二四年全国高中数学联合竞赛试题

全国高中数学联合竞赛试题

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1、设锐角?使关于x的方程x?4xcos??cot??0有重根，则?的弧度数为（） A. 2?6B. ?

12or5?12C. ?

6or5? 12 D. ? 12

2、已知M?{(x,y)|x2?2y2?3},N?{(x,y)|y?mx?b}。若对所有m?R,均有M?N??，则b的取值范围是（）

???A. ??

C. (

D. ??2222????

3、

A. [2,3)??? 33??1log1x3?2?0的解集为（） 22 C. [2,4)D. (2,4] B. (2,3]

??????????????ABC4、设O点在内部，且有OA?2OB?3OC?0，则?ABC的面积与?AOC的面积的比为（）

A. 2B. 3 2C. 3D. 5 3

5、设三位数n?abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（）

A. 45个 B. 81个 C. 165个D. 216个

6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，AB?OB，垂足为B，OH?PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长是（）

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

?7、在平面直角坐标系xoy中，函数f(x)?asinax?cosax(a0)在一个最小正周期长的区间上的图像与

函数

g(x)?的图像所围成的封闭图形的面积是________________。

8、设函数f:R?R,满足f(0)?1，且对任意x,y?R,都有

f(xy?1)?f(x)f(y)?f(y)?x?2，则f(x)=_____________________。

9、如图、正方体ABCD?A1BC11D1中，

二面角A?BD1?A1的度数是____________。

B10、设p是给定的奇质数，正整数k

k=____________。

11、已知数列a0,a1,a2,...,an,...,满足关系式(3?an?1)(6?an)?18,且a0?3，则1的值是__________________。 ?i?oain

12、在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当?MPN取最大值时，点P的横坐标为___________________。

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13、一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2，则算过关。问：

（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？

（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？

（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）

14、在平面直角坐标系xoy中，给定三点A(0,),B(?1,0),C(1,0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等n4

比中项。

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线L经过?ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。

15、已知?,?是方程4x2?4tx?1?0(t?R)的两个不等实根，函数f(x)?

（Ⅰ）求g(t)?maxf(x)?minf(x)；（Ⅱ）证明：对于ui?(0,

2x?t的定义域为??,??。 2x?1?2)(i?1,2,3)，若sinu1?sinu2?sinu3?

1, 则111???。 g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)

全国高中数学联合竞赛试题参考答案

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

221、解：因方程x?4xcos??cot??0有重根，故??16cos??4cot??0?0????

2,?4cot?(2sin2??1)?0 得

sin2??1?5??5??2??或2??或，于是??。故选B。 2661212

222b22、解：M?N??相当于点（0，b）在椭圆x?2y?

3上或它的内部? ?1,?b?3故选A。

331log2x???03、

解：原不等式等价于

222??log2x?1?0

?321?t?t??0?t,则有?2 2??t?0

即0?log2x?1?1,?2?x?4。解得0?t?1。故选C。

4、解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，

????????????OA?OC?2OD(1)则??? ??????????

2(OB?OC)?4OE(2)

由（1）（2）得，

?????????????????????OA?2OB?3OC?2(OD?2OE)?0， ????????

即OD与OE共线，

????????且|OD|?2|OE|

5、解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即a,b,c?{1,2,...,9}

（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n1，由于三位数中三个数码都相同，所以，n1?C9?9。

S?AEC3S3?2

?,??ABC??3，故选C。 S?AOC2S?AOC2

（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有2个不同数码。设为a、b，注意到三

角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有2C9。但当大数为底时，设a>b，必须满足b?a?2b。此时，不能

共20

种情况。

2同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有C3种情况。 222故n2?C3(2C9?20)?6(C9?10)?156。综上，n?n1?n2?165。

6、解：?AB?OB,AB?OP,?AB?PB,又OH?PB

?面PAB?面POB,?

OH?HC,OH?PA。C是PA中点，?OC?PA

?当HO?HC时S?HOC最大，

也即VO

?HPC?VP?HCO最大。此时，

HO?故HO=OP,??HPO?300

，

?OB?OP?tan300?

故选D。

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

12?7、解：f(x)?ax??),其中??arctan，它的最小正周期为，。由f(x)的图像与g(x)的

aa2? 图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为a8、解：?对?x,y?R,有f(xy?1)?f(x)f(y)?f(y)?x?2,

?有f(xy?1)?f(y)f(x)?f(x)?y?2

?f(x)f(y)?f(y)?x?2=f(y)f(x)?f(x)?y?2

即f(x)?y?f(y)?x,令y?0,得f(x)?x?1。

9、解：连结D1C,作CE?BD1，垂足为E，延长CE交A则FE?BD1，连结AE，由对称性知AE?BD1,??FEA1B于F，

是二面角A?BD1?A1的平面角。

连结AC，设AB=1，

则AC?AD1?BD1? 在

Rt?ABD1中，AE?AB?AD1， ?BD122222 在?AEC中,cos?AEC?AE?CE?AC?2AE?AC???42AE?CE2AE2

3??AEC?1200,而?FEA是?AEC的补角，??FEA?600。

10、?n,n?N,则k?pk?n?0,k?p2?4n2是平方数，设为*22

m2,m?N*,则(m?2n)(m?2n)?p2

?p2?1m???m?2n?1?2 ?p是质数，且p?3,??,解得?22?m?2n?p?n?p?1

??4

p?m2p?(p2?1)(p?1)2

?k??,故k?。（负值舍去） 244

11、解：设bn?111,n?0,1,2,...,则(3?)(6?)?18, anbn?1bn

311?2(bn?) 33即3bn?1?6bn?1?0.?bn?1?2bn?,bn?1?

故数列{bn?是公比为2的等比数列， 1

111111bn??2n(b0?)?2n(?)??2n?1?bn?(2n?1?1)。 33a0333

nn?1n?211i?11?2(2n?1?1)?b?(2?1)??(n?1)???i?2?1??3?2?n?3? a33i?oii?0i?0??n

12、解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为

S（a，3－a），则圆S的方程为：(x?a)?(y?3?a)?2(1?a)

对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当?MPN取最大值时，经过M，N，P222

三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足2(1?a2)?(a?3)2,解得 a=1或a=－7。即对应的切点分别为P(1,0)和P'(?7,0)，而过点M，N，p'的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以?MPN??MP'N，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等

（Ⅰ）因骰子出现的点数最大为6，而6?4?24,6?5?25，因此，当n?5时，n次出现的点数之和大于2已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为0。所以最多只能连过4关。

.......5分 n

（Ⅱ）设事件An为“第n关过关失败”，则对立事件An为“第n关过关成功”。第n关游戏中，基本事件总数为6个。

第1关：事件A， 1所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况）n

?过此关的概率为：P(A1)?1?P(A1)?1?22?。 63

111第2关：事件A2所含基本事件数为方程x?y?a当a分别取2，3，4时的正整数解组数之和。即有C1?C2?C3?1?2?3?6

（个）。

?过此关的概率为：P(A2)?1?P(A2)?1?65?。 266 ........10分

第3关：事件A3所含基本事件为方程x?y?z?a当a分别取3，4，5，6，7，8时的正整数解组数之和。即有222222。 C2?C3?C4?C5?C6?C7?1?3?6?10?15?21?56（个）

?过此关的概率为：P(A3)?1?P(A3)?1?5620?。 3627

2520100?故连过前三关的概率为：P(A1)?P(A2)?P(A3)???。 3627243

（说明：第2，3关的基本事件数也可以列举出来）

14、解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为y?

次为d1?.........15分 ........20分 44(x?1),y??(x?1),y?0。点P(x,y)到AB、AC、BC的距离依33112|4x?3y?4|,d2?|4x?3y?4|,d3?|y|。依设，d1d2?d3,得|16x2?(3y?4)2|?25y2，即55

16x2?(3y?4)2?25y2?0,或16x2?(3y?4)2?25y2?0，化简得点P的轨迹方程为

圆S：2x?2y?3y?2?0与双曲线T:8x?17y?12y?8?0

（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分

圆S：2x?2y?3y?2?0

与双曲线T：8x?17y?12y?8?0 22222222 ......5分 ① ②

因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。

1?ABC的内心D也是适合题设条件的点，由d1?d2?d3，解得D(0,)，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨2

迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为

1y?kx? 2③

（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线y?1平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公2

共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分

（ii）当k?0时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：

情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率k??1，直线L的方程为x??(2y?1)。代入方程②得y(3y?4)?0，2

5454

3333

1故当k??时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 ......15分 2

1 情况2：直线L不经过点B和C（即k??），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共2解得E(,)或F(-)。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。 ?8x2?17y2?12y?8?025?22(8?17k)x?5kx??0 点。即方程组?有且只有一组实数解，消去y并化简得14?y?kx??2

该方程有唯一实数解的充要条件是8?17k?0

或(?5k)?4(8?17k)222 ⑤

④ 25?0 4

解方程④得k?

，解方程⑤得k??。 21,。 2......20分综合得直线L的斜率k

的取值范围是有限集{0,?

2215、解：（Ⅰ）设??x1?x2??,则4x1?4tx1?1?0,4x2?4tx2?1?0,

2?4(x12?x2)?4t(x1?x2)?2?0,?2x1x2?t(x1?x2)?1?0 2

则f(x2)?f(x1)?2x2?t2x1?t(x2?x1)?t(x1?x2)?2x1x2?2? ??22x2?1x12?1(x2?1)(x12?1)

1?0?f(x2)?f(x1)?0 2

.......5分又t(x1?x2)?2x1x2?2?t(x1?x2)?2x1x2?故f(x)在区间??,??上是增函数。

1?????t,????, 4