九年级（下）数学备助案
课题：§6．2二次函数的图像和性质（5）
【助学目标】
221．经历把函数y=ax的图象沿x轴、y轴平移后得到y=a(x+h)+k的图象的探究过程，进
一步了解上述图象变换的实质是：图像的形状、大小、开口方向都没有改变，只是位置发生了变化。
22．在探究的过程中体会y=a(x+h)+k的图象的性质。
22【助学重点】经历把函数y=ax的图象沿x轴、y轴平移后得到y=a(x+h)+k的图象的探究
2过程，理解y=a(x+h)+k的图象平移的规律。
2【助习难点】y=a(x+h)+k的图象的性质。平移时抓住顶点的变化来确定图像的变化。
【助学方法】教师引导下的自主探究。
【助学过程】
一：预习自助：阅读课本P15页，并回答下列问题：
1．请你在同一直角坐标系内，画出函数
y?x2,y?x2?1,y??x?1? 的图像，
并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标.
22．函数y＝?x?3??1是由y＝x先沿x轴向____ 22
平移_____单位，再沿y轴向向___平移_____单
位得到的。
二：课堂探究
1．你能否在上面的直角坐标系中，再画出函数
y??x?1??1的图像？试一试！
2. 函数y??x?1??1的图像是抛物线吗？
23．你能否指出抛物线y??x?1??1的顶点坐标？抛物线y＝x的顶点坐标是什么？从抛222
2物线y＝x的顶点坐标到抛物线y??x?1??1的顶点坐标经历了怎样的平移？ 2
24．抛物线y??x?1??1是由抛物线y＝x怎样平移得到的？ 2
5．（1）将y=2x2的图像先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移2个单位长
度得到函数的图像。
（2）将y=2x2的图像先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2
个单位长
度得到函数 的图像。
（3）将y=2x2的图像先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长
度得到函数 的图像。
（4）将y?2x2的图像先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移2个单位长
度得到函数 的图像。
6．你能发现从抛物线y=ax2的图像到抛物线y=a(x+h)2+k的图像的平移规律吗？
（1）函数y=ax2的图像先向右平移h个单位长度，再向上平移k个单位长度得到函数 的图像
（2）函数y=ax2的图像先向右平移h个单位长度，再向下平移k个单位长度得到函数 的图像
（3）函数y=ax2的图像先向左平移h个单位长度，再向上平移k个单位长度得到函数 的图像
（4）函数y=ax2的图像先向左平移h个单位长度，再向下平移k个单位长度得到函数 的图像
规律：二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y?a(x?h)2+k中k的值；左右平移，只
影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．
7．函数y?2?x?3??3的图像可以由y?3x2的图像通过平移得到吗？
8．在平移的过程中，函数图像的形状、大小、开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性哪些发生了改变，哪些没有变？
2三：教师补助
例：分别回答下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性，并说明x取何值时函
数的最大（小）值是多少？
①y?2(x?1)2?2 ②y??3(x?4)2?5 ③y??(x?5)2?7 ④y?4(x?3)2?1
四：课堂小结：
五：课堂巩固（见附件）
六：课后续助（见附件）
七：教学反思
九年级（上）数学助学稿
班级 组别 姓名
课题：§6．2二次函数的图像和性质（5）
一：预习自助：阅读课本P15页，并回答下列问题：
1．请你在同一直角坐标系内，画出函数
y?x2,y?x2?1,y??x?1? 的图像，
并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标.
22．函数y＝?x?3??1是由y＝x先沿x轴向____ 22
平移_____单位，再沿y轴向向___平移_____单
位得到的。
二：课堂探究
1．你能否在上面的直角坐标系中，再画出函数
y??x?1??1的图像？试一试！
2. 函数y??x?1??1的图像是抛物线吗？
23．你能否指出抛物线y??x?1??1的顶点坐标？抛物线y＝x的顶点坐标是什么？从抛222
2物线y＝x的顶点坐标到抛物线y??x?1??1的顶点坐标经历了怎样的平移？ 2
24．抛物线y??x?1??1是由抛物线y＝x怎样平移得到的？ 2
5．将y=2x2的图像先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移2个单位长度得到函数 的图像。将y=2x2的图像先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度得到函数 的图像。将y=2x2的图像先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度得到函数 的图像。将y?2x2的图像先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移2个单位长度得到函数 的图像。
22 6．你能发现从抛物线y=ax的图像到抛物线y=a(x+h)+k的图像的平移规律吗？
2（1）函数y=ax的图像先向右平移h个单位长度，再向上平移k个单位长度得到函数
的图像
2（2）函数y=ax的图像先向右平移h个单位长度，再向下平移k个单位长度得到函数 的图像
2（3）函数y=ax的图像先向左平移h个单位长度，再向上平移k个单位长度得到函数 的图像
2（4）函数y=ax的图像先向左平移h个单位长度，再向下平移k个单位长度得到函数 的图像
6．函数y?2?x?3??3的图像可以由y?3x2的图像通过平移得到吗？
7．在平移的过程中，函数图像的形状、大小、开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性哪些发生了改变，哪些没有变？
2例：分别回答下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性，并说明x取何值时函
数的最大（小）值是多少？
①y?2(x?1)2?2 ②y??3(x?4)2?5 ③y??(x?5)2?7 ④y?4(x?3)2?1
九年级（下）数学课堂巩固练习
1．抛物线y=?2?x?3??4的图像是由抛物线y=?2x2先沿轴向平移度，再将所得图象沿 轴向 平移 个单位长度得到的，抛物线y=?2?x?3??4的开口 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，当x= 时，y有最 值，最 值是 ，当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小。
2．函数y=a(x+h)+k的图象是由函数y=22212x的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3
2个单位长度得到的，则a= ; h= ; k= .
★3．抛物线y??112?x?2??3 是由抛物线y??x2?2先沿个单22
位长度，再将所得图象沿 轴向 平移 个单位长度得到的。
九年级（上）数学课后续助
课题：§6．2二次函数的图像和性质（5） 班级 姓名
221．函数y=-2(x-2)+3的图象与函数y=-2x的图象 、 、 相同，只是
发生了改变，把函数y=-2x的图象先沿 轴向 平移 个单位长度，再将所得图象沿 轴向 平移 个单位长度，即可得到函数y=-2(x-2)+3的图象.
函数y=-2(x-2)+3的图象开口 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，当x= 时，y有最 值，最 值是 ，当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小。
2．二次函数y?22211(x?1)2?2的图象可由y?x2的图象（ ） 22
A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
3．抛物线y?2?x?1??1是由抛物线y?2x2?4先沿再将所得图象沿 轴向 平移 个单位长度得到的。
4．若把函数y?5?x?2??2的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。
5．一条抛物线的形状、开口方向与抛物线y?2x2相同，对称轴和抛物线y??x?2?相同，且顶点纵坐标为5，求此抛物线的解析式.
2★6．已知二次函数y=(x+h)+k的图象如图。
①根据图中提供的信息求二次函数的关系式；
②求图象与x轴的交点坐标；
③观察图象解答：当x为何值时，y>0? y=0?y<0?
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