第十节 变化率与导数、导数的计算
[2017备考导航]
[要点梳理]
一、函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
f?x?－f?x?
函数y＝f(x)从x1到x2Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则
x2－x1
Δy
.
Δx
二、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 1．定义
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim →
Δx0
f?x0＋Δx?－f?x0?Δy
lim 为函数y＝f(x)ΔxΔxΔx→0
Δx0
在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim →
2．几何意义
f?x0＋Δx?－f?x0?Δy
＝lim ΔxΔxΔx→0
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)率．相应地，切线方程为y－f(x三、函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝lim →
Δx0
f?x＋Δx?－f?x?
为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.
Δx
四、基本初等函数的导数公式
(1)[f(x)±g(x)]′＝；
(2)[f(x)·g(x)]′＝；
(3)?f?x??f′?x?g?x?－f?x?g′?x?′＝(g(x)≠0)． ?g?x??[g?x?]六、复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[小题巩固]
1．思考辨析
(1)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( )
(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
1(4)若f(x)＝f′(a)x2＋ln x(a>0)，则f′(x)＝2xf′(a) ) x
解析 (1)错误．应先求f′(x)，再求f′(x0)．
(2)正确．如y＝1是曲线y＝sin x的切线，但其交点个数有无数多个．
(3)错误．如y＝0与抛物线y2＝x只有一个公共点，但是y＝0不是抛物线y2＝x的切线．
1(4)正确．f′(x)＝[f′(a)x2＋ln x]′＝(f′(a)x2)′＋(ln x)′＝2xf′(a)＋. x
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值等于
A．2
9 4B．－2 9D．－ 4
1解析 因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋.令x＝2，则f′(2)＝x
1992×2＋3f′(2)＋2f′(2)＝－，所以f′(2)＝－，故应选D. 224
答案 D
3．[导学号：35540128](2015·天津)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________．
解析 因为f′(x)＝a(1＋ln x)，所以f′(1)＝a＝3.
答案 3
4．曲线y＝5ex－3在点(0,2)处的切线方程为________．
解析 ∵y＝f(x)＝5ex－3，∴f′(x)＝5ex，则f′(0)＝5e0＝5，即f(x)在点(0,2)处的切线斜率k＝5，则对应的切线方程为y－2＝5(x－0)，即5x－y＋2＝0.
答案 5x－y＋2＝0
2－cos xπ?5．[导学号：35540129](2016·醴陵模拟)设曲线y＝在点 ??2，2?处的切线与直线sin x
x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.
?2－cos x?′sin x－?2－cos x??sin x?′1－2cos xπ?解析 由题意y′＝??2，2?处的sinxsinx
π1－2cos 2切线的斜率k1＝ ＝1. 又该切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，直线x＋ay＋1＝0的斜2πsin2
1率k2＝－，由k1k2＝－1，解得a＝1. a
答案
1
考点一 导数的计算
[自主演练]
[导学号：35540130]求下列函数的导数．
1111ln xx2＋?；(3)y＝x－sin xcos x；(4)y＝ln(1－2x)；(5)y＝(1)y＝exsin x；(2)y＝x?xx??22x＋1
解析 (1)y′＝(ex)′sin x＋ex(sin x)′＝exsin x＋excos x＝ex(sin x＋cos x)．
12(2)因为y＝x3＋1，所以y′＝3x2－xx11(3)因为y＝x－x，所以y′＝1－x. 22
(4)设y＝ln u，则y＝ln(1－2x)是由y＝ln u与u＝1－2x复合而成，所以y′x＝y′u·u′x
12＝(ln u)′·(1－2x)′＝ (－2)＝. u2x－1
?ln x?′?x2＋1?－?x2＋1?′ln x(5)y′＝ ?x＋1?
12?x＋1?－2xln x2xx＋1－2x2ln x＝?x＋1?x?x＋1?规律方法
导数计算的原则和方法
(1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．
(2)方法：
①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；
⑥复合函数：由外向内，层层求导．
考点二 导数的几何意义
?角度1 求切线方程
【典例1】 [导学号：35540131](2015·陕西)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
1【解析】 y＝f(x)＝xex?f′(x)＝(1＋x)ex，令f′(x)＝0?x＝－1，此时f(－1)＝－e
1数y＝xex在其极值点处的切线方程为y＝－. e
1【答案】 y＝－e
?角度2 求切点坐标
【典例2】 [导学号：35540132](2015·潍坊模拟)若曲线y＝x4－x在点P处的切线平行于直线y＝3x＋2，那么点P的坐标为________．
【解析】 设P点的坐标为(x0，y0)．求导得y′＝4x3－1.由导数的几何意义y′|x＝x0
4＝4x30－1＝3，解得x0＝1，y0＝1－1＝0，故P点的坐标为(1,0)．
【答案】 (1,0)
?角度3 求参数的值或范围
17【典例3】 [导学号：35540133]已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋m<0)，直线l与函22
数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为________．
1【解析】 ∵f′(x)＝，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴切线l的方程x
为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则x0＋m＝1，y0＝x0－1，
17y0＝x20＋mx0＋，m<0，于是解得m＝－2. 22
【答案】 －2
规律方法
导数几何意义的应用及解法
(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.
(4)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
1．(2015·赣州模拟)函数f(x)＝3ln x＋x2－3x3在点 3，f(3))处的切线斜率是
A．－23 B.3 C．23 D．43
3解析 由f(x)＝3ln x＋x23x＋3得f′(x)＝＋2x－3，∴f′(3)＝23. x
答案 C
2．(2015·临川一中模拟)若曲线f(x)＝ax2＋ln x上存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是
A．(－∞，0)
C．(0，＋∞) B．(－∞，1) D．(1，＋∞)
1解析 因为f′(x)＝2ax＋(x>0)，若曲线f(x)＝ax2＋ln x上存在垂直于y轴的切线，则x
11方程2ax＋0有解，∴a<0，故选A. x2x答案 A
3．若曲线y＝ex上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________． －
解析 设点P(x0，y0)，因为y′＝－ex，所以曲线在点P处的切线的斜率为k＝－e－－
x0，又因为切线平行于直线2x＋y＋1＝0，所以－e－x0＝－2，解得x0＝－ln 2，代入y＝e得y0＝2，所以点P(－ln 2,2)．
答案 (－ln 2,2) －x
4．(2015·新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1，即切线斜率k＝3a＋1，又∵f(1)＝a＋2，
a＋2－7∴切点为(1，a＋2)．∵切线过点(2,7)3a＋1，解得a＝1. 1－2
答案
1
[易错警示] 混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误
【典例】 [导学号：35540134]若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋都相切，则a等于
25A．－1或－ 64
725C．－ 46421B．－1或 47D．－或7 415－94
3【解析】 因为y＝x3，所以y′＝3x2.设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x0)，则在
32该点处的切线斜率为k＝3x20，所以切线方程为y－x0＝3x0(x－x0)，
3即y＝3x20x－2x0.
3又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝. 2
1525当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋－9相切可得a＝－ 464
3272715当x0＝时，由yx－与y＝ax2＋－9相切，可得a＝－1. 2444
【答案】 A
[失分原因] 解答本题易出现的失误是没有理解“过点(1,0)的直线?”的含义，误认为是切点而失误．
[防范措施] (1)对于曲线切线方程问题的求解，对曲线方程的求导是一个关键点，因此求导公式、求导法则及导数的计算应熟练掌握．
(2)对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解．
[导学号：35540135]已知函数f(x)＝x3－3x，过点P(－2，－2)作曲线y＝f(x)的切线，则切线的方程为________．
解析 ①当P(－2，－2)为切点时，切线方程为y＝9x＋16；
②当P(－2，－2)不是切点时，设切点为(a，b)，则b＝a3－3a，由于y′＝3x2－3，所以切线的斜率k＝3a2－3，故切线方程为y－b＝(3a2－3)(x－a)，又切线过点(－2，－2)，所
???a＝1，?a＝－2，?以－2－b＝(3a－3)·(－2－a)，解得或?(舍去)，所以切线方程为y＝－?b＝－2???b＝－2，2
2.
综上，所求的切线方程为y＝9x＋16或y＝－2.
答案 y＝9x＋16或y＝－2
[限时30分钟，满分50分]
一、选择题(7×5分＝35分)
1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，则f′(5)＝ A．3 C．5
B．4 D．6
解析 f′(x)＝6x＋2f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝12＋2f′(2)，即f′(2)＝－12，所以f′(x)＝6x－24，则f′(5)＝6.
答案 D
2．[导学号：35540136](2016·佛山模拟)函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程1
为y＝＋2，则f(1)＋f′(1)＝
2
A．2 C．4
B．3 D．5
15
解析 由已知点M(1，f(1))在切线上，所以f(1)＝＋2＝221
所以f′(1)＝，即f(1)＋f′(1)＝3.
2
答案 B
3．已知函数f(x)＝－x3＋ax－4(a∈R)，若函数y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线的π
倾斜角为a＝
4
A．2 C．4
B．－2 D．－4
π
解析 导函数f′(x)＝－3x2＋a，由导数的几何意义得k＝f′(1)＝－3＋a＝tan 1，
4解得a＝4.
答案 C
4．[导学号：35540137](2016·宜春模拟)幂函数f(x)＝xα的图象经过点A(4,2)，则它在A点处的切线方程为
A．x－4y＋4＝0 C．x－y－2＝0
α
B．x－2y＝0 D．x＋y－6＝0
111－11－11解析 由f(4)＝4＝2，得α＝，∴f(x)＝x2f′(x)＝2k＝f′(4)＝·4，
22224
1则所求的切线方程为y－2＝(x－4)，即x－4y＋4＝0. 4
答案 A
x＋15．(2016·宜春模拟)设曲线y＝(3,2)处的切线与直线ax－y＋1＝0平行，则a＝ x－1
A．2
1 2
解析 因为y＝B．－2 1D．－ 2x＋122＝1＋，y′＝－，则曲线在点(3,2)处的切线斜率为－x－1x－1?x－1?211＝－，所以a＝－，则选D. 22?3－1?答案 D
316．若曲线yx2＋x－y＝4x＋3平行，则切点坐标为 22
A．(1,2)
C．(－2,1) B．(2,1) D．(1，－2)
解析 设切点为(x0，y0)，由y′＝3x＋1得曲线在(x0，y0)处的切线斜率为k＝3x0＋1，据题意可知3x0＋1＝4，解得x0＝1，则切点坐标为(1,2)．
答案 A
7．(2016·昆明模拟)抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是 7 2
72 87 47 16
解析 y′＝2x，根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切
1点到直线x－y－2＝0的距离最短．设切点坐标为(x0，x2则y′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝，2)，2
11所以切点坐标为??24，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝
72上的点到直线x－y－2＝0. 8
答案 C
二、填空题(3×5分＝15分)
x8．设f(x)＝ln(－x)＋cos2f′(x)＝________. 2
1x11x?xx(－x)′＋2cos ·－sin ?sin 解析 f′(x)＝?2?2x?x2?22?112??24?7228
1xx答案 sin x22
ex
9．曲线f(x)＝x＝0处的切线方程为________． x－1
ex?x－1?－exex?x－2?解析 f′(x)＝＝x＝0处的切线的斜率为k＝f′(0)＝?x－1??x－1?－2，又f(0)＝－1，则所求的切线方程为y＋1＝－2x，即2x＋y＋1＝0.
答案 2x＋y＋1＝0
411，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________． 10．曲线yx3＋x在点??33
解析 y′＝x2＋1，∴k＝2，切线方程为6x－3y－2＝0，切线与坐标轴的交点分别是?0，－2?，?10?，故所求三角形的面积为S1×?－2?11. 3??3??2?3?39
1答案 9
[限时20分钟，满分30分]
11．(5分)下面四个图象中，有一个是函数f(x)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y3
＝f′(x)的图象，则f(－1)＝
1 3
7 32B．－ 315D．－或 33
解析 ∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，则②④排除．若f′(x)的图
5象为①，此时a＝0，f(－1)＝；若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a>0，3
1∴a＝－1，∴f(－1)＝－. 3
答案 D
2．(5分)已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．
解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.
答案 x－y－2＝0
3．(5分)设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为________．
解析 ∵f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)．∵f′(x)是偶函数，∴3(－x)2＋2a(－x)＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)，解得a＝0，∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，则f(2)＝2，k＝f′(2)＝9，即切点为(2,2)，切线的斜率为9，∴切线方程为y－2＝9(x－2)，即9x－y－16＝0.
答案 9x－y－16＝0
4．(5分)已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，?，fn(x)＝fn－1′(x)(n
π?π＋?＋f2 014?π＝________. ∈N*，n≥2)，则f1?＋f2?2?2?2解析 f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，
f3(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，
f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x，
以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)，
又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，
πππ??∴f1?＋f＋?＋f2 0142 ?22?2?π?πππ?????＝503?f＋f＋f＋f?1?2?2?23?24?2?＋
π?π??f1?＋f?2?2?2?＝0.
答案 0
ax－65．[导学号：35540138](10分)已知函数f(x)＝A(－1，f(－1))处的切线x＋b
方程为x＋2y＋5＝0，求y＝f(x)的解析式．
解析 由已知得，－1＋2f(－1)＋5＝0，所以f(－1)＝－2，即切点为(－1，－2)．
?ax－6?′?x2＋b?－?ax－6??x2＋b?′又f′(x)＝?x＋b?
－ax2＋12x＋ab＝， ?x＋b?－a－6??1＋b2，
所以?－a－12＋ab1＝－，?2??1＋b? ??a＝2，解得? ?b＝3.?
2x－6所以f(x)＝. x＋3
第十一节 导数的应用
第一课时 导数与函数的单调性
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[要点梳理]
函数的单调性与导数
1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系
(1)若f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f(x)在这个区间内是常数．
2．利用导数判断函数单调性的一般步骤
(1)求；
(2)在定义域内解不等式
(3)根据结果确定f(x)的单调区间．
[小题巩固]
1．思考辨析
(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.( )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( )
(3)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象越“平缓”．( )
解析 (1)错误．例如f(x)＝x3在(－2,2)上单增，但f′(0)＝0.
(2)正确．如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常函数，不具有单调性．
(3)错误．应为函数的导数的绝对值越小．
答案 (1)× (2)√ (3)×
2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是
A．(0,1)
C．(－∞，1)
22?x＋1??x－1?解析 ∵f′(x)＝2x－(x>0)． xx
∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
答案 A
3．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)>1－f′(x)，f(0)＝0，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)>ex－1(其中e为自然对数的底数)的解集为
A．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) B．(1，＋∞) D．(－1,1)
解析 设g(x)＝exf(x)－ex＋1，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]．因为f(x)>1－f′(x)，即f(x)＋f′(x)－1>0，所以g′(x)>0，故函数g(x)在R上是增函数，又f(0)＝0，所以g(0)＝0，不等式exf(x)>ex－1可化为exf(x)－ex＋1>0，即g(x)>g(0)，所以x>0，则原不等式的解集为(0，＋∞)．
答案 B
14．函数f(x)＝x3＋x2－ax在[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是________． 3
解析 f′(x)＝x2＋2x－a，据题意知f′(x)≥0，即a≤x2＋2x，而x2＋2x＝(x＋1)2－1≥(1＋1)2－1＝3，所以a≤3.
答案 (－∞，3]
45．当x>0时，f(x)＝x＋的单调减区间为________． x
4??1－x4解析 f′(x)＝1－，令f′(x)<0，∴?. x?x>0?
解得0<x<2，即f(x)的减区间为(0，2).
答案
(0,2)
考点一 判断或证明函数的单调性
【典例1】 [导学号：35540139]已知函数f(x)＝ax2－2x＋ln x(a≥0)，讨论f(x)的单调性．
1【解析】 f′(x)＝ax2－2x＋1)，x∈(0，＋∞)． x
110，?上f′(x)≥0，f(x)为增函数；在区间 ①当a＝0时，f′(x)＝(－2x＋1)，在区间??2?x
?1∞?上f′(x)≤0，f(x)为减函数； ?2?
1－1－2a11－2a1②当0<a<时，2ax2－2x＋1＝0的根为x1x2＝22a2a
?11－2a?上f′(x)≥0，?11－2a1＋1－2a?上在区间?0，f(x)为增函数；在区间??2a2a2a???f′(x)≤0，f(x)是减函数；在区间??1＋1－2a?∞? 上，f′(x)≥0，f(x)为增函数； 2a??
1③当aΔ＝4－8a≤0，f′(x)≥0，在区间(0，＋∞)上f′(x)≥0恒成立，函数在2
(0，＋∞)上为增函数．
规律方法
导数法证明或判定函数单调性的方法
(1)求f′(x)；
(2)确认f′(x)在(a，b
)内的符号；
(3)作出结论：f′(x)>0时为增函数；f′(x)<0时为减函数．
[易错提醒] 研究含参函数的单调性时，要注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
1．[导学号：35540140]已知函数f(x)＝ax2＋bx，g(x)＝ln x.
(1)当a＝1，b＝2时，求函数y＝f(x)－g(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若2a＝1－b(b>1)，讨论函数y＝f(x)－g(x)的单调性．
解析 (1)令F(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋bx－ln x，
1则F′(x)＝2ax＋bx
当a＝1，b＝2时，F′(1)＝2a＋b－1＝3，F(1)＝a＋b＝3.
∴函数y＝f(x)－g(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－3＝3(x－1)，即3x－y＝0.
21?1－b?x＋bx－1(2)F′(x)＝(1－b)x＋b xx
[?b－1?x－1]?x－1?＝－(x>0)． x
111当<1，即b>2时，F(x)的增区间为?b－1，1?，减区间为?0b－1?，(1，＋∞)． ????b－1
当11，即b＝2时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减． b－1
当111，即1<b<2时，F(x)的增区间为?1，b－1，减区间为(0,1)，?b－1，＋∞?. ????b－1
考点二 求函数的单调区间
【典例2】 [导学号：35540141]已知函数f(x)＝x2－mln x，求f(x)的单调区间．
2m2x－m【解析】 ∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－ xx
∴若m≤0，则f(x)在(0，＋∞)单调递增，
若m>0，由f′(x)>0，可得x> ∴m>0时，f(x)的递增区间是( mx<－ 2m舍)，由f′(x)<0可得0<x< 2?， 2?m，2m，＋∞)，递减区间是?0， 2?
综上可得：m≤0时，f(x)的递增区间为(0，＋∞)，无减区间，
m>0时，f(x)的递增区间是? ???∞，递减区间是0， 2???. 2?
规律方法
求函数的单调区间的“两个”方法
方法一
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
方法二
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；
(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
2．[导学号：35540142](2016·银川模拟)已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间．
a解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－. x
2(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲x
线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
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