成都七中2017届一诊模拟考试数学试卷（理科）
考试时间：120分钟总分：150分
命题人：刘在廷审题人：张世永
一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案凃在答题卷上．）
1.设全集为R，集合A?{x|x2?9?0},B?{x|?1?x?5}，则A?CRB?（） A(?3,0)B(?3,?1]C(?3,?1)D(?3,3)
2.设i为虚数单位，复数i(1?i)的虚部为（）
A?1 B1 C?i Di ????????????3.已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP?2OA+BA，则（）
A．点P不在直线AB上B．点P在线段AB上
C．点P在线段AB的延长线上D．点P在线段AB的反向延长线上
4.我校教育处连续30天对同学们的着装进行检查，着装不合格的人数
为如图所示的茎叶图，则中位数，众数，极差分别是（）
A 44，45，56B44，43，57 C44,43，56 D 45，43,57
5.在三角形ABC中，sinA?
A 45,cosB?，则cosC?（） 51333636333或 B CD 以上都不对 65656565
6.如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（）
A n≤5
Bn≤6
Cn≤7
Dn≤8
7.住在狗熊岭的7只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图。为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二至少一个被选为组长的概率为() A 1111110BC D2422121
8.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
A2?
4
2??x?y?1?0?x?y?2?0?,又 9. 如果实数x,y满足关系?x?0???y?0
2x?y?7?c恒成立，则c的取值范围为（） x?3
AB???,3?C?3,??? D?2,3?
gx）?（fx）
?ax与x轴有三个不同的交10.已知函数f(x)?|lnx|，若在区间[,3]内,曲线（
1
13
点,则实数a的取值范围是 ( ) A[ln31ln3111,) B[,) C(0,) D(0,) 3e32ee2e
tanx的最小正周期为n，则m?n的2?2tan2x11.函数y?cosx?sin2x的最小值为m,函数y?
值为（）
??A?
??
C?
?? 22x2y2c12.
已知椭圆2?2?1(a?b?0,c?e?)，其左、右焦点分别为F1,F2，关aba
a2a2
于椭圆有以下四种说法：（1）设A为椭圆上任一点，其到直线l1:x??的距,l2:x?cc
|AF1||AF2|离分别为d2,d1，则；（2）设A为椭圆上任一点，AF1,AF2分别与椭圆交于?d1d2
|AF1||AF2|2(1?e2)（当且仅当点A在椭圆的顶点取等）；（3）设A为??B,C两点，则2|F1B||F2C|1?e
椭圆上且不在坐标轴上的任一点，过A的椭圆切线为l，M为线段F1F2上一点，且|AF1||F1M|，则直线AM?l；（4）面积为2ab的椭圆内接四边形仅有1个。 ?|AF2||MF2|
其中正确的有（）个.
A 1 B 2 C 3 D 4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。）
13.若a?8
??
0a??sinxdx，则?x??的展开式中的常数项为________(用数字作答) x??
14.已知非直角△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，其中c?1，又C??，若3sinC?sin(A?B)?3sin2B，则△ABC的面积为_________.
15. 具有公共y轴的两个直角坐标平面?和?所成的二面角
??y轴－?等于60?，已知?内的曲线C?的方程是
y2?4x?，曲线C?在?内的射影在平面?内的曲线方程为
y2?2px,则p?_____________.
16.已知f(x)?|x?2017?|x|?2016??|?x|?
21?|x|??1?|?x|?2017x|?(R，x2(x2?k2?2k?4)?4且满足f(a?3a?2)?f(a?1)的整数a共有n个，g(x)?的最(x2?2)2?2x2
小值为m，且m?n?3，则实数k的值为___________.
2
三．解答题（17-21每小题12分， 22或23题10分，共70分．在答题卷上解答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 已知等比数列{an}满足a1?(1）求数列{an}的通项公式；
(2）设f(x)?log3x,bn?f(a1)?f(a2)??
?f(an),Tn?11，a4?81 3111????,求T2017 b1b2bn
18.参加成都七中数学选修课的同学，对某公司的一种产品销量与价格进行了统计，得到如下数据和散点图：
（参考数据：?(x?x)?(y?y)??34580,?(x?x)?(z?z)??175.5 iiii
i?1i?1
6
i?166 ?(y?y)ii?162?776840，?(yi?y)?(zi?z)?3465.2）
（1）根据散点图判断，y与x，z与x哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）？
（2）根据（1）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）.
（3）定价为多少元/kg时，年利润的预报值最大？
3
19.如图，直角三角形ABC中，?BAC?60?,点F在斜边AB上，且AB?4AF,D,E是平面ABC同一侧的两点，AD?平面ABC,BE?平面
ABC,AD?3,AC?BE?4.
⑴求证：平面CDF?平面CEF;
⑵点M在线段BC上，且二面角F?DM?C的余弦值为
2，求CM的长度。 5
20.平面上两定点F1(?1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|?|PF2|?k
（1）求动点P的轨迹；
1,0)，过M的动直线l（斜率存在 2
且不为0）与曲线C交于P,Q两点，S(2,0)，直线l1:x??3，SP,SQ分别与l1交于A,B两 （2）当k?4时，动点P的轨迹为曲线C，已知M(?点.A,B,P,Q坐标分别为A(xA,yA)，B(xB,yB)，P(xP,yP)，Q(xQ,yQ) 11?yyB求证：A为定值，并求出此定值； ?yPyQ
21.已知f(x)?asinx,g(x)?lnx，其中a?R（y?g?1(x)与y?g(x)关于直线y?x对称）
（1）若函数G(x)?f(1?x)?g(x)在区间(0,1)上递增，求a的取值范围；
1?ln2； 2(1?k)k?1
（3）设F(x)?g?1(x)?mx2?2(x?1)?b(m?0)，其中F(x)?0恒成立，求满足条件的最小整数b的值。 （2）证明：?sinn
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 选修4-4:坐标系与参数方程
?x??1?t??2(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为22.已知直线l的参数方程为??y??1t?2?
?极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为??4sin(??). 6
（1）求圆C的直角坐标方程；
?（2）若P(x,y)是直线l与圆面??4sin(??)的公共点，求3x?y的取值范围. 6
选修4-5：不等式选讲
23.已知函数f?x??x??mx?
⑴当m?2时，求不等式f?x??4的解集；
⑵若m?0时，f?x??2m恒成立，求m的最小值．
4
成都七中2017届一诊模拟考试数学试卷（理科）(参考答案)
一．选择题
1-5：BADBC 6-10：BCDCA 11-12：BA
二、填空题
13.1120;
三．解答题
17. 解：（1）∵{an}为等比数列，设公比为q 15.4 16.0或-2 11111a1??q?即数列?an?是首项为公比为的等比数列 338133
1?an?()n 3
(2）由已知可得：f(an)??n
n(n?1)111??2(?) 则：bn??1?2?3?……-n?? 故：2bnnn?1又a4?
111111??) Tn??2?(1?)?(?)?……+(?)???2(1?
n?1223nn?1??
2017T2017?? 1009
19.证明：（Ⅰ）∵直角三角形ABC中，∠BAC=60°，AC=4，
∴AB=8，AF=AB=2，由余弦定理得CF=2且CF⊥AB．
∵AD⊥平面ABC，CF?平面ABC，
∴AD⊥CF，又AD∩AB=A，∴CF⊥平面DABE，
∴CF⊥DF，CF⊥EF．
∴∠DFE为二面角D﹣CF﹣E的平面角．
又AF=2，AD=3，BE=4，BF=6，
故Rt△ADF∽Rt△BFE．∴∠ADF=∠BFE，∴∠AFD+∠BFE=∠AFD+∠ADF=90°， ∴∠DFE=90°，D﹣CF﹣E为直二面角．∴平面CDF⊥平面CEF．
（建系求解，只要答案正确，也给分）
5
（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，设CM?
x ?????????∴C(0,0,0),M(0,x,0),D(4,0,3),F
DM?(?4,x,?3);DF?(?1?3)
??则面DMF
的法向量：m?(x
?同理可知：面CDM的法向量n?(3,0,?4) ???
2由|cos?m,n?|?，则x?
或x?
543
经检验，x?F?DM?C的余弦值为?
不合题意
所以CM?25 43
20.解：（1）由题意：当k?2时，动点P不表示任何图形；
当k?2时，动点P的轨迹是线段；
当k?2时，动点P的轨迹是椭圆
x2y2
（2）当k?4时，动点P的轨迹方程为：??1 43
?x2y2
??1?145?43?0 设PQ:x?ny?(n?0)，则? 可得：(3n2?4)y2?3ny?241?x?ny???2
45
3n∴yP?yQ?2,yP?yQ??2 3n?43n?4
3n
2yP?yQ??4n∴1?1??4n ?∴yP?yQ15yPyQ15
?3n?4
又点P,Q在直线PQ上， 11yPyP∴xP?nyP?,xQ?nyQ?,∴kSP??, 22xP?2ny?P2
yQyQyy?, 又kSA?A;kSB?B由kSP?kSA;kSQ?kSB 同理：kSQ??5?5xQ?2ny?Q2
5?nyP1n11n1yPyA???同理：?? 则，则?5?5yA5yP2yP5yB2yQ5nyP?2
6
11?1112n8nyyB11∴??∴A?2 ??(?)?yAyB2yPyQ515?yPyQ
21.解：（1）由题意：G(x)?asin(1?x)?lnx,G/(x)?
则a?1?acos(1?x)?0恒成立， x11恒成立。又y?单调递减，∴a?1 xcos(1?x)xcos(1?x)
（2）由（1）知，当a?1时，G(x)?sin(1?x)?lnx在(0,1)单调增
1∴sin(1?x)?lnx?G(1)?0∴sin(1?x)?ln(0?x?1) x
1k2?2k(k?1)2
∴sin ?sin[1?]?ln2(1?k)2(1?k)2k?2k
12232k2k?1∴?sin?ln???ln2?ln2 2(1?k)1?32?4(k?1)(k?1)k?2k?1
（3）由F(x)?g?1(x)?mx2?2(x?1)?b?ex?mx2?2x?b?2?0 即：F(x)min?0又F/(x)?ex?2mx?2,F//(x)?ex?2m∵m?0 n
则F//(x)?0,∴F/(x),单调增，又F/(0)?0,F/(1)?0
则必然存在x0?(0,1)，使得F/(x0)?0∴F(x)在(??,x0)单减，(x0,??)单增， ∴F(x)?F(x0)?e0?mx02?2x0?b?2?0 x
ex0?2则b??e?mx0?2x0?2，又e?2mx0?2?0∴m? 2x0x02x0
x0(ex0?2)x?2x0?2?(0?1)ex0?x0?2 ∴b??e?22
又m?0,则x0?(0,ln2) xx∴b?(0?1)e0?x0?2，x0?(0,ln2)恒成立 2
x令m(x)?(?1)ex?x?2，x?(0,ln2) 2
11则m/(x)?(x?1)ex?1m//(x)?xex?0 22
1∴m/(x)在x?(0,ln2)单调递增又m/(0)??0 2
∴m/(x)?0∴m(x)在x?(0,ln2)单调递增
∴m(x)?m(ln2)?2ln2∴b?2ln2又b为整数
∴最小整数b的值为：2 x0
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
?31?222.解：（1）∵圆C的极坐标方程为??4sin(??).∴??4?sin(??)?4?(sin??cos?)， 6622
又∵?2?x2?y2，x??cos?，y??sin?.∴x2?y2?2y?2x， ∴圆C的普通方程为x2?y2?2x?2y?0；
7
（2）设z?x?y.由(1)知圆C的方程x2?y2?2x?2y?0?(x?1)2?(y?)2?4，
?3x??1?t??2代入z?3x?y得z??t， ∴圆C的圆心是(?1,)，半径是2.将??y??1t?2?
又∵直线l过C(?1,)，圆C的半径是2.∴?2?t?2.
∴?2??t?2，即x?y的取值范围是[?2,2].
23.解：（Ⅰ）当m=2时，f?x??
作出图象(右边)：
，
?5??5?f?f?1?4,fxfx?4结合图象由??的单调性及????得??的解集为??1,?. ?3??3?
（2）由f?x??2m得x?1?m?2?x?1?,
∵m?0,∴?1x?1?x?1?2, m
1x?1m在同一直角坐标系中画出y?x??2及y??
的图象， 根据图象性质可得?
故m的最小值为?1. 1?1,即?1?m?0. m
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