千锤百炼,赢在高三

千锤百炼，赢在高三

——提升高三数学复习有效性的策略研究

萧山三中杨林军

摘要：高三数学复习问题的探讨是每一位高三教师所关注的话题，高三复习时间紧,任务重,如何利用好有限的时间,提高复习有效性,是中学教育的一大课题。本文结合案例，反思当前高三复习的现状，结合自己的教学经验与教学体会，从“在概念学习中经历创造”、“在探究思考中体验提炼”、“在例题示范中强化训练”、“在作业讲评中强调反思”四个方面具体阐述了一个高三教师在高三数学复习中如何提升有效性的策略研究，并期以抛砖引玉，唤起更多的教师能聚焦高三数学复习，通过复习使学生在学业上有收获、提高、进步。

关键词：数学概念有效性策略研究

一、课题的提出

年年岁岁题不同，岁岁年年意相似。高三一年是高考复习年，年年要过，年年在过。选书，用书，讲课；找题，做题，组卷；猜测，强练，过关；一轮，二轮，模拟。这些都是我们熟悉的字句，都是我们运用自如的操作。

思考一：数学复习教学需要增长什么？

我们感觉到，越是到了高三年级，满堂灌的倾向，注重知识讲授、接受学习、机械训练的倾向就越严重，不少教师上课，随意性很大，目标不明确，究竟45分钟里要让学生获得哪些知识和能力，达到什么标准和水平，教者心中无数，学的人糊里糊涂。课堂教学结构杂乱，事前未作很好的安排与布局，哪个先讲，哪个后讲，哪些可以不讲，哪些地方让学生自主学习、思考、讨论??没有一个清晰的思路和方案。由此可见，高三复习教学，如何加强对主干知识的理解，如何关注知识的形成过程，如何感悟数学思想，如何揭示数学本质，是一个永恒不变的追求。

思考二：学生复习教学需要给予什么？

现象一：上课听得懂，作业不会做。

现象二：老师反复讲，学生照样错。

????

通过进行教学反思，我们发现当离开了课堂上老师创设的思维氛围，离开了优秀同伴的思维带动，大部分学生的反应往往是直觉的，他们不能独立制定解决问题的最佳方案，或者缺乏一些必要的认知策略，或者不能灵活运用已掌握的认知策略；数学学习比较困难的学生甚至表现为缺乏适当的解题步骤和规则系统，不能正确理解题意和选择适当的认知策略等。因此，在高三的数学复习中，我们能给予学生什么，是值得我们每一位教师思考。因此，高三复习教学，如何教会学生学会学习，如何促进学生探究精神，如何培养学生反思能力，如何提高学生解题水平，如何达到复习有效性，是教师必须思考的重要课题。

二、高三数学教学现状反思

对老师来讲，真正要上好高三教学却不是那么简单，根据对当前高三教学的分析和研究，我们认为，在整体认识和具体实践中，很可能出现一些突出的实践误区，对此必须引起警惕。

现状1：是否读懂数学

【案例1】《函数概念与表示》复习课中：一教师教学流程简略如下：教师先用约10分钟的时间复习函数的概念，罗列知识点，然后30分钟通过大量的例题和练习去训练，最后请学生归纳小结。他的授课程序：复习提问→讲解例题→课堂小结。

【反思】课后评课中，该教师认为要理解函数概念就是理解函数的三要素(定义域、值域、对应关系)，就是会求与这三要素有关的问题，所以采取了如上教学。但毕竟复习过程不是简单知识再现的过程

复习函数的概念，真正站在新的高度去理解函数，从而达到从新的角度去认识函数概念，加深理解函数的概念．数学教学教的是数学．只有当教师清楚知识的发展过程与发展方法，他才能带领学生“重演”知识，才能让学生学到“有根、有血、有肉的知识”，进而把“过程与方法目标”落到实处．只有当教师理解知识的本质、联系与结构，他才能把知识教“活”而不是教“死”，才能让学生学会学习数学，学会数学的、智慧的思考。

现状2：是否读懂学生

【案例2】《函数的值域》的常态课：教师一上来直接就搬出10多个题，学生思考，每讲一个例子总结一个求值域的方法，如：1.直接观察法：求函数y?1的值域；2.配方法：求函数y?x2?2x?5,x???1,2?的值域；3.判别式法：求函数x

3x?41?x?x2ex?1y?的值域；4.反函数法：求函数y?值域；5.函数有界性法：求函数y?x的值域；6.函数单调性法：5x?61?x2e?1

求函数y?2x?5?log3x?1,x??2,10?的值域；7.换元法：求函数y?x?x?1的值域；8.数形结合法：求函数y?(x?2)2?(x?8)2的值域；

9.不等式法：求函数y?(sinx?1212x?2)?(cosx?)?4的值域；10.多种方法综合运用：求函数y?的值域。sinxcosxx?3（上面只是列出十种求值域的方法，和每种方法一个例子，限于篇幅，这里只给出题目)

【反思】老师讲的津津有味，学生无动于衷。这里的问题出在哪呢？老师的备课“认真”，把能想到的方法都备好了，上课也很卖力．而问题是出在对学生的不了解，也就是没读懂学生所至。对基础较好的学生来说，应该是一堂好课，但如果学生基础较差，就是对牛弹琴了。像《函数的值域》的问题，应该不用把所有的求解方法都掌握，我们只需要教会一种解题的思想——数形结合的思想，就够用了。教师要清楚学生学习数学的基础、潜能、需求与差异，清楚学生学习特定数学知识已有的知识、生长点与潜在的困难，清楚学生的认知特点与认知规律。数学教学服务的对象是学生，离开对学生现状的准确把握，最漂亮、最完善的教学设计也达不到理想的效果。因此，“读懂学生”是高三复习教学的前提。

现状3：是否读懂教学

读懂教学是指教师清楚教学的本质与功能，掌握一定的教学方法与教学艺术，清楚学生的认识规律和教学的基本原则，能够把教与学作为有机的、统一的、相互促进的整体来加以处理．真实、自然、有效的探究呼唤教师引导学生在真实的情境中提出真实的、处于他们认知“最近发展区”内的问题，并用与学生已有的认知基础与认知策略相适应的方法进行探究。

以《函数的解析式》的复习为例：在讲解例题时，一些老师就直接讲解如下例子：

2【案例3】例1 若f(x?1)?2x?1，则 f(x)?．

这个对于基础较好的学生来说确是一道简单题目，但作为高三系统的复习，直接讲解例1，就有些脱节了，应该在进行例1教学之前，先进行以下例题的讲解

例2．若f(x)?2x2?4x?3,则f(x?1)?

解：f(x?1)?2(x?1)2?4(x?1)?3?2x2?1。

然后从例2出发，把思维逆向就是例1，即已知f(x?1)?2x2?1怎样求f(x)，把例2解答的过程逆向等回去，也就是f(x?1)?2x2?1?2(x?1)2?4(x?1)?3，再用函数相等的思想就有f(x)?2x2?4x?3，这样就得了一种求函数解析式的方法——配方法．并在此基础上，又介绍另一种方法——换元法：令，t?x?1，有x?t?1，从而有

2f(t)?2(t?1）?1?2t2?4t?3，

又由函数相等的思想得，f(x)?2x2?4x?3，因此，完美的完成函数解析式的问题的求解方法的教学．

【反思】上面虽是两道简单的题目，但是体现了教学中的“读懂教学”，能把真实、自然、有效的探究应用到了高三的复习教学中去．所以“读懂教学”，能使高三的复习更真实、自然、有效．

笔者觉得在追赶流行的同时，更有必要把热情沉淀为理性，静下心来对当前科学课堂的问题导学热作一番审视，从而进行更有效的探索。

其实，高三的复习教学也应该应用“三个读懂”的思想，把“三个读懂”的思想渗透到高三的复习中，才能更好的开展高三的复习教学．因此，在高三的复习中，要认真去体会“三个读懂”思想．

三、课堂教学动态生成的理性认识

（一）课题研究的理论依据

1.布卢姆“掌握学习”理论：

20世纪70年代，美国心理学家布卢姆以教育目标分类学为理论基础，以学生学习的诊断性评价、形成性评价和终结性评价为手段，创立了独具特色的掌握学习理论。这一理论的主要包括以下几个方面。

（1）学生具备必要的认知结构是掌握学习的前提：布卢姆认为，学生原有的认知结构决定着新的知识的输入、理解和接纳，对学习结果及其以后的学习都有重大的影响。所以，布卢姆十分强调学生在学习前应具备所需的认知结构。由于不同学生的认知结构在数量和质量上存在差异，他主张教师应先对学生进行诊断性评价，根据诊断性评价的结果，为学生提供预期性知识，“使教学适合学生的需要和背景”。

（2）学生积极的情感特征是“掌握学习”的内在因素：布卢姆认为，学生成功地学习一门学科与他的情感特征有较高的相关。那些具有较高学习动机、对学习有兴趣、能积极主动学习的学生，会比那些没有兴趣、不愿学习的学生学得更快更好。教师在教学中应尽可能让每个学生都感受到高峰的学习体验，获得成功的快乐。由于一次又一次的成功，学习的愿望得到加强，成就动机逐渐形成，学习的内驱力就会增强。

（3）反馈——矫正性系统是“掌握学习”的核心：布卢姆指出：“掌握学习策略的实质是群体教学并辅之以每个学生所需的频繁的反馈与个别的矫正性的帮助”。教学过程的每个步骤都必须通过评价来判断其有效性，并对教学过程中出现的问题进行及时反馈和调整，从而保证每一个学生都能得到所需要的特殊帮助。

2.弗拉维尔“元认知”理论：

元认知的概念是在20世纪 70年代由美国心理学家弗拉维尔首先提出的。他认为，元认知是对认知的认知。具体地说，数学元认知指的是个体对自己或他人数学认知活动的过程、结果及其有关事项的认识的控制。数学元认知概念包括数学元认知知识、数学元认知体验、数学元认知监控3种成分，此构成了数学元认知结构。数学元认知知识是主体具有的数学认知活动的一般性知识，也就是主体对于什么因素影响人的认知活动的过程和结果。它包括数学认识主体方面的知识，数学认识任务，目标方面的知识和数学认识活动中的策略方面的知识。数学元认知体验是指伴随着认知活动的情感体验。数学元认知监控是主体在进行数学认知活动的全过程中，将自己正在进行的认知活动作为意识对象，不断地将其进行积极、自觉地监控和调节，以达到预定的目标。它主要包括制订计划、实际控制、检查结果、采取补救措施。在这 3 种成分中，数学元认知监控是数学元认知中的核心成分，它是学习成功的关键。究其实质，数学元认知是个体对自己的认知活动的自我意识和自我监控。它一方面使学生了解自己信息加工的过程和能力，另一方面又使学生懂得如何采取措施以调节和控制自己的信息加工过程。

（二）课题概念的界定

1．有效教学

从教学投入与教学产出的关系来看，有效教学是有效率的教学；是指在一定的教学投入内（时间、精力、努力）带来最好教学效果的教学；是指教师遵循教学活动的客观规律，以尽可能少的投入，取得尽可能多的教学效果，从而实现特定的教学目标。

从学生的学习出发点来看，有效教学就是促进学生有效学习，使学生学好；是指成功实现了教学目的――学生愿意学习和在教学后能够从事教学前所不能从事的学习的教学。

“有效教学”可以体现为三个关键词：一是有效率，二是有效果，三是有效益；它也可以体现为三个衡量标准，即三个80％：⑴本节课80％以上的学生积极参与教学全过程；⑵本节课所学内容80％以上学生能掌握。有了每一节课的两个80％，就能保证教学的最终质量，也就是第三个80％——高考时，80％以上学生都能取得合格以上的成绩。前两个80％只是评价一节课教学效果高低的前提，还不是评价一节课好坏的全面标准。因为一节课的好坏，除教学效果外，还应有其他方面的内容。但保持一个较好的教学效果，是对课堂教学的基本要求。达不到这个基本要求，其他方面的评价就没有意义了。

2．有效教学策略

是指教师运用新课程理念在实施新课程中为实现教学目标，使学生掌握有效学习策略而采用的一系列具体的问题解决行为方式。它包括合理组织教学过程，选择具体的教学方法和材料，制定教师与学生共同遵守的教学行为程序，进行发展性教学评价等。

四、高三数学复习有效性的策略研究

基于目前高三数学复习的现状和对上述理论的认识，提升高三数学复习教学的有效性，在实践中我们确定了以下策略（用流程图表示），为高三数学的复习教学提供经验，以便更好地指导高考复习教学，推动新课标的落实，从而更好地促进学校的发展、教师的进步、学生的成长，全面提高教育教学质量。

策略1 在概念学习中经历创造

教材反映的是知识的一种逻辑形式，未必是知识的建构过程。教师在使用教材，讲解概念时应从学生的实际和需求出发，对一些课本内容进行深入探究、合理延伸和拓展，进行二次创造，变孤立的、静态的知识为有助于学生认知的、联系的、动态的知识，提高学生的学习能力和学习效率。若在高三复习教学中能很好的感悟、品味从“问题----知识----创造”的建构过程，对于提高学生数学地提出、分析、解决问题的能力、数学的表达和交流的能力、发展独立获得数学知识的能力，将大有益处

1. 从内到外，迁移概念

【案例1】（2010浙江理科22题）已知a是给定的实常数，设函数f(x)?(x?a)2(x?b)ex，b?R，x?a是f(x)的一个极大值点．

(Ⅰ)求b的取值范围； (Ⅱ)（略）

【参考答案】解：

f'(x)?ex(x?a)[x2?(3?a?b)x?2b?ab?a]，

令g(x)?x2?(3?a?b)x?2b?ab?a,

则??(3?a?b)?4(2b?ab?a)?(a?b?1)?8?0

于是，假设x1,x2是g(x)?0的两个实根，且x1?x2.

（1）当x1=a或x2=a时，则x?a不是f(x)的极值点，此时不合题意。

（2）当x1?a且x2?a时，由于x?a是f(x)的极大值点，故x1<a<x2,即g(x)<0。即a?(3?a?b)a?2b?ab?a?0,

（-?，?a）所以b??a,所以b的取值范围是.

分析：第一问中，有些学生直接展开、求导、解不等式（方程），结果云里雾里无果而终。是不是真的很难解决吗，分析条件“x?a是f(x)的一个极大值点”，求导后应该有f?(x)?(x?a)g(x)ex的形式，显然f(x)?(x?a)2(x?b)ex中(x?a)2看成一个整体，求导变简单了（见参考答案）。

我想我们的复习不能止于此，“多考一点想少考一点算”是近几年浙江省高考的一大亮点。于是，让我们重新来审视此题，第1问主要考查就是函数极值的概念，由极值概念可知，若函数在x?a处取得极大值，则在它的小邻域内任取一个x0，均有f(x0)?f(a)。引导学生利用导数极值概念解决。

另解：由极大值定义和题中的条件f(a)?0，故f(x0)?0，即f(x)?(x0?a)2(x0?b)e

注意到(x?a)2?0，ex0x0?0 ?0，故(x0?b)?0，当x0取a时，就有a?b?0，即b??a，

当b??a时，函数显然没有极值，故b??a

【反思】大多数考生没能从概念的理解中找出出路，忽视了最基本的定义和概念。数学概念的理解和迁移为数学最为本质的内容之一，在平时的教学中应给予足够的重视。在学习中要重视概念的形成、理解和迁移，学好概念，夯实基础，只有这样，我们才能始终立于不败之地。

2. 返璞归真，升华概念

任何一门艺术的最高境界就是“返朴归真”，“数学教学的有效性关键在于对数学本质的把握、揭示和体验”。这种“对数学本质的把握、揭示和体验”只有在应用中才能得到验证，在应用的同时使得概念学习得到“升华”。

【案例2】在单调性的教学中，让同学们在教师的层层启发和设问下经历以下过程：

第一次经历：(1)函数图像形象描述：上升（或下降），

(2)数学化：随x的增大，y的值也增大（或缩小）

(3)抽象概括为数学符号语言：?x1,x2?D，且x1?x2，都有f(x1)?f(x2)；

?x1,x2?D，且x1?x2，都有f(x1)?f(x2)；

（4）再对此作本质的描述：增函数（x的值大，y的值也大；x的值小，y的值也小）

减函数（x的值大，y的值反而小；x的值小，y的值反而大）

第二次经历：实际上，单调性的概念就是将图像的上升和下降的几何问题，数字化为比较自变量和函数值的大小的代数问题，

甚至可以看作比较x1?x2和f(x1)?f(x2)的符号关系，同号为增，异号为减。再次可以概括为：

f(x1)?f(x2)?0，或?x1,x2?D，都有(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0 ?x1,x2?D，都有x1?x2

?x1,x2?D，都有f(x1)?f(x2)?0，或?x1,x2?D，都有(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0 x1?x2

第三次经历：然后，展示(2009浙江理科第10题)

对于正实数?，记M?为满足下述条件的函数f(x)构成的集合：?x1,x2?R且x2?x1，

有??(x2?x1)?f(x2)?f(x1)??(x2?x1)．下列结论中正确的是 ( )

A．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，则f(x)?g(x)?M?1??2

B．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，且g(x)?0，则f(x)?M?1 g(x)?2

C．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，则f(x)?g(x)?M?1??2

D．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，且?1??2，则f(x)?g(x)?M?1??2

【反思】在对单调性的概念的学习中，并不意味简单的回顾，原创性较强的高考试题也不是无本之木、无源之水，优秀的试题往往是题在书外，根在书中，只有充分揭示概念的本质，重视概念的各种形式之间的转换，升华概念，才能让我们的学生真正达到复习的目的。

策略2 在探究思考中体验提炼

数学大师华罗庚曾说过，数学学习有两个过程：一是由薄变厚，二是由厚变薄。基于学习能力而言的学习是由薄变厚的过程，而基于学习任务而言的学习是由厚变薄的过程，即将知识进行提炼、概括、总结以便在大脑中形成思想、观点、方法和能力。探究性问题通常是指必须经过观察、试验、分析、比较、类比、归纳、猜测、推断等探索活动把问题的条件、解题的依据、解题的方法或问题的结论加以明确的问题。这类问题不具有定向的解题思路，解题时总要有合情合理、实事求是的分析，要把归纳与演绎协调配合起来，把直觉发现与逻辑推理相互结合起来，把一般能力和数学能力同时发挥出来。

1. 举三反一,渗透思想

【案例3】已知集合A?{x|x2?(m?2)x?1?0,x?R},若A?R???,求m的取值范围。

探究一：这是一个方程根的讨论问题，由条件可知方程x2?(m?2)x?1?0没有正根，故讨论如下：

① 方程无解，即???m?2??4?0，得?4?m?0； 2

② 方程有解，但由于x1x2?1?0，所以方程为两个（可能为重根）负根，

????m?2?2?4?0,即?解得m?0。

?x1?x2???m?2??0,

综上，实数m的取值范围为??4,???。

探究二：方程x??m?2?x?1?0根的情况我们可以转化成函数f?x??x??m?2?x?1与x轴的交点情况，即函数22

y?f?x?与x轴在正半轴上没有交点。

图1 图2

2① 函数y?f?x?与x轴没有交点，如图1，即???m?2??4?0得?4?m?0；

m?2?b????0,?2a2?② 函数y?f?x?与x轴有交点，由于f?0??1，则交点在x轴负半轴，如图2，即有充要条件：?解2???m?2??4?0,??f?0??1?0,?

得m?0。

综上，实数m的取值范围为??4,???。

在探究二中，运用“函数与方程”的转化思想，判断函数f?x??x2??m?2?x?1与x轴的交点的情况，使问题有一个比较直观的认识，但美中不足的是y?f?x?中由于一次项系数b?m?2的变化造成抛物线的位置变动，从而给分类讨论带来一些困难，那么如何改进呢？

探究三：为了消除f?x??x2??m?2?x?1中一次项系数b?m?2的变化造成抛物线的位置变动，可运用“分离参数”，即解出m。

2由于x?0显然不是方程x??m?2?x?1?0的根，即x?0，所以可得

11???m?2?，设定两个函数令y???m?2?，y?x?，因此原问题同样可以转化成两个函数的交点（没有横坐标为xx

1正的交点）的问题。又由于y?x?不含参数，因此问题处理起来比较方便。具体解法如下： xx?

⑴当?2???m?2??2，即?4?m?0时，两个函数没有交点，即原方程无解；

⑵当??m?2???2即m?0时，在第三象限有两个重合的交点，即原方程有两个相等的负根；

⑶当??m?2???2即m?0时，在第三象限有两个不重合的交点，即原方程有两个不相等的负根。

综上，实数m的取值范围为??4,???。

【反思】探究二和探究三都采用了“分类讨论”、“函数与方程”、“数形结合”的数学思想，这两种探究中选用的函数不同，而解决问题的简便程度不一样。

1??y?x2??m?2?x?1?y?x?究其原因，探究二选用了?，而探究三选用?x。 y?0???y??(m?2)

是什么原因造成了计算量上的差异？由于y?x??m?2?x?1中存在参数m，它有不同的取值造成函数图象的变化；2

探究三中由于y?x?1不含参数，而讨论常数函数y???m?2?就比较方便了。 x

那么，这个现象对运用“函数与方程”、“数形结合”的思想进行解题时有什么启发呢？

⑴首先应当从方程、不等式等问题中构造出两函数，这两个函数应该是我们熟悉的函数；

⑵在构造函数时尽量将问题中的参数分离，将它归入更简单的函数中，方便作图、读图，将图像信息转化为代数语言。所以，在平时的学习中，既要做到“举一反三”，也要注意“举三反一”。

2. 探究思考,有法可依

复习“立体几何”时，笔者引入以下问题。

【案例4】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.

(1)求FA与平面PAD所成的角;

(2)求AF与平面PCD所成的角正弦值;

(3)求EC与平面PAC所成的角的正弦值;

(4)求PC与平面EAC所成的角的正弦值。

解析：

(1)可证CD⊥平面PAD，取PD中点G，连结FG，AG，证FG//CD，

即FG⊥平面PAD，∴?FAG为所求的线面角，求得?FAG?30

(2)先作AH⊥PD，连结HF，∵CD⊥平面PAD，∴平面PCD⊥平面PAD，

可证AH⊥平面PCD，∴?AFH为所求的线面角，求得sin?AFH??AH6。 ?AF3

（3）先作BO⊥AC，连结PO，取PO中点I，连结EI，IC,可证EI//BO，

∵平面PAC⊥平面ABCD，可证BO⊥平面PAC，即EI⊥平面PAC∴?ECI为所求的线面角，所以

sin?ECI?EI解之； EC

（4）法一：仿（2）解法，作PK⊥EC，AE⊥平面PBC，即平面PCD⊥平面PAD，

可证PK⊥平面EAC，∴?PCE为所求的线面角，从而易解之；（此法难找线面角）

法二：作PK⊥平面EAC，连结KC，?PCK为所求的线面角，显然CB?平面PAB， 11S?PAE?CB,VP?EAC?S?EAC?PK, 33

PK通过体积相等，求得PK,所以sin?PCK?解之. PC易求得VC?PAE?

设计方案：本题的原型为2010湖北文科高考题，因为浙江高考考纲中对“直线与平面所成的角”很重视，以近几年来的浙江省高考真题来看，多次考到了该知识点，故变式为该问题，供学生思考、探究。

学生反馈：对于⑴⑵两题，全班基本能做出，对于后两题，做不出第⑶题的人比较多，而大多数学生做不出第⑷题。

原因分析：如何求“线面角”关键在于“作出平面的垂线”，这一点，很多学生存在下列3个现象：

1．根本找不到即不会找；

2．找错了；

3．找对了，却难以证明或证明过程不详细。

【反思一】笔者认为，如何找到垂线，还在于分析条件。在已知条件中，如何找出“线?面”很重要。因为“线?面”不光有利于求“线面角”，对证明“线?线”“面?面”以及求“二面角”同样有帮助。

本题中，可以引导学生如何分析条件，去找出更多的“线?面”，如DA/CB?平面PAB，BA/CD?平面PAD，AE?平面PBC等等，条件分析透，对思考下面的几个问题，大有帮助。

如（1）中从“CD?平面PAD”入手，可过F点做CD的平行线即可找到“线面角”；

（2）中通过“CD⊥平面PAD” ，即“平面PCD⊥平面PAD” 得到“线?面”，找到“线面角”；

（4）中通过“AE⊥平面PBC”，即平面PCD⊥平面PAD，找到平面EAC的垂线。

【反思二】四个小题求“线面角”的方法归类如下：

① 先找已知平面的垂线，作该垂线的平行线；（如（1））

② 再找已知平面的垂面，作两面交线的垂线；（如（2））或者①②综合（如（3），此题设计类似2010年浙江省文科数学高考中的解答题）

③若不能用以上几何方法找到“线面角”，还可以用等体积法。（如（4））

再如，复习“二面角”时，笔者还是以上题为例，设计了如下问题，供学生思考、探究。

【案例5】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=AD=2，

(1) 求二面角B-PD-A的余弦值;

(2) 求二面角B-PC-D的余弦值;

(3) 求二面角B-PD-C的余弦值;

(4)若E是PD的中点,求二面角E-BC-P的余弦值;

(5) 求二面角B-PC-A的余弦值.

【剖析】该题虽然比较简单，但从中涉及的“如何作出二面角的平面角”，学生经

???研究两个面?过探究、思考及教师点拨，可归纳、提炼出以下方法：???研究“线?面”??

第（1）（2）（3）小题方法比较简明，直观，就不一一解释了。形（如（1））?等腰三角形与等腰三角?形（如（2））?全等三角形与全等三角?等腰三角形与直角三角形（如（3））?4））?交线?面（如（?5））?线?一个半平面（如（

第（4）小题：可发现该两个面的交线CB?平面PAB，顾只需找到平面PAB与平面EBC、平面PBC的两条交线即可。过点E作EF∥AD，连接BF,易得二面角E-BC-P的平面角为?PBF。

第（5）小题：与前四题方法不同，前四题均从二面角的定义出发来找平面角，而第（5）小题直接找角比较困难，方法与 “三垂线” 定理有关，对高三学生复习而言，也值得一讲。方法如下：

设BD?AC?O,易证明BO?平面PAC,过O作OH?PC,连接BH,再证PC?平面BOH,所以BH?PC,OH?PC,所以?BOH就是所求的角。方法可阐述为：“先找一个半平面的垂线，过垂足再作交线的垂线”。

【反思】当然，求二面角还有一种方法，即利用“一个半平面在另一个半平面上的投影面积与其本身面积之比是该二面角平面角的余弦值”，其本质与“三垂线”定理类似。但纵观近五年浙江省文科数学高考题，只有2011年考了“二面角”。所以笔者认为，依据近几年的考试大纲要求，只从“定义”层面求二面角的平面角，对“二面角”的求解不必探究太深、太难，所以用以上五种方法作出二面角的平面角，方法比较全面，让学生真正能够做到“有法可依”了。

策略3 在例题示范中强化训练

例题是数学教材的核心内容，概念的形成、规律的揭示、技能的训练、智能的培养，往往要通过例题教学来进行。对例题从不同的角度、层次、情形、背景中变式探究，以暴露问题的本质，揭示不同知识点之间的内在联系，使一题多用、多题重组、有本有源，使不同层次的学生都有所收获。使学生在一个个变化的问题中领悟到知识的和谐，同时培养了学生思维的灵活性、广阔性、深刻性与创造性。

1. 一题多变,青出于蓝

例如，笔者以2010年浙江省文科数学高考中的解答题为例：

【案例6】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，,设S为△ABC

的面积，满足S?

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求sinA?sinB的最大值。

第（1）小题，S?2a?b2?c2)。 3213(a?b2?c2)?absinC??2abcosC 424

?tanC??C?60?,考查三角形公式的综合应用。

第（2）小题，sinA?sinB?sinA?sin(120?A)?

考查三角函数模型“y?Asin(wx??)”求最值。

这是浙江省文科数学高考的一个特点，将解三角形与三角函数综合着考。针对第（2）小题，作为例题教学，可适当变式，加以拓展，强化学生训练。

拓展1：求sinA?sinB最大值；

分析： ?3sinA?cosA?sin(A?30?)?, 22

sinA?sinB?sinAsin(120??A)?

题多了一步“先降次”的过程。

拓展2：求sinA?sinB

22223131131sinAcosA?sin2A?sin2A?cos2A??sin(2A?30?)?,比原2244424最大值： 22?1?cos2A1?cos(240??2A)?? 分析：sinA?sinB?sinA?sin(120?A)?22

31sin2A?cos2A?1?sin(2A?30?)?1，过程更复杂，化简能力要求更高。 442

拓展3：若C?2，求a?b（或周长）的范围：分析：可根据正弦定理ab24??? sinAsinBsin60?得a?b?4

3(sinA?sinB),从而转化为原例题解决，体现了三角形中常见的“边化角”思想，归纳为“正弦定理与三角函

数模型相结合”的方法。也可依据条件对角对边已知，

利用余弦定理c?a?b?2abcosC?4?a?b?ab,再利用a?b?ab?(

化为(a?b)?4?3?(

结合”的方法。

拓展4：若c?2,求ab(或面积）的范围。

拓展5：若c?2,求a?b的范围。 22222222a?b2)， 2a?b2)求得：a?b?4，再依据三角形边的性质a?b?2求之，归纳为“余弦定理与基本不等式相2

拓展4,5均可用拓展3中的两类方法解决，孰优孰劣，供学生去反思。

拓展6：若c?2,求a?b范围。

学生在训练时，发现“余弦定理与基本不等式相结合”就无用武之地了，而利用“正弦定理与三角函数”显然迎刃而解。

【反思】上例采用一题多变的形式，对原题加以拓展，其渗透的方法可归纳为“余弦定理与基本不等式相结合”与“正弦定理与三角函数相结合”。学生经历一个个问题的变化，训练中逐渐领悟到知识间内在的联系与区别，挖掘出问题的本质，激发了思维的灵活性、广阔性、深刻性与创造性。

至此，为了强化学生训练，该例题还可以再创造。

拓展7：已知?ABC是半径为1的圆的内接三角形，求?ABC面积的最大值。

分析：如何求?ABC面积的最大值，即构造三角函数，通过正弦定理，将边转化为角。但是三角形中有三个角，虽说通过三角之和为180，化为两角关系，那么这两角如何定位，有难度，教师可按照解题思路重新设问，形成探究性问题。试探究：

（1）若C= （tt为定值），则当A,B分别为多大时，S?ABC最大？

（2）若C= （tt为变量），则当A,B分别为多大时，S?ABC最大？

解析：（1）根据正弦定理 ?

abc?=?2R?2,得sinAsinBsinC

1S?ABC?absinC?2sinAsinBsint?2sintsinAsin(A?t)2

?2sint(sin2Acost?sinAcosAsint)

?sint[(1?cos2A)cost?sin2Asint]

?sint[cost?cos(2A?t)]

所以当cos(2A?t)=-1,2A+t=?,即当A=B=?-t

2时，S?ABC最大。

（2)由(1)知，要使S?ABC最大，则S?ABC=2sintsin2

?2sintcos2??t2t?sint(1?cost)2

令f(t)?sint(1?cost),则f'(t)?cost(1?cost)?sin2t

1??2cos2t?cost?1?0,解得cost?或（舍去），故-1t=. 23

当t?(0,),f'(x)?0.f(t)增；3

当t?(,?),f'(x)?0.f(t)减，3所以，当t????

3时，S?ABC最大。

所以，半径为1

【反思】利用“正弦定理与三角函数求最值”相结合的方法是此题最主要的解题思路，要建构一个三角函数，就要敢于设角，设角为变量或是常量，就是该题的难点。学生通过探究，先设一角为常量，另一角为变量，建模求最值，将模型化作一个角的三角函数，常量化变量，迎刃而解，大大增强了学生的探究信心，提高了解题能力，强化了训练水平，思维发展得到了质的飞跃。

2. 另辟蹊径,殊途同归

【案例7】再看拓展6：若c?2,求a?b范围。

分析：根据该题的条件与问题，发现只与边有关，学生第一印象就是利用余弦定理，即c2?a2?b2?2abcoCs?4?a2?b2?ab,此时问题就转化为在二元齐次条件下如何求二元函数范围的代数问题了。教师提示：a?b?ab?4,化为（a?22b232)?b?4，a，b可否只用一个变量表示？ 24

学生马上联想到椭圆的参数方程，想到此题可用“三角换元”的思想来解决。

b?2cos??2sin?(?为参数），242设a?b?2cos??sin??sin??4sin(30???), 3则a?2cos??,b??,代入，得a?

转化为三角函数模型“y?Asin(wx??)”求范围了。此题的结果与用“正弦定理与三角函数相结合”化得的结果不谋而合，但方法却完全不同，可以说是另辟蹊径。为此，笔者立即想到2011年浙江理科的一道高考题：

22【引例1】设x,y为实数，若4x?y?xy?1,则2x?y的最大值是此题考查的是基本不等式的应用

分析：常规方法：∵4x2?y2?xy?1，∴(2x?y)2?3xy?1，即(2x?y)?

223?2xy?1， 2∴(2x?y)?32x?y28()?1，解之得：(2x

?y)2?，即?2x?y?22522若用“三角换元”法：4x?y?xy?(2x?y2152y)?y?1,设2x??cos?,y?sin?, 41644

代入，得2x?y?cos??3

sin??2sin(???)(其中tan??)，从而求得2x?y的最大值。 53

【反思】此题用“基本不等式”的方法虽然简单，但有局限性，根据条件，只能求2x?y的问题，而“三角换元”法，过程略有复杂，但具有一般性，弥补了“基本不等式”条件的局限性。用“三角换元”法，不光可以在二元齐次条件

，还可以解决如下问题。 Ax2?Bxy?Cy2?D(D?0)下求二元函数S?ax?by的取值范围

【引例2】（2006年安徽高中数学竞赛初赛）

设x,y?R,且x?xy?y?3,求x-xy?y的最大值与最小值。（解略） 2222

，求【引例3】（2008年全国高中数学联赛陕西赛区）若实数x,y满足x?y?1

略解： 222xy的最小值。 x?y?1

2xy2sin?cos?t2?1本例采用“多设x?cos?,y?sin?,代入，得???t?（令1t?sin??cos?)【反思】x?y?1sin??cos??1t?1

题一练”的形式，通过采用多个例子，最终阐述同一个思想方法，这种“殊途同归”的例题示范与训练，对学生巩固题型、提炼方法、激发思维、培养创造起了很好的作用。

策略4 在作业讲评中强调反思

人的成长、学业的长进离不开自我反思和调控，而一个人反思能力的高低会直接影响他的成长速度和发展水平。目前学生处理作业大都是任务观点，很少关注作业中所考查的知识点，思维方法，从而导致做了大量的题之后，也不知道自己学会了什么，不会什么，浪费了时间，学习效率不高。在作业的讲评中要让学生有时间、有机会对自己的思维过程加以反思，有时间阐述他们的不同的思考途径和解题方法，让他们在反思的过程中真正领悟数学的思想、方法，提高思维能力。

数学是思维的科学，可以说，没有抽象就没有数学。不光在课堂教学中，还是在作业讲评，引导学生学会抽象，归纳，培养学生的抽象概括能力是很重要的。

1. 合二为一,反思本质

在一次复习轨迹方程的作业中，有这样一道选择题与一道填空题。

【案例8】 1.选择题：?ABC的两个顶点A、B坐标分别为（0,-6）与（0,6），边AC、BC所在直线的斜率之积为4?,则顶点C的轨迹方程为（） 9

x2y2x2y2

(A)??1(x?0) (B)??1(x?0) 81363681

x2y2x2y2

(C)??1(y?0)(D)??1(y?0) 81363681

2.填空题：?ABC一边的两端点为B(0,6),C(0，?6),两边所在直线的斜率之积为

迹。 4，则顶点A的轨9

x2y2y2x2

??1(y?0),??1(y??6,或y?6).。答案：前者轨迹为81363681