2016年高考数学文试题分类汇编
立体几何
一、选择题
1、（2016年山东高考）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为
（A）+1211π（B
）+π（C
）+π（D
）1+π 3333366
2、（2016年上海高考）如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）
(A)直线AA1 (B)直线A1B1 (C)直线A1D1(D)直线B1C
1
【答案】D
3、（2016年天津高考）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体
的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）
【答案】B
4、（2016年全国I卷高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条
28π互相垂直的半径.
3
（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π
【答案】A
5、（2016年全国I卷高考）如平面?过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，?//平面CB1D1,??平面ABCD?m，??平面ABB1A1?n，则m，n所成角的正弦值为
（A
1B
C
D） 3【答案】A
6、（2016年全国II卷高考）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
（A）20π （B）24π （C）28π（D）32π
【答案】C
7、（2016年全国III卷高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
（A
）18? （B
）54? （C）90（D）81
【答案】B
8、（2016年浙江高考）已知互相垂直的平面?，? 交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A.m∥l
【答案】C
B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
二、填空题
1、（2016年北京高考）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为
___________.
【答案】.
2、（2016年四川高考）已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积。
32
3、（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2,体积是______cm3
.
【答案】80 ；40．
三、解答题
1、（2016年北京高考）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC,DC?AC （I）求证：DC?平面PAC；
（II）求证：平面PAB?平面PAC；
（III）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得??//平面C?F?说明理由
.
解：（I）因为?C?平面??CD，
所以?C?DC．
又因为DC??C，
所以DC?平面??C．
（II）因为??//DC，DC??C，
所以????C．
因为?C?平面??CD，
所以?C???．
所以???平面??C．
所以平面????平面??C．
（III）棱??上存在点F，使得??//平面C?F．证明如下：
取??中点F，连结?F，C?，CF．
又因为?为??的中点，
所以?F//??．
又因为???平面C?F，
所以??//平面C?F．
2、（2016年江苏省高考）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中
点，点F在侧棱B1B上，且B1D?A1F ，AC11?A1B1.
求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
（2）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?平面A1B1C1 因为AC11?平面A1B1C1，所以AA1?A1C1 又因为AC11?A1B1，AA1?平面ABB1A1,A1B1?平面ABB1A1,A1B1?AA1?A1
所以AC11?平面ABB1A1
因为B1D?平面ABB1A1，所以AC11?B1D
又因为B1D?A1F，AC11?平面A1C1F,A1F?平面A1C1F,AC11?A1F?A1
所以B1D?平面A1C1F
因为直线B1D?平面B1DE，所以平面B1DE?平面AC11F.
3、（2016年山东高考）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥
DB.
（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；
（II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.
解析：（Ⅰ））证明：因EF//BD，所以EF与BD确定一个平面，连接DE，因为AE?EC,E为AC的中点，所以DE?AC；同理可得BD?AC，又因为BD?DE?D，所以AC?平面BDEF，因为FB?平面BDEF，AC?FB。
（Ⅱ）设FC的中点为I，连GI,HI，在?CEF中，G是CE的中点，所以GI//EF，又EF//DB，FB所以GI//DB；在?CH是FB的中点，中，所以HI//BC，又GI?HI?I，所以平面GHI//平面ABC，因为GH?平面GHI，所以GH//平面ABC。
B
4、（2016年上海高考）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆
AC
长为柱，如图，?5?? ，?A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧. 63
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.
【解析】（1）由题意可知，圆柱的高h?1，底面半径r?1．计算体积与侧面积即得.
（2）由?1?1//??得?C??或其补角为?1?1与?C所成的角，计算?C??即得． 试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长l?1，底面半径r?1．
圆柱的体积V??r2l???12?1??，
圆柱的侧面积S?2?rl?2??1?1?2?．
（2）设过点?1的母线与下底面交于点?，则?1?1//??，
所以?C??或其补角为?1?1与?C所成的角．
??，可知???????1?1?1?， 33
?C长为5?，可知???C?5?，?C??????C???????， 由?662
?所以异面直线?1?1与?C所成的角的大小为． 2??长为由?11
5、（2016年四川高考）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=1AD。
2
（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD。
【解析】
（I）取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：
因为AD‖BC,BC=1AD，所以BC‖AM, 且BC=AM. 2
所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖AB.
又AB? 平面PAB,CM ? 平面PAB,
所以CM∥平面PAB.
(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
（II）由已知，PA⊥AB, PA ⊥ CD,
因为AD∥BC,BC=1AD，所以直线AB与CD相交， 2
所以PA ⊥平面ABCD.
从而PA ⊥ BD.
因为AD∥BC,BC=1AD， 2
所以BC∥MD,且BC=MD.
所以四边形BCDM是平行四边形.
所以BM=CD=1AD，所以BD⊥AB. 2
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.
又BD? 平面PBD,
所以平面PAB⊥平面PBD.
6、（2016年天津高考）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，
AB=2，BC=EF=1，
，DE=3，∠BAD=60o，G为BC的中点.
(Ⅰ)求证：FG||平面BED；
(Ⅱ)求证：平面BED⊥平面AED；
(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值
.
解析：（Ⅰ）证明：取BD的中点为O，连接OE,OG，在?BCD中，因为G是BC的中点，所以OG//DC且OG?1DC?1，又因为EF//AB,AB//DC，所以EF//OG且2
EF?OG
，即四边形OGFE是平行四边形，所以FG//OE，又FG?平面BED，OE?平面BED，所以FG//平面BED.
（Ⅱ）证明：在?ABD中，AD?1,AB?2,?BAD?60，由余弦定理可BD?3，进
0而可得?ADB?90，即BD?AD，又因为平面AED?平面ABCD,BD?平面ABCD；0
平面AED?平面ABCD?AD，所以BD?平面AED.又因为BD?平面BED，所以平面BED?平面AED.
（Ⅲ）解：因为EF//AB，所以直线EF与平面BED所成角即为直线AB与平面BED所
成角.过点A作AH?DE于点H，连接BH，又因为平面BED?平面AED?ED，由（Ⅱ）知AH?平面BED，所以直线AB与平面BED所成角即为?ABH.在?ADE中，AD?1,DE?3,AE?6，由余弦定理可得cos?ADE?2，所以sin?ADE?，因33此AH?AD?sin?ADE?5AHHB中，sin?ABH?，在Rt?A，所以直线AB?3AB6
6与平面BED所成角的正弦值为
7、（2016年全国I卷高考）如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.
（I）证明：G是AB的中点；
（II）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
P
A
GED
B
C
（II）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.
理由如下：由已知可得PB?PA，PB?PC，又EF//PB,所以EF?P，AE?F,因此PEF?平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影.
连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心. 由（I）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD?2CG. 3
由题设可得PC?平面PAB，DE?平面PAB，所以DE//PC，因此PE?21PG,DE?PC. 33
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA
?6，可得DE?2,PE?
在等腰直角三角形EFP中，可得EF?PF?2.
所以四面体PDEF的体积V?
8、（2016年全国II卷高考） 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE?CF，EF
交BD于点H，将?DEF沿EF折到?D'EF的位置.
（Ⅰ）证明：AC?HD'；
（Ⅱ）若AB?5,AC?6,AE?114??2?2?2?. 3235,OD'?,求五棱锥D??ABCEF体积. 4
试题解析：（I）由已知得，AC?BD,AD?CD.又由AE?CF得 AECF?，故AC//EF. ADCD
由此得EF?HD,EF?HD?，所以AC//HD?.. （II）由EF//AC得OHAE1??. DOAD4
由AB?5,AC
?6得DO?BO所以OH?1,D?H?DH?3.
?4.
于是OD??OH??1?9?D?H,故OD??OH.由（I）知AC?HD?，又AC?BD,BD?HD??H， 所以AC?平面BHD?,于是AC?OD?. 22222
又由OD??OH,AC?OH?O，所以，OD??平面ABC. EFDH9?得EF?. ACDO2
11969. 五边形ABCFE的面积S??6?8???3?2224又由
所以五棱锥D'?
ABCEF体积V?169??? 34PA?平面ABCD，AD?BC，9、（2016年全国III卷高考）如图，四棱锥P?ABC中，
AB?AD?AC?3，PA?BC?4，M为线段AD上一点，AM?2MD，N为PC的中点．
（I）证明MN?平面PAB；
（II）求四面体N?BCM的体积
.
（Ⅱ）因为PA?平面ABCD，N为PC的中点，
所以N到平面ABCD的距离为1PA. ....9分 2
取BC的中点E，连结AE.由AB?AC?3得AE?BC，AE?
由AM∥BC得M到BC的距离为5，故S?BCM?
所以四面体N?BCM的体积VN?BCM
AB2?BE2?. 1?4??2. 21PA45??S?BCM??. .....12分 323
10、（2016年浙江高考）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.
（I）求证：BF⊥平面ACFD；
（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.
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