图所示．
(2)依据题意，有A1D1?AD,AD?BC，即A1D1?BC．∴?C1BC就是异面直线BC1与A1D1所成的角．又?C1C?BC，∴tan?C1BC?C1C33?．∴异面直线BC1与A1D1所成的角是arctan． BC22
8. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AA1?BC?AB?2，AB⊥BC．
（1）求四棱锥A1?BCC1B1错误！未指定书签。的体积；
（2）求二面角B1?A1C?C1的大小．
1A1A【答案】解：（1）因为AB⊥BC，三棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱，所以11从而A1B1是四棱锥A1?BCC1B1的高. ……………………………………2分
四棱锥A1?BCC1B1错误！未指定书签。的体积为V?
签。…………………………4分
（2）如图（图略），建立空间直角坐标系． 18?2?2?2?错误！未指定书33
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则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），
B1（0，0，2），C1（0，2，2）， …………………………………………………6分 设AC的中点为M，?BM?AC,BM?CC1,
?BM?平面A1C1C，即?(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量．
设平面A1B1C的一个法向量是n?(x,y,z)，AC?(?2,2,?2),A1B1?(?2,0,0) …8分 ??A1B1??2x?0,?A1??2x?2y?2z?0,
令z=1，解得x=0，y=1．?n?(0,1,1)， …………………………………………9分 设法向量与BM的夹角为?，二面角B1—A1C—C1的大小为?，显然?为锐角． ??????|n?BM|1??,解得??.?cos??|cos?|?3|n|?|BM|2
? ?二面角B1?A1C?C1的大小为.………………………………………………12分 3
9. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分． 如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AA1B1C1 1?6， 三棱柱ABC?
A
（1）求正三棱柱ABC?A1B1C1的表面积；
（2）求异面直线BC1与AA1所成角的大小
.
【答案】解：（1
）因为三棱柱的体积为AA1?6，
BC2?
因此BC?. ………………………2分
该三棱柱的表面积为S全?2?S?ABC+S侧?………4分 从而S?ABC?
（2）由（1
）可知BC?因为CC1//AA1.所以?BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角， ………8分
?tan?BCC??1?BCC在Rt?
BC1C中，， 所以=. 16
异面直线BC1与AA1所成的角
7
? ……………………………………………12分 6
10.如图，已知圆锥的底面半径为r?10，点Q为半圆弧?AB的中点，点PPQ与SO所成的角为
?
，求此圆锥的表面积． 4
【答案】解：取OA的中点M,连接PM,又点P为母线SA的中点
所以PM//OS，故?MPQ为PQ与SO所成的角．………………………2在Rt△MPQ中，?MPQ?
?
4
，PM?QM，………………………4分
由点Q为半圆弧?AB的中点知 OQ?AB， 在Rt△MOQ中，OQ?10,OM?5?MQ?故PM?，所以OS?SA 2
所以S底??r?100?，S侧??r?SA???10?………………10分
S全?S底?S侧?100???100(1??．…………………………………12分
11.（本大题共有2个小题，满分14分）第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分． 如图，在四棱锥P?ABCD中，底面正方形ABCD为边长为2，PA?底面ABCD， E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为．
（1）求异面直线AE与PD所成角的大小（结果用反三角函数表示）； （2）求点B到平面PCD的距离． A
B
【答案】解：方法１,（1）因为底面ABCD为边长为2的正方形，PA?底面ABCD,
D
C
??
则 CD?PA??CD?平面PAD，所以?CPD就是CP与平面PAD所成的角．………………2分
AD?PA?A??
在Rt?CDP中，由tan?CPD?
CD?AD
CD2
，得PD?22，…………………………3分?
PD2
在Rt?PAD中，PA?2．分别取AD、PA的中点M、N，联结MC、NC、MN则?NMC异面直线AE与PD所成角或补角．……………4分 在?MNC中，MN?
2，MC?，NC?3，
D
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?
由余弦定理得，
cos?NMC?22?32
?，
所以?NMC???，………6分 即异面直线AE与PD所成角的大小为．……7分 10（2）设点B到平面PCD的距离为h，因为VB?PCD?VP?BCD，…………………………9分
所以，?1111CD?PD?h??BC?CD?PA，得h?14分 323
2
方法２，（1） 如图所示，建立空间直角坐标系，同方法１，得PA?2，……………3分
则有关点的坐标分别为A?0,0,0?，E?2,1,0?，D?0,2,0?，P
?0,0,2?????所以AE??2,1,0?，PD??0,2,?2?．设?为异面直线AE与PD所成角，
则cos??2?0?1?2?0???2?
5??，所以，??， 1010
10（2）因为??0,2,?2?，??2,0,0?，??0,2,0?，设??u,v,w?， 即异面直线AE与PD所成角的大小为arccosy
????2v?2w?0?u?0则由?，………………………………………………11分 ??v?w?????2u?0
?????n?BC可得??0,1,1?，所以d??14分 ?n
12.（本题共有2个小题，满分14分）；第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，
PA?底面ABCD, PA?2．
（1）求异面直线PC与BD所成角的大小；
（2）求点A到平面PBD的距离．
【答案】解：（1）联结AC与BD交于点M，取PA的中点N，联结
MN，则MN//CP，
所以?NMB为异面直线PC与BD所成角或补角．……………………2分
在?BMN中，由已知条件得，BN?5，BM?2，D
MN?，…………5分
9
222
所以BN?BM?MN，?BMN?
?
2
，所以异面直PC与BD所成角为
?
．…7分 2
（或用线面垂直求异面直线PC与BD所成角的大小）
（2）设点A到平面PBD的距离为h，因为VA?PBD?VP?ABD，……………9分
1111
所以，?BD?PM?h??BC?CD?PA，
3232
得h?
13.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
在正方体ABCD?A1的中点． 1B1C1D1中，E是棱DD（1）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；B （2）在棱C1D1上是否存在一点F，使得B1F//平面A1BE，
若存在，指明点F的位置；若不存在，说明理由．
A
B
【答案】解：（1）以A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为x、y、z轴，建立空间 直角坐标系，如图所示.不妨设正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为a（a?0），
1
23
．（或在Rt?MAN中求解）………14分 3
A1
D
D1
C1
E
D
C
a2
????????
AD=(0,a,0) 4分 根据正方体的性质，可知DA?平面ABB1A1,故AD是平面ABB1A1的一个法向量且
????????BE?ADa22
??0 5分 设直线BE与平面ABB1A1所成的较为?，则sin???
BEADa?a3
2
22
所以??arcsin，故直线BE与平面ABB1A1所成的角的大小为arcsin. 6分
33
（2）假设在棱C1D1上是存在一点F,使得B1F//平面A1BE,设F(x,a,a)（其中0?x?a）
?????????
B(a,0,0),A1(0,0,a),BA1?(?a,0,a),B1F?(x?a,a,0) 8分
????a
根据（1）可知，BE?(?a,a,) 9分
2
??????ax?az?0??n?BA?0??1
设n?(x,y,z)平面A1BE的一个法向量，则?????，即?， 10分 ?a
ax?ay?z?0???n?BE?0?2???????
取z?2，则n?(2,1,2)，由于直线B1F//平面An?0 11分 1BE,所以B1F?
a
(2,1,2)?0，化简得2(x?a)?a?0，解得x? 12分 即(x?a,a,0)?
2
则B(a,0,0),E(0,a,)，于是BE?(?a,a,) 3分
a2
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故在棱C1D1上是存在一点F，使得B1F//平面A1的中点. 14分 1BE,且点F是棱C1D
14.在正方体ABCD?A1的中点． 1B1C1D1中，E是棱DD
求直线BE与B1A1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
【答案】解：设正方体的棱长为a，根据正方体的性质可得：
四棱锥E?ABCD的底面积SABCD?a2，高ED?
2分 B1A1D1C1Ea2AD
11a4V??SABCD?ED?a2??，解得a?2 53323
分
因为AB//A1B1,所以?ABE即为异面直线BE与B1A1所成角 BC
或其补角， 8分
在?
ABE中，AB?2,AE?BE?3,由余弦定理可得
24?9?52??0，即?ABE?arccos 11分 32?2?33
2所以异面直线BE与B1A1所成的较的大小为?ABE?arccos. 12分 3cos?ABE?
15.(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如图，在Rt?AOB中，?OAB??
6，斜边AB?4，D是AB的中点．现将Rt?AOB
以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且?BOC?
（1）求该圆锥的全面积；
（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
【答案】解：（1）在Rt?AOB中，OB?2，即圆锥底面半径为2圆锥的侧面积S侧??rl?8?………………..4’
故圆锥的全面积S全=S侧+S底?8?+4??12?……………….6’
（2
）解法一：如图建立空间直角坐标系．则AC(2,0,0),D
(0,1 ?2． ?????????AO?(0,0,?CD?(?2,1………………..8’ ????????????????AO?CD?设AO与CD所成角为?
，则cos???AO?CD?异面直线AO与CD
所成角为arc..12’ 解法二：过D作DM//AO交BO于M，连CM
则?CDM为异面直线AO与CD所成角………………..8’
QAO?平面OBC?DM?平面OBC?DM?MC 11
y
在Rt?
AOB中，AO?
?DM?QD是AB的中点 ?M是OB的中点 ?
OM?1?CM??在Rt?
CDM中，tan?CDM?..10’
??CDM?AO与CD
所成角的大小为……………….12’
16.在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.
（1）试确定点F的位置，使得D1E?平面AB1F;
（2）当D1E?平面AB1F时，求二面角C1?EF?A的大小（结果用反三角函数表示）.
【答案】解：（1）如图建系，设 DF?x(0?x?1), 1分 B1则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),B1(1,0,1)D1(0,1,1)E(1,,0)F(x,1,0) 2分 A1C1
2
1?1?(1,?,?1),1?(1,0,1),?(x,1,0), 3分 2
?1?1?1?1?0,?D1E?AB14分 由D1E?平面AB1F,?D1E?AF 5分
1?D1??0,?x? 6分 2
1?F(,1,0)，即F为CD中点时D1E?平面AB1F。 7分 2
（2）解一：连接AC，交EF于点H，连接C1H
?AH?EF且C1H?EF，??AHC1为二面角C1-EF-A的平面角 DBE
C在RT?HCC1中，CC1?1,CH?2?tan?HCC1?22,?HCC1?arctan22 4
??AHC1
???arctan
?二面角C1
-EF-A的大小为??arctan 14分 解二：设平面AEF 的法向量为n1?(x1,y1,z1),设平面EFC1 的法向量为n2?(x2,y2,z2),
1111??(?,,0),?(1,,1),EC1?(0,,1) 2222 1?1 ?(?2?x1?2y1?0
?x1?y1?0?取n1?(0,0,1) ?1 ?x1?y1?0?2
1?1(??x?y?0?2222 ?x?y??2z?取n?(2,2,?1)?12222 ?y2?z2?0 ?2
设12?
则cos??11??,?????33
[在此处键入]
经观察二面角C1-EF-A的大小为??arccos1 3
17.
如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，AB?4,AD?2,PD?面ABCD，直线PA与直线BC所成角大小为60?，求直线PB与直线AC所成角的大小.
【答案】解：?AD//BC??PAD是直线PA与直线BC所成角??PAD?60?，?PD?23
连接BD，交AC于点O，取PD中点M，连接MO，则MO//PB,
??MOA为直线PB与直线AC所成角 5分
连接MA，在?MOA中,
AO?11AC?5,MO?PB?22,22
MA?AD2?MD2?3MO2?OA2?AM28?5?7 ??MOA??cos?MOA???202?MO?OA202?22??直线PB与直线AC所成角的大小为arccos3 12分 20
18.
如图，AB是圆柱体OO1的一条母线，已知BC过底面圆的圆心O，D是圆O上
不与点B,C重合的任意一点，AB?5，BC?5，CD?3．
（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；
（2）将四面体ABCD绕母线AB旋转一周，求?ACD的三边在旋转过程中所围成的
几何体的体积．
【答案】解：（1
） ………………5分 （2）15? ……………………7分 P 19. 如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD为菱形，PD?平面ABCD，
PD?AD?2，?BAD?60?，E为BC的中点．
（1）求证：ED?平面PAD；
（2）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值．
A 【答案】解：（1）连结BD，由已知得△ABD与△BCD
都是正三角形，
所以，BD?2，DE?BC， ………………（1分）
因为AD∥BC，所以DE?AD，……………（2分）
又PD?平面ABCD，所以PD?DE，……（4分）
因为AD?PD?D，所以DE?平面PAD．…（6分）
13
D C
取y?2，则z?，故n2?(0,2)， …………（4分）
设1与2的夹角为?，则cos??
?
227
．…………（7分） ?71?7
27
．……（8分） 7
所以，平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值为
（2）解法二（图略）
在平面PAD上，过P作PF∥DA且PF?DA，连结BF，则四边形PCBF是平行四边形，、即直线PF是平面PAD与平面PBC的交线．………………（2分）
因为BC?DE，BC?PD，所以BC?平面PDE，故BC?PE，
所以PE?PF，又PD?PF，所以?DPE就是平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角．……（5分）
在Rt△PDE中，DE?，PE?
PD2?DE2?7，…………（6分）
cos?DPE?
PD227
． ……………………（7分） ??
PE727
．……（8分） 7
20.如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD为菱形，PD?平面ABCD， PD?AD?2，?BAD?60?，E、E分别为BC、PA的中点． （1）求证：ED?平面PAD； （2）求三棱锥P?DEF的体积．
所以，平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值为
【答案】解：（1）连结BD，由已知得△ABD与△BCD都是正三角形， 所以，BD?2，DE?BC， ………………（1分） 因为AD∥BC，所以DE?AD，……………（2分） 又PD?平面ABCD，所以PD?DE，……（4分） 因为AD?PD?D，所以DE?平面PAD．…（6分） （2）因为S?PDF?所以，VP?DEF
C
111
S?PDA???22?1，……（2分）且DE?3， …………………………（4分） 222
113
． ………………（8分） ?VE?PDF?S?PDF?DE??1??
333
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