辽宁省沈阳二中2013-2014学年高一上学期期中考试 数学试题 说明：1.测试时间：150分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸的相应位置上
第Ⅰ卷 （60分）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．与y?|x|为同一函数的是（ ）
A
．y?2 B
．y C．y?
?x,(x?0)D．y?alogax ?x,(x?0)
2．已知A?B?R,x?A,y?B,f:x?y?ax?b是从A到B的映射，若1和8的原象分别是3和10，则5在f下的象是（ ）
A.3B.4C.5D.6
3. 如图所示，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合.若x，y∈R,A＝{x|y2x－x}，
xB＝{y|y＝3，x>0}，则A#B为()
A．{x|0<x<2}B．{x|1<x≤2}
C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}
2
4．设a?3，b?()?
A.a132，c?log32，则() C. c?b?c B.b?c?a?a?b D.a?c?b
5. 幂函数的图像过点(2,)，则它的单调递增区间是()
A．(??,1)B．???,0?C．?0,??? D．???,???14
6．设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为
()
A．(－1,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞,－2)∪(2，＋∞)D．(－2,0)∪(0,2)
7．若定义在（－1，0）内的函数f(x)?log2a(x?1)?0，则a的取值范围是 （ ）
11A．(0,)B．(,??) 22
1(0,]D．(0,??)C．2- 1 - 二中高一期中
8.函数f(x)＝loga(2－ax)在(0,1)上为减函数，则实数a的取值范围是
A. [,1) 2 ( ) 1
2B．(1,2) C．(1,2] D. (,1) 1
2
9.设函数f(x)＝log3x＋2a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是 ( ) x
B．(0，log32)
D．(1，log34) A．(－1，－log32) C．(log32,1)
x －x 10．若函数f(x)＝a＋ka(a＞0，a≠1)在R上既是奇函数，又是增函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图像是
( )
1??x>0?，11. 设函数f(x)＝?x
??ex?x≤0?，
A．(－∞，1]
C．(－∞，1]∪[2，＋∞)
（ ） A. (?2,) B. (??,6) C. (??, D. (?
F(x)＝f(x)＋x，x∈R.F(x)的值域为 ( ) B．[2，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞) x2x??x???,1f(x)?1?2?(a?a)412．时，函数的图象在x轴的上方，则实数a的取值范围是 141413,) 22
第Ⅱ卷 （90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．方程2?x?2的实数解的个数是 个. x
14．对于任意实数x，[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．这个函数[x]叫做“取整函数”，则[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋[lg 4]＋…＋[lg 2 013]＝________.
- 2 - 二中高一期中
15.已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m＋n＝________.
1x16．已知函数f(x)＝(的图像与函数y＝g(x)的图像关于直线y＝x对称，令h(x)＝g(1－|x|)，则关于2
h(x)有下列命题：
①h(x)的图像关于原点对称；
②h(x)为偶函数；
③h(x)的最小值为0；
④h(x)在(0,1)上为减函数.
其中正确命题的序号为 .(将你认为正确的命题的序号都填上)
三、解答题（共6道题，满分70分）
17．（本小题满分10分）
①计算：?lg2??lg20×lg5 2
②解方程5x?1103x?8x
18．（本小题满分12分）
设函数y?f(x)是定义在R上的减函数，并且满足f(xy)?f(x)?f(y)，f???1，
（1）求f(1)的值。 （2）如果f(x)?f(2?x)?2，求x的取值范围。
19．（本小题满分12分）
某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
20．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝－x＋mx－m.
(1)若函数f(x)的值域是(－∞，0]，求实数m的值；
(2)若函数f(x)在[－1,0]上单调递减，求实数m的取值范围；
(3)是否存在实数m，使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分12分） 2??1??3?
- 3 - 二中高一期中
已知指数函数y?g?x?满足：g(3)=8，定义域为R的函数f?x??
（1）确定y?g?x?的解析式；
（2）求m，n的值； n?g?x?是奇函数. m?2gx22（3）若对任意的t?R，不等式f2t?3t?ft?k?0恒成立，求实数k的取值范围． ????
22．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝lg(mx－2x)(0＜m＜1)．
(1)当m?1
2时，求f(x)的定义域；
(2)试判断函数f(x)在区间(－∞，0)上的单调性并给出证明；
(3)若f(x)在(－∞，－1]上恒取正值，求m的取值范围．
沈阳二中2013—2014学年度上学期期中考试
高一（16届）数学试题答案
1-12 BADAB CACCD CD
13．2 14．4 932 15． 52 16．②③
17．①原式=?lg2?2??1?lg2?×lg5=lg2??lg2?lg5??lg5=lg2?lg5?1-------5分 ②5x?1?53x?23x?23x， 54x?1?1，4x-1=0， x=1
4------------------------10分
18．解：解：（1）∵对任意，有，
∴令x=y=1，则，∴ -----------------------------4分
（2）对任意，有，
∴2=1+1=，
∴， 又是定义在R+上的减函数，
- 4 - 二中高一期中
∴ ，解得：。------------------------12分
3600－300019. （1）当每辆车月租金为3600元时，未租出的车辆数为 ＝12，所以这时租出了88辆. 50
------------------------------------4分
（2）设每辆车的月租金定为x元，则公司月收益为
x－3000x－3000f(x)＝(100 )(x－150)－×50 5050
12整理得:f(x)＝－ ＋162x－21000x－4050)＋307050 5050
∴当x＝4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050 元------------------12分
220．解：(1)依题意可得Δ＝m－4m＝0，解得m＝0或m＝4.-----------------------2分
(2)函数f(x)图像的对称轴是x?x2mm，要使f(x)在[－1,0]上是单调递减的，应满足??1，解得m≤－22
2. -----------------------------4分
(3)当m?2，即m≤4时，f(x)在[2,3]上是减少的． 2
若存在实数m，使f(x)在[2,3]上的值域是[2,3]，
则有??f(2)?3,??4?2m?m?3,即?解得m无解．
?f(3)?2,??9?3m?m?2,
?f(2)?3,??4?2m?m?2,即?解得m＝6.
?f(3)?2,??9?3m?m?3,
m当≥3，即m≥6时，f(x)在[2,3]上是增加的， 2则有?m当2＜3，即4＜m＜6时，f(x)在[2,3]上先增加，再减少，所以f(x)在x?处取最大值． 22m
m?m??m?则有f??????+m??m?3， 2?2??2?
解得m＝－2或6(舍去)．
综上，存在实数m＝6，使f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]．----------------12分
x21.解：（1） 设g?x??a ?a?0且a?1?,则a?8， 32
?a=2, ?g?x??2x， -------------------------------2分
n?2x
（2）由（1）知：f?x??， m?2x?1
因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即
n?1?0?n?1 , 2?m- 5 - 二中高一期中
1?2x
∴f?x??x?1， 又f(?1)??f?1?， 2?m
1
1?2?=??m?2；………………6分 m?14?m1?
1?2x11???（3）由（2）知f(x)?， x?1x2?222?1
易知f(x)在R上为减函数.
又因f(x)是奇函数，从而不等式：
f?2t?3t2??f?t2?k??0
222等价于f2t?3t??ft?k=fk?t， ??????
因f(x)为减函数，由上式得：2t?3t?k?t,………………10分 即对一切t?R有：2t?2t?k?0，
从而判别式????2??4?2?k?0?k?
22221. …………12分 2
1?1?－xx22．解：(1)当m＝时，要使f(x)有意义，须???2x?0，即2＞2， 2?2?
可得－x＞x，即x＜0，
∴函数f(x)的定义域为{x|x＜0}．--------------------------2分
(2)函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数．------------------4分 证明：设x2＜0，x1＜0，且x2＞x1，
xx则x2－x1＞0.令g(x)＝m－2，
则g(x2)－g(x1)＝mx2?2x2?mx1?2x1=m2?m1?21?22.
∵0＜m＜1，x1＜x2＜0，∴m2?m1?0,21?22?0，∴g(x2)－g(x1)＜0，即g(x2)＜g(x1)， ∴lg(g(x2))＜lg(g(x1))，∴lg(g(x2))－lg(g(x1))＜0，
∴f(x)在(－∞，0)上是减函数．-----------------------------8分
(3)由(2)知：f(x)在(－∞，0)上是减函数，
∴f(x)在(－∞，－1]上是减少的，
－1－1∴f(x)在(－∞，－1]上的最小值为f(－1)＝lg(m－2)，
－1－1∴要使f(x)在(－∞，－1]上恒取正值，只需f(－1)＝lg(m－2)＞0，
即m－2＞1，∴－1－1xxxxxxxxx113?1??， m22
- 6 - 二中高一期中
23.-------------------------------------12分
- 7 - 二中高一期中∵0＜m＜1，∴0＜m＜
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