能否攻克最后面的问题，
取决于理解是否准确、到位
（第二轮复习重要题例回放）
,1)例1函数y?f(x)在定义域内可导，若f(x)?f(2?x)且当x?(??时，
1(x?1)f'(x?)，则0a?f(0),b?f(),c?f(3)的大小关系是（） 2
（A）a?b?c(B)c?a?b (C)b?a?c (D)c?b?a
解答：x?1是f(x)的对称轴，x?1与f'(x)异号，∴选（B）
例2已知函数f(x)?alnx?x2（a?R）.
（1）若a??2，求证：函数f(x)在(1,??)上是增函数；
（2）求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在x?[1,e]，使得f(x)?(a?2)x成立，求实数a的取值范围. 解答：（1）a??2则f(x)??2lnx?x2，
22(x2?1)?0恒成立， ∴ 当x?(1,??)时，f(x)???2x?xx'
故a??2时，函数f(x)在区间(1,??)上是增函数；
a2x2?a（2）∵f(x)??2x?， xx'
'∴当a??2时，f(x)?0恒成立，函数f(x)在区间[1,e]上是增函数，故a??2时，函
数f(x)在区间[1,e]的最小值是f(1)?1，相应的x?e；
a， '当a??2时，由于??
1，f(x)?2
故当1??e，即?2e2?a??2时，函数f(x
)在x?
faaa?ln(?)?； 222
?e，即当a??2e2时，函数f(x)在区间[1.e]上单调递减，故f(x)在x?e处取得最小值f(e)?a?e2.
x2?2x（3）f(x)?(a?2)x?alnx?x?(a?2)x?a?，存在x?[1,e]使此不等式x?lnx2
x2?2x成立，令h(x)?（x?[1,e]），则只需a?h(x)的最小值即可.求得函数h(x)在x?lnx
区间[1,e]的最小值为?1，故a得取值范围是[?1,??).
2例3已知对数函数g(x)满足g(e)?2.设f(x)?g(x). x
（1）求函数f(x)最大值；
（2）证明：对一切x?(0,??)，恒有x(x?1)e?
解答：（1）设gx()?olg
∵ f(x)?'2xx?lnx. elnx. x，则有g(e2)?logae2?2?a?e，∴g(x)?lnx,f(x)?xa1?lnx''0?x?e，∴ 当时，，当时，f(x)?0f(x)?0 x?e2x
1 ∴函数f(x)在x?e处取得最大值； e
1lnx2x（2） 证明：只需证，当x?(0,??)，(x?1)e??恒成立. ex
lnx1 由（1）知，f(x)?在(0,??)上的最大值为，但在(0,??)上，xe
1111g(x)?(x?1)2ex??，且函数f(x)取得最大值与g(x)取得最小值的x值不eeee
x2x同，∴ g(x)?f(x)恒成立，从而对一切x?(0,??)，恒有x(x?1)e??lnx. e
例4已知函数f(x)?ax?4x?2.若对任意x1,x2?R(x1?x2)都有2
?x?x?f(x1)?f(x2)f?12??. 2?2?
（1）求实数a的取值范围；
（2）对于给定的实数a，有一个最小的负数M(a)，使得x?[M(a),0]时，
?4?f(x)?4都成立，则当a为何值时，M(a)最小？并求出M(a)的最小值.
解答：（1）∵
f(x1)?f(x2)
?
2
22
?x1?x2?a(x1?x2)?4(x1?x2)?4?x1?x2??x1?x2?f???a?4??????2
2222??????
2
?
a
(x1?x2)2?0对x1?x2恒成立， 4
∴ a?(0,??)；
（2）∵ f(x)?ax?4x?2?a(x?)?(2?)
2
2a
2
4a
∴ 当?(2?)??4，即当0?a?2时，M(a)?(?
4a2
,0)且f(M(a))??4. a
令ax?4x?2??4?x?
2
，此时取较大的根为
M(a)?
，便能满足x?[M(a),0]时，?4?f(x)?4?
4a
2a
恒成立（如上左图）；
同理，当?(2?)??4，即当a?2时，M(a)?(??,?)且f(M(a))?4.
令ax?4x?2?4?x?
2
?2
a
此时取较小的根为M(a)?
?2，便能满足x?[M(a),0]时，?
a?4?f(x)?4
∵ 0?a?
2时，M(a)???1，a?
2时，M(a)???3 ∴ 负数M(a)当a?2时取得最小值?3.
（此问题中的负数“M(a)”不仅与正数a有关，而且只能是直线y??4与二次函数
f(x)交点得横坐标；?4?f(x)?4所谓负数M(a)确定，依据是x?[M(a),0]时，
必须恒成立！）
例5某森林出现火灾，火势以每分钟100m的速度顺风蔓延.消防站接到警报后即派消防员在火灾发生后5分钟到达救火现场.已知消防队员每人每分钟灭火50m，所消耗的灭火材料、劳务等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元.如果烧毁1平方米森林损失60元，问应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？
解答：设应该派x名消防队员前去救火，在t分钟后火被扑灭，则 50xt?500?100t?t?
所以总消耗 y?50xt?60?100x?xt?125?y?2210. x?231250x?100x x?2
y625x2x2?621x??2x?令f(x)?，则50x?2x?2
(4x?621)(x?2)?(2x2?621x)2(x?27)(x?23). f(x)??(x?2)2(x?2)2'
''显然x?2，且当2?x?27时，f(x)?0；当x?27时，f(x)?0
∴当x?27时，总损失y最小.
因此应该派27名消防队员前去救火才能使总损失最少且最小损失为36450元. （怎样理解50xt?500?100t？）
例6国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6000元.某大学2010届毕业生凌霄在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清.
签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元.凌霄同学计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比上一月多x元.
（Ⅰ）若凌霄恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x的值；
（Ⅱ）当x?50时，凌霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月3000元的基本生活费？
（参考数据：1.0518?2.406,1.0519?2.526,1.0520?2.653,1.0521?2.786）
解答：（Ⅰ）依题意，从第13个月开始，每月还款额比前一个月多x元，故
12?500?(500?x)?(500?2x)???(500?24x)?24000
即 36?500?(1?2?3???24)x?24000，解得x?20（元）.
故要在三年内全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元. （Ⅱ）设凌霄第n个月还清，则应有
12?500?(500?50)?(500?2?50)???[500?(n?12)?50]?24000
即n?3n?828?
0，解之得n?2?30，取n?31. 即凌霄工作31个月就可以还清贷款.
这个月凌霄的还款额为
24000?[12?500?(500?50)?(30?12)?
19(30?12)?(30?12?1)?50]?450元 2第31个月凌霄的工资为1500?1.05?1500?2.526?3789元.
因此，凌霄的剩余工资为3789?450?3339，能够满足当月的基本生活需求. （怎样理解和把握贷款第n个月还清？）
例7设函数f(x)?(x2?ax?b)ex(x?R)．（1）若a?2,b??2，求函数f(x)的极值；
（2）若x?1是函数f(x)的一个极值点，试求出a关于b的关系式（用a表示b），并
2x?4确定f(x)的单调区间；（3）在（2）的条件下，设a?0，函数g(x)?(a?14)e．若存
在?1,?2?[0,4]使得f(?1)?g(?2)?1成立，求a的取值范围．
解答：（1）∵f?(x)?(2x?a)ex?(x2?ax?b)ex?[x2?(2?a)x?(a?b)]ex
当a?2,b??2时，f(x)?(x2?2x?2)ex
则f'(x)?(x?4x)e
令f'(x)?0得(x?4x)e?0，
2∵ex?0 ∴x?4x?0，解得x1??4,x2?0 2x2x
∵当x?(??时f'(x)?0，当x?(0,??)时,?4)时，f'(x)?0，当x?(?4,0)
f'(x)?0
∴当x??4时，函数f(x)有极大值，f(x)极大＝6， e4
当x?0时，函数f(x)有极小值，f(x)极小??2.
（2）由（1）知f?(x)?[x?(2?a)x?(a?b)]e
∵x?1是函数f(x)的一个极值点 ∴f?(1)?0 2x
即e[1?(2?a)?(a?b)]?0，解得b??3?2a
则f?(x)?ex[x2?(2?a)x?(?3?a)]＝ex(x?1)[x?(3?a)]
令f?(x)?0，得x1?1或x2??3?a
∵函数f(x)有极值点x?1，∴?3?a?1，否则f'(x)?0恒成立，则f(x)无极值. ∴当?3?a?1即a??4时，由f?(x)?0得x?(?3?a,??)或x?(??,1)
由f?(x)?0得x?(1,?3?a)
当?3?a?1即a??4时，由f?(x)?0得x?(1,??)或x?(??,?3?a)
由f?(x)?0得x?(?3?a,1)
综上可知：当a??4时，单调递增区间为(??,1)和(?3?a,??)，递减区间为(1,?3?a) 当a??4时，单调递增区间为(??,?3?a)和(1,??)，递减区间为(?3?a,1)----10分
（3）由（2）知，当a>0时，f(x)在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1，4）上单调递增，
∴函数f(x)在区间[0,4]上的最小值为f(1)??(a?2)e
x4又∵f(0)?be??(2a?3)?0，f(4)?(2a?13)e?0，
∴函数f(x)在区间[0，4]上的值域是[?(a?2)e,(2a?13)e];
又g(x)?(a?14)e2x?44在区间[0，4]上是增函数，
2428∴g(x)在区间[0，4]上的值域是[(a?14)e,(a?14)e]
∵(a?14)e－(2a?13)e＝(a?2a?1)e＝(a?1)e?0，
∴存在?1,?2?[0,4]使得f(?1)?g(?2)?1成立只须仅须 2442424
(a2?14)e4－(2a?13)e4<1?(a?1)2e4?1?(a?1)2?111?1??a?1?. e4e2e2 （点评：所谓存在?1,?2?[0,4]使得f(?1)?g(?2)?1成立只要两个值域中最接近的两个值f(?1),g(?2)使f(?1)?g(?2)?1成立即可；如今后改“对任意的
?1,?2?[0,4]f(?1)?g(?2)?1都成立，则必须是两个值域中差的绝对值最大的两个值
） f(?1),g(?2)使f(?1)?g(?2)?1成立才行！
例8设数列?an?是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn．
（1）已知a1?1，d?2，
Sn?64的最小值； n
23n?15?????； （ⅱ）当n?N?时，求证：S1S3S2S4SnSn?216（ⅰ）求当n?N?时，
（2）是否存在实数a1，使得对任意正整数n，关于m的不等式am?n的最小正整数解为3n?2?若存在，则求a1的取值范围；若不存在，则说明理由．（2011深一模）
(1) (ⅰ) 解: ?a1?1,d?2,
?Sn?na1?
当且仅当n?
故S?64n(n?1)d64?n2,n?n???16, 2nn64,即n?8时,上式取等号. nSn?64的最大值是16. n
(ⅱ) 证明: 由(ⅰ)知Sn?n2，
当n?N时,?n?1n?11?11?， ?2??22?SnSn?2n(n?2)24?n(n?2)??
?123n?11?11??11??11?1??????[?2?2???2?2???2?2????2?] 2?S1S3S2S4SnSn?24?13??24??35??n(n?2)?
1?1111???2?2??, 4?12(n?1)2(n?2)2???11??0, 22(n?1)(n?2)
?23n?11115?????(2?2)?. S1S3S2S4SnSn?241216
? (2)对?n?N,关于m的不等式am?a1?(m?1)d?n的最小正整数解为cn?3n?2， 则恒有??(3d?1)n?(a1?3d)?0?a1?(cn?1)d?n，即?, (3d?1)n?(a?4d)?0?1?a1?(cn?2)d?n
?3d?1?0?(3d?1)?1?(a?3d)?014?1?d?,1?a1?. 从而?33?3d?1?0
??(3d?1)?1?(a1?4d)?0
4故存在这样的实数a1，其取值范围为[1,). 3
点评：关于m的不等式am?a1?(m?1)d?n的最小正整数解为3n?2 的图解如下图： 此图表明，当m?3n?2,3n?1,3n,?
时，am?n成立；但当m?3n?2时，
am?n不成立！
例9
设函数f(x)?
a?0）的定义域为D，若所有点(s,f(t))（s,t?D）
构成一个正方形区域，求a的值.
解答：∵函数f(x
)（a?0）
x2?x1?，故若所有点 ?a
(s,f(t))（s,t?D）构成一个正方形区域
??a2??4a ∴ a??4.
（本例，设方程f(x)?0得两个根为x1,x2（x1?x2）则f(x)的定义域D?[x1,x2]，所有点(s,f(t))（s,t?D）构成一个正方形区域，此正方形的一边为x2?x1，另一边为
由于a?0,b2?4ac?0，所以x2?
x1?例10已知a?0，函数f(x)?x3?3ax2?12x?1. （Ⅰ）若a? 5，求函数f(x)的极小值； 2
（Ⅱ）若函数f(x)不存在极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若函数f(x)在区间(1,6)内至少有一个极值点，求a的取值范围.
解: (Ⅰ)∵f'(x)?3x2?6ax?12， ∴当a?5'2时，f(x)?3x?15x?12?3(x?1)(x?4) 2
∵ x?1时，f'(x)?0；1?x?4时，f'(x)?0；x?4时，f'(x)?0 ∴ 函数f(x)在x?4处取得极小值且极小值为f(4)??7；
（Ⅱ）∵导函数f'(x)?3x2?6ax?12的图像是开口向上的抛物线，
∴ 函数f(x)无极值的充要条件是f'(x)?0恒成立，（此条件下函数f(x)递增） 于是??36a?144?0?a?4?0??2?a?2. ∵a?0，∴0?a?2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知a?2时函数f(x)有极值.设t是函数f(x)在区间(1,6)内的极值点 则有3t?6at?12?0?a?22214(t?)?g(t) 2t
∵ 函数g(t)在(1,2]递减，在[2,6)上递增，∴函数g(t)在t?2处取得最小值 g(2)?2；又g(1)?51010,g(6)?，∴2?g(t)?. 233
10 综上，若函数f(x)在区间(1,6)
（另解）由于导函数为f(x)?3(x?2 以及a?2是函数f(x)有极值的条件
所以，函数f(x)的极值点都在x轴的正 半轴上，且两个极值点不可能都大于6.故若函数f(x)的极值点都不在区间 '2
'??5?2a?010?f(1)?0???a?. (1,6)内，则只需?'3?f(6)?0?40?12a?0?
∴ 函数f(x)在区间(1,6)内至少有一个极值点，则a的取值范围是(2,10). 3
例11已知函数f(x)?ax3?bx2?cx在点x0处取得极小值?4，使其导数f'(x)?0的x的取值范围是(1,3).
（1）求f(x)的解析式；
（2）若过点P(?1,m)可作曲线y?f(x)的三条切线求实数m的取值范围.
解答：（1）f'(x)?3ax2?2bx?c
∵函数f(x)?ax?bx?cx在点x0处取得极小值?4，且使其导数f(x)?0的x的取值范围是(1,3)， 32'
?f'(1)?0?3a?2b?c?0?a??1?'??∴ ?f(3)?0??27a?6b?c?0??b?6
?f(1)??4?a?b?c?0?c??9???
∴ 函数的解析式为f(x)??x?6x?9x；
3（2） 假设过点P(?1,m)的切线与曲线y?f(x)相切于点(t,?t?6t?9)，
'232∵ f(x)??3x?12x?9，∴切线方程可写为
y?(?t?6t?9t)?(?3t?12t?9)(x?t)
∵此切线经过点P(?1,m)，
∴m?(?t?6t?9)?(?3t?12t?9)(?1?t)?2t?3t?12t?(9?m)?0
令g(t)?2t?3t?12t?(9?m)，则g(t)?6(t?t?2)?6(t?1)(t?2)
据此可知函数g(t)有两个不同的极值点，因此要使过点P(?1,m)可作曲线y?f(x)的三条切线，只需函数g(t)的两个极值异号，也即只需g(?1)g(2)?0
故得(16?m)(?11?m)?0?(m?16)(m?11)?0
∴实数m的取值范围是(?11,16). 32'232232322
例12设函数f(x)?x3?(2k?1)x2?(k?5)x?(3k?7)，是讨论f(x)零点的个数. 解答：∵f(?1)?0，∴?1是函数f(x)的一个零点，且函数可表示为
f(x)?(x?1)[x2?2(k?1)x?(3k?7)]，因此，函数f(x)零点的个数，取决于 方程x2?2(k?1)x?(3k?7)?0根的情况（有根时应注意是否与x??1重复！） 结论：当?2?k?3时，函数f(x)只有一个零点；当k?3时，f(x)有两个零点；当k?3或k??2时f(x).有三个零点.
（点评：本例与前例都涉及到考虑三次函数的零点个数，但方法完全不同！）
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