2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高一年级）
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
1．已知集合A?{x|x?a},B?{x|x?b},a,b?N，且A?B?N?{1}，则a?b?
2．已知正项等比数列{an}的公比q?1，且a2,a4,a5成等差数列，则a1?a
4?a7?a3?a6?a93． 23．函数f
(x)?x?1的值域为x2?4x?7． 1． 34．已知3sin2??2sin2??1，3(sin??cos?)2?2(sin??cos?)2?1，则cos2(???)??
5．已知数列{an}满足：a1为正整数，
an?1?an?,an为偶数,??2
??3an?1,an为奇数,
如果a1?a2?a3?29，则a1?．
6．在△ABC中，角A,B,C的对边长a,b,c满足a?c?2b，且C?2A，则sinA
?． 3p的值为． q27．在△ABC中，AB?BC?2，AC?3．设O是△ABC的内心，若AO?pAB?qAC，则
558．设x1,x2,x3是方程x3?x?1?0的三个根，则x15?x2的值为． ?x3
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知正项数列{a
n}?且a1?1，a2?8，求{an}的通项公式．
解 在已知等式两边同时除以anan?1，得?an?2a?4?n?1?3， an?1an所以
1?1)． ------------------------------------------4分 an?1即数列{bn}是以b1＝4为首项,4为公比的等比数列，所以bn?b1?4n?1?4n. ?1,则b1?4,bn?1?4bn，an令bn??
------------------------------------------8分 所以?an?1?1?4n,即 an?1?[(4n?1)2?1]an. ------------------------------------------12分 an
于是，当n?1时,
an?[(4n?1?1)2?1]an?1?[(4n?1?1)2?1]?[(4n?2?1)2?1]an?2
????[(4
k?1n?1k?1?1)?1]a1??[(4k?1?1)2?1] ， 2k?1n?1
n?1,?1,?n?1因此,an?? ------------------------------------------16分 [(4k?1?1)2?1],n?2.??k?1?
10．已知正实数a,b满足a2?b2?1，且a3?b3?1?m(a?b?1)3，求m的最小值． 解 令a?cos?,b?sin?，0????
2，则
cos3??sin3??1(cos??sin?)(cos2??cos?sin??sin2?)?1m??．----------------------------------------5分 (cos??sin??1)3(cos??sin??1)3
x2?1令 x?cos??sin?，则 x?2sin(．------------------------------10分 ??)?(1,2]，且cos?sin??42
于是 ?
x2?1x(1?)?12?3x?x32?x?x22?x312． ------------------------------15分 m??????3322(x?1)2(x?1)2(x?1)2(x?1)2(x?1)
因为函数f(x)?31?在(1,2]上单调递减，所以f(2)?m?f(1)． 2(x?1)2
因此，m的最小值为f(2)?
32?4．------------------------------------------20分 2
11．设f(x)?loga(x?2a)?loga(x?3a)，其中a?0且a?1．若在区间[a?3,a?4]上f(x)?1恒成立，求a的取值范围．
?a6?)解 f(x)?loagx(?ax522
a5a2a2lxo?g?)． 24]
由?5a3?x?2a?0,3?(a?2)?0，故函数得x?3a，由题意知a?3?3a，故a?，从而(a?3)?x?3a?0,222?
5a2a2
g(x)?(x?)?在区间[a?3,a?4]上单调递增. ------------------------------------------5分 24
（1）若0?a?1，则f(x)在区间[a?3,a?4]上单调递减，所以f(x)在区间[a?3,a?4]上的最大值为
2f(a?3)?loga(2a?9a?9)．
在区间[a?3,a?4]上不等式f(x)?1恒成立，等价于不等式loga(2a2?9a?9)?1成立，从而2a2?9a?9?a，解得a?5?5?7或a?． 22
结合0?a?1得0?a?1． ------------------------------------------10分
（2）若1?a?3，则f(x)在区间[a?3,a?4]上单调递增，所以f(x)在区间[a?3,a?4]上的最大值为2
f(a?4)?loga(2a2?12a?16).
在区间[a?3,a?4]上不等式f(x)?1恒成立，等价于不等式loga(2a2?12a?16)?1成立，从而2a2?12a?16?a，即2a2?13a?16?0，解得
易知13?4113?41． ?a?4413?3?，所以不符合． ------------------------------------------15分 42
综上可知：a的取值范围为(0,1)． ------------------------------------------20分
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