房山区2013年高考第二次模拟试卷
数 学 （理科）
本试卷共4页，150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.若﹁p∨q是假命题，则
A. p∧q是假命题 B. p∨q是假命题
C. p是假命题 D. ﹁q是假命题
2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是
A. y?x?1 B. y?tanx C. y?x3
3.如图，A,B,C,D是⊙O上的四个点，过点B的切线与DC的 延长线交于点E.若?BCD?110?，则?DBE?
A. 75? B. 70? C. 60?D. 55? 4.设平面向量a?(1,2),b?(?2,y)，若a//b，则2a?b等于
A. 4 B. 5
C.
D.
??x?1,
5.已知M,N是不等式组??y?1,
?x?y?1?0,所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN|的
??x?y?6
最大值是
C.D. 17
2
6.已知数列?an?的前n项和为Sn,a1?1,2Sn?an?1,则Sn?
A. 2n?1 B. 2n?1 C. 3n?1
7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体
的表面积为 A
．9?
侧（左）视图
B. 18?
C. 18?俯视图D. 9
D. y?log2x D. 1(3n?1) 2
8.定义运算? ??????ac??x?
?bd??y??ax?cy??x???ac?，称?? ?????bx?dy??y???bd??x??y?为将点?x,y?映到点?x?,y??的
??
?x???2?1?一次变换.若??＝? ??y???pq??x??y?把直线y?kx上的各点映到这点本身，而把直线
??
y?mx上的各点映到这点关于原点对称的点.则k,m,p,q的值依次是
A.k?1,m??2,p?3,q?3
C.k??2,m?3,p?3,q?1
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在复平面内，复数i(2?i)对应的点的坐标为 . B. k?1,m?3,p?3,q??2 D. k??2,m?1,p?3,q?3
?x?1?3tl10.直线的参数方程为?（t为参数），则直线l的斜率为 . ?y?1?2t
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c.a?3,b?2,A??，则tanB?6
12.若(x2?)n展开式中的二项式系数和为64，则n等于，该展开式中的常数项为13.抛物线C:y2?2px的焦点坐标为F(,0)，则抛物线C的方程为，若点P在抛物线
C上运动，点Q在直线x?y?5?0上运动，则PQ的最小值等于1x12
14.在数列{an}中，如果对任意的n?N?，都有
给出以下命题： an?2an?1???（?为常数），则称数列{an}为比等差数列，?称为比公差．现an?1an
①若数列{Fn}满足F1=1,F2=1,Fn?Fn?1?Fn?2(n?3)，则该数列不是比等差数列；
②若数列{an}满足an?3?2n?1，则数列{an}是比等差数列，且比公差??0；
③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列； ④若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则数列{anbn}是比等差数列．
其中所有真命题的序号是 .
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,0????)的最小正周期为?，且图象过点(,).
（Ⅰ）求?,?的值； ?162
?（Ⅱ）设g(x)?f(x)f(x?)，求函数g(x)的单调递增区间. 4
16.（本小题满分14分）
如图, ABCD是正方形， DE?平面ABCD，
AF//DE，DE?DA?3AF.
(Ⅰ) 求证：AC?BE；
(Ⅱ) 求二面角F?BE?D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，
使得AM//平面BEF，证明你的结论.
17.（本小题满分13分）
小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为
红灯的概率依次为AFEBC1；路线2上有两个路口，各路口遇到234,． 45
（Ⅰ）若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率；
（Ⅱ）若小明上学走路线2，求遇到红灯次数X的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．
18.（本小题满分13分） 已知函数f(x)?(x?x?a)e（a?0）. 2xa
（Ⅰ）当a?1时，求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）当x??5时，f(x)取得极值.
① 若m??5，求函数f(x)在?m,m?1?上的最小值；
② 求证：对任意x1,x2?[?2,1]，都有|f(x1)?f(x2)|?2.
19.（本小题满分14分）
x2y22
已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，且过点A．直线
ab2
x?m交椭圆C于B,D（不与点A重合）两点． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明
理由． y?
20.（本小题满分13分）
设m?3，对于项数为m的有穷数列?an?，令bk为a1,a2,?,ak(k?m)中的最大值，称数列?bn?为?an?的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数1,2,?,m(m?3)的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列?cn?．
（Ⅰ）若m?5，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列?cn?；
（Ⅱ）是否存在数列?cn?的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）是否存在数列?cn?，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列?cn?的个数；若不存在，请说明理由．
房山区2013年高考第二次模拟考试参考答案
数 学 （理科） 2013.05
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1A 2C 3B 4D 5B 6C 7A 8B
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. (1,2) 10.?
11.
12. 6,15
13. y2?2x,
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.
15（本小题满分13分）
（Ⅰ）由最小正周期为?可知 ??23 4①② 2??2， T
?1?1由f()?得 sin(??)?， 6232
又0????， ??????2分 ?
33
?5?所以 ??? 36????????3 ???
2，??????5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f(x)?sin(2x?
所以g(x)?cos2x?sin[2(x??2)?cos2x ??1)?]?cos2xsin2x?sin4x 422
?????????????????????????9分 解2k??
得?2?4x?2k???2 k??k????x?? (k?Z) ???????????12分 2828
k??k???,?] (k?Z). 所以函数g(x)的单调增区间为[2828
???????????????????13分
16（本小题满分14分）
(Ⅰ)证明： 因为DE?平面ABCD，
所以DE?AC. ????????1分
因为ABCD是正方形，
所以AC?BD，
所以AC?平面BDE, ???????3分
从而 AC?BE ????????4分
(Ⅱ)解：因为DA,DC,DE两两垂直，
所以建立空间直角坐标系D?xyz如图所示. ????5分
设AD?3，可知DE?3,AF?1. ????????6分
则D(0,0,0) ,A(3,0,0)，F(3,0,1)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)， 所以?(0,?3,1)，?(3,0,?2)， ??????7分 ???????3y?z?0,?n?BF?0设平面BEF的法向量为n?(x,y,z)，则????，即， ???3x?2z?0．??n?EF?0
令z?3，则n?(2,1,3). ???????8分
????????因为AC?平面BDE，所以CA为平面BDE的法向量， CA?(3,?3,0)，
???????????????9分 14
7. ????10分 14所以cos?n,CA???因为二面角为锐角，所以二面角F?BE?D的余弦值为
(Ⅲ)解：点M是线段BD
上一个动点，设M(t,t,0)(0?t?.
则AM?(t?3,t,0)，
因为AM//平面BEF， ??????????所以AM?n?0， ?????11分 即2(t?3)?t?0，解得t?2. ?????13分 此时，点M坐标为(2,2,0)，BM?1BD，符合题意. ?????14分 3
17（本小题满分13分）
（Ⅰ）设走路线1最多遇到1次红灯为A事件，则
11111P(A)=C30?()3?C3??()2?． ??????2分 2222
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2．
341P(X=0)=(1?)?(1?)?， 4520
34347P(X=1)=?(1?)?(1?)??， 454520
343P(X=2)=??．????????????8分
455
??????????????????9分
17331EX??0??1??2?． ??????10分 2020520
（Ⅲ）设选择路线1遇到红灯次数为Y，则Y?B(3,)，
所以EY?3?1213?． ??????12分 22
因为EX?EY，所以选择路线1上学最好． ??????13分
18（本小题满分13分）
xxx121（Ⅰ）f'(x)?(x?x?a)ea?(2x?1)ea?x(x?1?2a)ea ????1分 aa
当a?1时，f'(x)?x(x?3)ex
解f?(x)?0得x?0或x??3, 解f?(x)?0得?3?x?0 ?????2分 所以f(x)单调增区间为(??,?3)和(0,??)，单调减区间为(?3,0)???3分
x1a（Ⅱ）①当x??5时，f(x)取得极值， 所以f'(?5)?(?5)(?5?1?2a)e?0 a
解得a?2（经检验a?2符合题意） ?????4分 f'(x)?1x?x?5?ex
2
，所以函数f(x)在???,?5??0???递增，在??5,0?递减. ??5分 当?5?m??1时，f(x)在?m,m?1?单调递减，
??????6分
当?1?m?0时 m?0?m?1 fmin(x)?f(m?1)?m(m?3)em?12
f(x)在?m,0?单调递减，在?0,m?1?单调递增，
fmin(x)?f(0)??2. ??????7分
当m?0时，f(x)在?m,m?1?单调递增，
fmin(x)?f(m)?(m?2)(m?1)e ????????8分
综上，f(x)在?m,m?1?上的最小值 m2
m?1?2?5?m??1,?m(m?3)e,?fmin(x)???2,?1?m?0, ????????9分
?m
2?m?0.?(m?2)(m?1)e,
②令f'(x)?0 得x?0,x??5（舍）
因为f(?2)?0,f(0)??2,f(1)?0
所以fmax(x)?0,fmin(x)??2 ?????11分 所以，对任意x1,x2?[?2,1]，都有|f(x1)?f(x2)|?fmax(x)?fmin(x)?2
19（本小题满分14分）
（Ⅰ）?e??????13分 212c?， 2?2?1，a2?b2?c2 ab2a
?a?2，b?2，c?2 x2y2
?1． ------------------------------------------3分 ??42
（Ⅱ）设B(x1,y1) ，D(x2,y2) ，
?yx+m??由??x2?m2?2?0 22?x?y?1?
?42
???8?2m?0 ??2?m?2
x1?x2?, ① x1x2?m2?2 ②----------------------5分
2?BD?1?x2? --------------------8分 x+m的距离， 2设d为点A到直线BD
：y=
?d?分
?S?ABD?1BDd??分
2当且仅当m??(?2,2)时等号成立
∴当m?时，?
ABD分
20（本小题满分13分）
（Ⅰ）由题意，创新数列为3，5，5，5，5的所有数列?cn?有6个，
3，5，1，2，4； ???????????????????????2分 3，5，1，4，2；
3，5，2，1，4；
3，5，2，4，1；
3，5，4，1，2；
3，5，4，2，1；????????????????????????4分 （Ⅱ）存在数列?cn?的创新数列为等比数列． 设数列?cn?的创新数列为{en}，
因为em为前m个自然数中最大的一个，所以em?m．若{en}为等比数列， 设公比为q，因为ek?1?ek(k?1,2,?,m?1)，所以q?1．?????7分 当q?1时，{en}为常数列满足条件，即为数列m,m,?,m
当q?1时，{en}为增数列，符合条件的数列只能是1,2,?,m，
又1,2,?,m不满足等比数列．综上符合条件的创新数列只有一个．
????????????????????????8分
（Ⅲ）存在数列?cn?，使它的创新数列为等差数列，
设数列?cn?的创新数列为{en}，因为em为前m个自然数中最大的一个， 所以em?m．若{en}为等差数列，设公差为d，
*因为ek?1?ek(k?1,2,?,m?1)，所以d?0．且d?N
当d?0时，{en}为常数列满足条件，即为数列m,m,?,m（或写通项公式en?m(n?1,2,?,m)），
m?1此时数列?cn?是首项为m的任意一个排列，共有Am?1个数列；
???????????????11分
当d?1时，符合条件的数列{en}只能是1,2,?,m，此时数列?cn?是1,2,?,m， 有1个；
当d?2时，?em?e1?(m?1)d?e1?2(m?1)?e1?m?m?2 又m?3 ?m?2?0?em?m这与en?m矛盾，所以此时{en}不存在.
m?1?1个）综上满足条件的数列?cn?的个数为Am． ?1?1个（或回答(m?1)!
?????????????????13分
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