江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题
第五届（2000年）专科类高等数学竞赛试题
一、填空题（每小题3分，共15分）
1．已知d12??f(x)??x，则f?(x)? ． dx?
1
lnx(tanx)2．lim?x?0?．
3
．??． (?2)n?1n?6na4．若级数?收敛，则a的取值为 ． n6nn?1
5． ?a
?a[f(x)?f(?x)]sinxdx? ．
二、选择题（每小题3分，共15分）
e2x?11．函数f(x)?的可去间断点为（）． x(x?1)
A．x?0,1 B．x?1 C．x?0 D． 无可去间断点
22．设f(x)?xsin1,g(x)?sinx，则当x?0时，f(x)是g(x)的（）． x
A．同阶无穷小但不等价B．低阶无穷小C．高阶无穷小 D．等价无穷小
x?k在(0,??)内零点个数为（）． e
A．3B．2C．1D． 0 3．设常数k?0，函数f(x)?lnx?
4．设y?f(x)对一切x满足y???2y??4y?0，若f(x0)?0且f?(x0)?0，则函数f(x)在点x0（）．
A．取得极大值 B．取得极大值
C．某个邻域内单调增加D．某个邻域内单调减少
5．过点(2,0,?3)且与直线??x?2y?4z?7?0, 垂直的平面方程是（）． 3x?5y?2z?1?0?
A．?16(x?2)?14y?11(z?3)?0B．(x?2)?2y?4(z?3)?0
C．3(x?2)?5y?2(z?3)?0D．?16(x?2)?14y?11(z?3)?0
??ln(1?x)?(ax?bx2)dx三、（8分）设lim，求常数a,b． ?22?ex?0xx(lnx)
d2y?x?t(1?t)?0,四、（6分）已知函数y?y(x)由方程组?y 确定，求2dxte?y?1?0?
． t?0
五、（6分）设f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且对于(a,b)内的一切x均有f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0，证明：若f(x)在(a,b)内有两个零点，则介于这两个零点之间，g(x)至少有一个零点．
六、（6分）设f(x)?a1sinx?a2sin2x???ansinnx，其中a1,a2,?,an是实数，且|f(x)|?|sinx|，试证：|a1?2a2???nan|?1
七、（6分）过抛物线y?x2上一点(a,a2)作切线，问a为何值时所作切线与抛物线y??x2?4x?1所围成的图形面积最小？
八、（6分）当x?0时，F(x)?
九、（8分）求级数?x0 (x2?t2)f?(t)dt的导数与x2为等价无穷小，求f?(0)．?(2n?1)x
n?0?2n?1的收敛域及和函数.
十、（8分）将f(x)?arctan1?x展为x的幂级数，并指明收敛域． 1?x
x5?x十一、（6分）求?8． x?1
十二、（8分）设可微函数f(x)在x?0上有定义，其反函数为g(x)，且满足
f(x) ?113g(x)dxx?(x2?8)，试求f(x)． 3
第六届（2002年）专科类高等数学竞赛试题
一、填空题（每小题5分，共40分）
ln(1?x4)1．lim? ． x?01?cos(1?cosx)
ex?2
．设limx?0?xk?c(c?0)，则k?c?
3．设f(x)在[1,??)上可导，下列结论中成立的是 ．
A．若limf?(x)?0，则f(x)在[1,??)上有界 x???
B．若limf?(x)?0，则f(x)在[1,??)上无界 x???
C．若limf?(x)?1，则f(x)在[1,??)上无界 x???
d2y4．设x?ln(1?t),y?t?arctant，则2? dx2
5．设由e?y?x(y?x)?1?x确定y?y(x)，则y??(0)?
6．(arcsinx?arccosx)dx? ． ?
7
．???
4? ． 1?n?11???????x的收敛域为 ． 2n?n?1??8． 幂级数
二、（8分）设f(x)在[0,??)上连续且单调减少，0?a?b，求证：
a?f(x)dx?b?f(x)dx． 00ba
三、（9分）设f(x)?kx?sinx．
（1）若k?1，求证：f(x)在(??,??)上恰有一个零点；
（2）若0?k?1，且f(x)在(??,??)上恰有一个零点，求常数k的取值范围．
x??四、（8分）求?2ex?1?tan?dx． 02??
?2
?x2?y2?z2?4x?4y?2z?0,五、（9分）设?:?
?2x?y?2z?k.
（1）当k为何值时?为一圆？ （2）当k?6时，求?的圆心和半径．
六、（8分）求直线x?1yz??绕y轴旋转一周的旋转曲面的方程，并求该曲面与21?1
y?0,y?2所包围的立体的体积．
?122232n2
七、（9分）求lim?1?2?3???nn??2222?
八、（9分）设k为常数，试判别级数
件收敛？何时发散？
??． ??(?1)n?2?n1的敛散性，何时绝对收敛？何时条k2n(lnx)
第七届（2004年）专科类高等数学竞赛试题
一、填空题（每小题5分，共40分）
1．f(x)是周期为?的奇函数，当x??0,?
???2?则当x???时，f(x)?sinx?cosx?2，???,??2??
时，f(x)? ．
x与cxk为等价无穷小，则k?，2．当x?0时，x?sinxcos
c?
3．lim(sinx)tan
x?2x??
2
4．lim?nn??n????? 222?n??n2?1n?4n?n??
(n)5．已知f(x)?x2ln(1?x)，则当n?2时，f(0)?．
ex(1?x)6．?? ． (1?xex)2
7．以直线x?y?z为对称轴，且半径R?1的圆柱面方程为
8． n? ． ?n(n?1)2n?1?
二、（10分）设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)?a，求证：在(a,b)内至少有一点?，使得f?(?)?f(?)???1．
?baf(x)dx?12(b?a2)，2
三、（10分）设D?{(x,y)|y2?x2?4,y?x,x?y?2,x?y?4}．在D的边界y?x上任取一点P，设P到原点的距离为t，作PQ垂直于y?x，交D的边界y2?x2?4于Q．
（1）试将P,Q的距离|PQ|表示为t的函数；（2）求D绕y?x旋转一周的旋转体体积．
四、（10分）设f(x)在(??,??)上有定义，f(x)在x?0处连续，且对一切实数x1,x2有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)，求证：f(x)在(??,??)上处处连续．
五、（10分）设k为常数，方程kx?
六、（10分）已知点P(1,0,?1)与Q(3,1,2)，在平面x?2y?z?12上求一点M，使得1?1?0在(0,??)上恰有一根，求k的取值范围． x|PM|?|MQ|最小．
七、（10分）求幂级数1n收敛域 x?nnn?1n(3?2)?
第八届（2006年）专科类高等数学竞赛试题
一、填空题（每小题5分，共40分）
?1222n2?1．lim?32?3???3?． 22?n??n?1n?2n?n??
2．limx?0?x01?t2(e?1)dt? ． 3x
3
．若limax?b)?0，则a?，b?． x???
4．设f(x)?(1?x?x2)esinx，则f??(0)?．
d2y5．设x?ln(1?t),y?arctant，则dx22?．
t??1
6．ln[(x?a)x?a?(x?b)?x?b]1dx? ． (x?a)(x?b)
7．A,B,C,D为空间的4个定点，AB与CD的中点分别为E,F，|EF|?a（a?0为常
????????????????数），P为空间的任一点，则(PA?PB)?(PC?PD)的最小值为
8． 已知点A(?4,0,0),B(0,?2,0),C(0,0,2),O为原点，则四面体OABC的外接球面的方程为 ．
?ax2?bsinx?c,x?0二、（8分）设f(x)?? ，试问：a,b,c为何值时，f(x)在x?0x?0?ln(1?x),
处一阶导数连续，但二阶导数不存在．
三、（9分）过点(1,5)作曲线?:y?x3的切线L．
（1）求L的方程；（2）求?与L所围平面图形D的面积；
（3）求图形D的x?0的部分绕x轴旋转一周所得立体的体积．
四、（8分）设f(x)在区间[0,??)上是导数连续的函数，f(0)?0,|f(x)?f?(x)|?1，求证：|f(x)|?ex?1,x?[0,??)．
五、（8分）求
六、（9分）设圆柱面x2?y2?1(z?0)被柱面z?x?2z?2截下的（有限）部分为?．为计算曲面?的面积，我们用薄铁片制作?的模型，其中A(1,0,5),B(?1,0,1),C(?1,0,0)为?上三点，将?沿线段BC剪开并展成平面图形D．建立平面直角坐标系，使D位于x轴正上方，点A的坐标为(0,5)．试写出D的边界的方程，并求D的面积．
七、（9分）对常数p
，讨论级数
时发散？
八、（9分）求幂级数
2arctanx?0(1?x)2． 1?(?1)n?n?1?何时绝对收敛？何时条件收敛？何n2nx的收敛域与和函数． ?n2n?1?
第九届（2008年）专科类高等数学竞赛试题
一、填空题（每小题5分，共40分）
1．a?b?lim
2．lim
3．设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?100)，则f?(100)?．
24．当a?，b?时，f(x)?ax?x?ax?2|x|?arctanx??． x??bx?|x|21? ． ?n??k?1k(k?2)nx在x?0时关于x的无1?bx
穷小的阶数最高．
5．
6．点(2,1,?1)关于平面x?y?2z?5的对称点的坐标为
7．通过点(1,1,?1)与直线：x?t,y?2,z?2?t的平面方程为．
8． 幂级数
二、（8分）设数列{x
n}为x1?1,xn?1?n?1,2,?)，求证数列{xn}收敛，并求其极限．
三、（8分）设函数f(x)在[a,b]上连续(a?0),
得
???1x2? ． (1?x2)2?nxn?1?n的和函数为 ，收敛域为 ． ?baf(x)dx?0，求证：存在??(a,b)，使??af(x)dx??f(?)．
四、（8分）将xOy平面上的曲线(x?b)2?y2?a2(0?a?b)绕直线x?3b旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积．
五、（8分）求lim?t?0?t0sin(tx)2dx．
六、（10分）在平面?:x?2y?z?20内作一条直线?，使该直线经过另一直线
?x?2y?2z?1,与平面?的交点，且?与L垂直，求直线?的参数方程． L:??3x?y?4z?3
七、（8
分）判别级数
?(?1)n?1n?1?． 1的收敛性（包括绝对收敛、条件收敛、发散）?
x2?2八、（10分）求函数f(x)?的幂级数展开式，并指出其收敛域． (x?1)2(1?2x)
第十届（2010年）专科类高等数学竞赛试题
一、填空题（每小题4分，共32分）
1． lim
2．y?arctan(x2)?extanx，则y??．
3．设由xy?yx确定y?y(x)，则
4．y?cos2x，则y(n)?
5．
6．
7．圆?
sinx?sin(sinx)? x?0x3dy?． dx1?xx?x2dx? ． 1?0xarctan(x2)? ． 41?x?2x?2y?z?2?0,的面积为 ． 222x?y?z?4x?2y?2z?19?
1?(?1)nn!8． 级数?的和为 ． n2n!n?1?
二、（10分）设a为正常数，使得x?e对一切正数x成立，求常数a的最小值．
三、（10分）设函数f(x)在[0,1]上连续，且
使得
2ax?10求证：存在??(0,1)，f(x)dx??xf(x)dx，01??af(x)dx?0．
四、（12分）求反常积分
???21． 1?x4
五、（12分）过原点(0,0)作曲线y??lnx的切线，求该切线、曲线y??lnx与x轴所围的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积．
E为D1C1的中点，F为侧面正方六、（12分）已知正方体ABCD?A1BC11D1的边长为2，
ABCD所成的二面角的值； 形BCC1B1的中心．（1）试求过点A1,E,F的平面与底面
（2）试求点D到过点A1,E,F的平面的距离．
七、（12分）已知数列{an}单调增加，满足a1?1,a2?2,a3?5,?,an?1?3an?an?1
?1(n?2,3,?)，记xn?，判别级数?xn的敛散性． ann?1
第十一届（2012年）专科类高等数学竞赛试题
一、填空题（每小题4分，共32分）
1．
x?? ． 13?23???n3
2．lim? ． x??n4
?3．limx?0x0tsin3tdtx2sin3x?．
4．y?ln(1?x)，则y(n)?
25．xarctanxdx? ． ?
1arccos? ． 1x
x?1y?3z??的距离为 ． 7．点(2,1,?3)到直线1?226
．nk
8． 级数?(?1)为条件收敛，则常数k的取值范围是 ． n?1n?2?n
二、（每小题6分，共12分）
3?31?（1）求limn?2??． 2?n??n(n?i)i?1??3
（2）设f(x)在x?0处可导，且f(0)?1,f?(0)?2，求limx?0f(cosx?1)?1． x2
三、（第（1）小题4分，第（2）小题6分，共10分）在下列两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例；若不存在，请给出证明．
（1）函数f(x)在(??,?)上有定义（??0），当???x?0时，f(x)严格增加，当0?x??时，f(x)严格减少，limf(x)存在，且f(0)是f(x)的极小值． x?0
（2）函数f(x)在(??,?)上一阶可导（??0），f0()
的拐点．
为极值，且(0,f(0))为曲线y?f(x)
四、（10分）求一个次数最低的多项式P(x)，使得它在x?1时取极大值13，在x?4时取极小值?14．
五、（12分）过原点(0,0)作曲线?:y?e?x的切线L，设D是以曲线?、切线及x轴为边界的无界区域．（1）求切线L的方程；（2）求区域D的面积；（3）求区域D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
六、（12分）点A(1,2,?1),B(5,?2,3)在平面?:2x?y?2z?3的两侧，过点A,B作球面?使其在平面?上截得的圆?最小．
（1）求直线AB与平面?的交点M的坐标；
（2）若点M是圆?的圆心，求球面?的球心坐标与该球面方程；
（3）证明：点M确是圆?的圆心．
n(n?1)?(?1)n
七、（12分）求级数?的和． n2nn?1?
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