关于参加全国大学生数学竞赛的应对策略建议
(内部资料，严禁外传！)
2015年全国大学生数学竞赛再有一个多月就要举行了，现根据竞赛特点提出以下意见和建议，供参赛同学参考。
一、竞赛内容：高等数学上下册。近几年出现了高等数学教材中打*的内容
数学竞赛考察的内容属于高等数学的较高要求，题目既有基础的内容，也有提高的内容，具有较强的灵活性。下面就一些平时不要求但需要注意的内容进行一些说明，共大家参考。
1. 泰勒公式
泰勒公式是分析函数性质的重要工具，在整个微积分中起着重要作用。从某个角度讲，泰勒公式掌握的是否熟练，是检验一个人微积分水平的一个标志。泰勒公式在极限计算、级数敛散性判定、函数项级数和反常积分收敛、一致收敛、定积分等式证明、不定积分不等式证明中均起重要作用。因此参加数学竞赛的同学请务必熟练掌握泰勒公式，可以翻阅数学分析（数学系学生学习的）的有关参考书。也是培训的重要内容之一。
2. 微分中值定理
罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理现在教学要求中不要求掌握构造辅助函数证明等式不等式的题目。但是在研究生入学考试和数学竞赛中一直属于测试内容。特别是证明存在两个中值的题目一般教材没有，但是 考研试题中屡屡出现，需要通过练习掌握其方法技巧。
3. 利用对称性计算多元函数的积分
在教材中要求不高但在考研中十分重要。包括区域对称性和轮换对称性在计算二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分中经常遇到，需要掌握。
4. 用定义计算或证明导数、偏导数、全微分
5. 各类积分的物理应用
6. 熟练掌握各类积分的计算，掌握格林公式、高斯公式、曲线积分与路径无关的条件等。
7. 空间解析几何中平面、直线的位置关系，用线性代数中有关秩的理论研究这些关系。
8. 微分方程的计算（经常与曲线积分、实际应用题目结合）
9. 级数的敛散性判别
10. 各类不等式的证明
二、补充知识点
1． 利用Stolz定理求极限、利用定积分求极限、利用级数求极限、利用数列的变形求极限、利用单调有界定理证明数列极限存在及解方程法求极限、利用夹逼准则求带有积分号的极限、利用泰勒公式求极限（熟练掌握）。
2.不等式证明：利用泰勒公式证明代数不等式、微分不等式、积分不等式（有些难度较大）；利用函数单调性、拉格朗日中值定理、极值最值、凹凸性、各类积分的估值性质、拉格朗日乘数法证明不等式、利用二重积分与定积分的关系证明定积分不等式。
3. 变换偏微分方程：利用变量代换化简常微分方程和偏微分方程（其中化简偏微分方程已经在以前竞赛题中出现过），包括只有自变量进行变换和自变量与因变量同时变换的题目（自变量和因变量同时变换的题目参考：吉米多维奇：数学分析习题集）
4. 用定义计算或证明函数在某点的可导性、多元函数的可微性、判断函数的间断点类型等。
5. 反函数导数（前几年考研题出现过，竞赛中似乎还没有见到）：就是在高阶导数的习题中用y′,y′′表示x对y的二阶导数、三阶导数（请参考前几年的一道考研题，与微分方程进行了综合）
6. 利用最大最小值定理、介值定理、中值定理证明某些结论。
7、 全微分方程（在曲线积分中）
8． 利用变量代换计算二重积分、三重积分（特别是广义极坐标变换求二重积分、广义球坐标变换计算三重积分）
9. 利用含参变量积分计算定积分（同济高数下册第五节）。
10. 函数项级数的一致收敛性（只需要会做同济下册第十二章第六节后习题4）
三、应对策略
1. 熟练掌握各类求导数公式（包括一元函数与多元函数中复合函数求导、隐函数求导、反函数求导数、偏导数等）、求积分公式，熟记基本初等函数的泰勒展开式。
2. 掌握有关概念，掌握各类积分的计算方法。
3. 请关注近年来研究生入学考试试题。前几届竞赛试题中多次出现考研题（有些就是原题）
4. 竞赛试题中难免有难度较大题目，在竞赛中可以选择放弃自己力所不能及的题目，把时间和精力用在自己能够解决的问题上。
四、补充说明
1. 要有足够信心。竞赛跟平时考试不同，不一定要及格。例如2012年山西省获奖分数为：
高等数学：42分以上为一等奖；35分以上为二等奖；30分以上为三等奖。上次数学协会摸底测试在50分以上的稍微下点功夫都可以冲击山西省一等奖。
2. 因中秋国庆等原因，数学竞赛培训只能放在国庆节后，但是参赛同学不能等到培训后才开始下功夫。要提前下功夫。我们认为：或者不参加，既然要参加就要下点功夫，取得自己满意的成绩。
3. 基本功需要每个同学各自夯实，培训重在提高。培训不是面面俱到，而是根据竞赛特点选择若干典型重要的专题进行讲授。根据前几年的情况，效果是令人满意的。
拟培训内容为：泰勒公式在各类问题中的应用；有关微分中值定理的题目；对称性在各类积分计算中的应用；各类求极限方法；各种不等式的证明；级数和微分方程的若干综合性题目；多元函数积分中的若干问题（变量代换、格林公式、高斯公式）、多元微分学的若干问题。
4. 培训目的是希望协助参赛同学获得理想成绩，但因培训要收费（培训教师的劳务、有关组织宣传服务），请有关同学根据本人经济条件和数学基础自愿报名。（不参加培训不影响参赛和成绩，数学竞赛由山西省数学会组织竞赛和阅卷等工作）
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