张家界市民族中学2016年下学期期中考试
高二理科数学试卷
考生注意：考试时量120分钟 满分150分
一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项是正确的)
1.设随机变量?服从标准正态分布N?0，在某项测量中，已知P???1.96??0.950， 1?，
则?在???，?1.96?内取值的概率为
A. 0.025 B．0.050 C．0.950D．0.975
?=1.5x+45,其中x的取值依次为1,7,5,13,19,则y= 2.已知一个线性回归方程为y
A. 58.5B. 46.5C. 60D. 75
3.设a?R，则a?1是1?1 的 a
A．必要但不充分条件B．充分但不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知函数f?x??x5?2x4?x3?x2?3x?5，用秦九韶算法计算，当x?5时，V3?
A.27B.36C.54 D. 179
5.某班50人的一次竞赛成绩的频数分布如下：
[60,70)：3人，[70,80)：16人，[80,90)：24人，[90,100]：7人， 利用各组区间中点值，可估计本次比赛该班的平均分为
A.56 B.68 C.78D.82
6.若一个椭圆的内接正方形有两边分别经过它的两个焦点，则此椭圆的离心率为
A.1
2BC.D.
7.通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时 发生错误的概率是1，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数” 10
的原则判断，则判错一个信号的概率为
A．1711B．C． D．1002502501000
8.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选出两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的
个数为
A．18 B．12 C．6 D．24 9.执行如图1所示的程序框图,若输入n的值为10， 则输出S的值是 A．45 B．46
10. 给出如下四个命题：
①若“p?q”为真命题，则p,q均为真命题；
②“若a?b,则2?2?1”的否命题为“若a≤b，则2≤2?1”； ③“?x?R,x?x?
1”的否定是“?x0?R,x0?x0?1”； ④“x?1”是 “x?0”的充分不必要条件． 其中错误的命题是
A．①② B．②③
C．①③
D．③④
2
2
a
b
C．55 D．56
ab
图 1
11.方程x+y-1
()
=0所表示的曲线是
x2y2
12.从双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左焦点F引圆x2?y2?a2的切线，切点为T，延
ab
长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则MO?MT与
b?a的大小关系为
A．MO?MT?b?a B．MO?MT?b?a C．MO?MT?b?a D．不确定
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡上) 13.已知(?
1x
n的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项等于
14.在直角坐标系xOy中，设集合??{(x,y)|0?x?2,0?y?1}，在区域?内任取一 点P(x,y)，则满足x?y?1的概率是 ．
x2y2
15.一个圆经过椭圆??1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程164
为 .
16.已知命题p:“函数f(x)?2x2?2x?m2?5m1?在R上有零点”,命题q:函数22
f?x??2在区间?1,???内是减函数，若p?q为真命题，则实数m的取值范围为 x?m
三、解答题（本大题共6小题，共70分，要求写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 17（本小题10分）
已知a为实数，命题p:点M(1,1)在圆(x?a)2?(y?a)2?4的内部，命题q:?x?R，都
2有x?ax?1?0
（1）若命题p为真命题，求a的取值范围；
（2）若命题q为假命题，求a的取值范围；
（3）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围。
18（本小题12分） x2y23??1，动直线l:y?x?m 已知椭圆C:249
（1）若动直线l与椭圆C相交，求实数m的取值范围；
（2）当动直线l与椭圆C相交时，证明：这些直线被椭圆截得的线段的中点都在直线3x?2y?0上。
19（本小题12分）
4月23是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学号称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为 “非读书迷”
(1)根据已知条件完成2?2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与 n(ad?bc)2
性别有关？（附：k?,n?a?b?c?d）
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2
（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X).
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
0304050607080分钟
20（本小题12分）
在奥运会射箭决赛中，参赛号码为1～4号的四名射箭运动员参加射箭决赛。
（1）通过抽签将他们安排到1～4号靶位，试求恰有两名运动员所抽靶位号与其参赛号码相 同的概率；
（2）记1号、2号射箭运动员射箭的环数为?（?所有取值为0，1，2，3．．．，10），射中 靶环的概率分别为P1,P2，根据教练员提供的资料，其概率分布如下表：
①若1，2号运动员各射箭一次，求两人中至少有一人命中9环的概率；
②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由．
21（本小题12分）
已知曲线x2?y?8与x轴交于A，B两点，动点P与A，B连线的斜率之积为?
(1)求动点P的轨迹C的方程. 1. 2
?????????1(2)MN是动点P轨迹C的一条弦，且直线OM，ON的斜率之积为?.求OM?ON的最小值 2
22（本小题12分）
x2y213已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率e?，且过点Q(1,) 22ab
(1)求椭圆C的方程.
(2)椭圆C长轴两端点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的动点，定直线x?4与直线PA，PB分别交于M，N两点，直线PA，PB的斜率分别为k1,k2
①证明k1k2??3 ； 4
②若E(7，0)，过E，M，N三点的圆是否过x轴上不同于点E的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.
张家界市民族中学2016年下学期期中考试
高二理科数学（参考答案）
一、选择题
A A B D D C B A B C D B
13325 15. (x?)2?y2? 16. ?m?1 2424二、填空题 13. 15 14.
三、解答题
18. 【解析】：
x2y23??1整理得：9x2?6mx?2m2?18?0， （1）将y?x?m代入249
由??
0得??m?（2）设直线l与椭圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，由（1）知x1?x2??所以y1?y2?
19. 2m， 33mm(x1?x2)?2m?m，故线段AB的中点M(?,)在直线3x?2y?0上 232
20. 【解析】
2（Ⅰ）从4名运动员中任取两名，其靶位号与参赛号相同，有C4种方法，另2名运动员靶
位号与参赛号均不相同的方法有1种，所以恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率
2C4?11为 P?? 4A44
（Ⅱ）①由表可知，两人各射击一次，都未击中9环的概率为P=（1-0.3）（1-0.32）=0.476?至少有一人命中9环的概率为p=1-0.476=0.524
②?E?1?4?0.06?5?0.04?6?0.06?7?0.3?8?0.2?9?0.3?10?0.04?7.6 E?2?4?0.04?5?0.05?6?0.05?7?0.2?8?0.32?9?0.32?10?0.02?7.75 所以2号射箭运动员的射箭水平高.
21.【解析】
(1)在方程x?y?8中令y=0得：x=±2
所以A(-2，0)，B(2，0).
· =-， 整理得： + =1， 2， 设P(x，y)，则kAPkBP=
所以动点P的轨迹C的方程为 + =1.
(2设直线MN的方程为y=kx+m，M(x1，y1)，N(x2，y2)
y?kx?m
由 x2得：(1+2k)x+4kmx+2m-8=0， y2
??184
，x1x2=
2222所以x1+x2=-， +km·
=-，即+m==- ·
2y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k·因为kOMkON=-，所以·， ?m2=4k2+2，
?????????+=2-， OM?ON=x1x2+y1y2=???????????????????所以-2≤OM?ON<2，故OM?ON?????2 min
22.【解析】
(1)由题意知解得a=2，b=，
所以椭圆C的方程为+=1.
(2) ①证明：由(1)得A(-2,0),B(2,0),设P(x,y)， 则
x2
3(1?)yyy23k1k2???2?2?? x?2x?2x?44x?4
② 设PA，PB的斜率分别为k1，k2，P(x0，y0)，则k1k2=- ，
可令PA：y=k1(x+2)，所以M(4，6k1)，
PB：y=k2(x-2)，所以N(4，2k2)，
又kEM=- =-2k1，kEN=- ，所以kEMkEN=-1，
·=-1，解得m=1或m=7(舍)， 设圆过定点F(m，0)，则故过点E，M，N三点的圆是以MN为直径的圆，过x轴上不同于点E的定点F(1，0).
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