【题源】浙江《2016学年第一学期高二9+1高中联盟期中考题（刚考的）》
x2y2
【题目】如图，椭圆C:2?2?1(a?b?0)的短轴为B1B2，长轴端点为A1,A2，两焦点为F1,F2，将ab
椭圆C沿短轴B1B2折成直二面角，P在两个半椭圆所形成的轨迹上运动，则下列结论正确的是（） ①|PF1|?|PF2|取最大值时，点P在短轴的端点,
②|PF1|?|PF2|取最小值时，点P在长轴的端点.
A.① B. ② C. ①②D.①②都不对
【解析】由对称性，我们不妨假设P(x1,y1)为如图椭圆C在第一象限（含
x12y12坐标轴）上的点（如图弧B1A2上的点），则0?x1?a，且2?2?1 ab
c|PF2|?a?
x1，|PF1|?
a
c所以d?|PF1|?|PF2|=a?
x1a问题转化为当0?x1?a时求d?a?
方法1三角代换法： cx1. ac?x1?atan?（其中0???） a2
ccc∵0?x1?a，所以x1?atan??[0,c]，所以tan??[0,]（其中0???arctan） aaa
asin??1d?a?atan??) =a(1?cos?cos??0
sin??1? 上运动，所以kAB?可看成A(0,1)，B(cos?,sin?)，连线的斜率，而B在单位圆上如图的CD cos??0
c1? 当B在D点时kAB有最大值，d有最小值，此时tan?? a
c所以x1?atan??c，从而x1?a，P在长轴端点A2时d有最小值 a
cdmin=a??
a
a?c?a2?：当B在C点时kAB有最小值，d有最大值，此时cos??1，sin??0，
即tan??0 c所以x1?atan??0，从而x1?0，即P在短轴端点B1时d有最大值 a
cdmax=a??
02a a令
综合上述：①②均正确，答案选C
方法2：单调函数法：
ccd?a?
x1
a??
x1=a?aa
当0?x1?a时，上述函数显然在x1?[0,a]上递减，所以
当x1?0时，即P在短轴端点B1时d有最大值
当x1?a，P在长轴端点A2时d有最小值
方法3：导数法：因为0?x1?a，对d?a?
2 cx1+ax1求导得
c2c2
xx2121ccd'???
???=0 aax1?[0,a]上递减，所以 当x1?0时，即P在短轴端点B1时d有最大值
当x1?a时，即P在长轴端点A2时d有最小值 所以d?a?
cx1+a方法4：方程有解法：
d?a?
设y?c?x1
acx1则y?0 a
所以上述关于x1的方程在x1?[0,a]上有解， c2c22c2c2c2yx1?a2?y2，因为x1?[0,a]， 所以0?yx1?ya?2cy 即(y?x1)?a?(x1)，即aaaaa
?c??y?
a，所以d?a?y?[a?c?
而当d最小时，x1?a，即P在长轴端点A2时d有最小值
而当d最大时，x1?0，即即P在短轴端点B1时d有最大值 即0?a?y?
2cy，解得
注：此题是浙江《2016学年第一学期高二9+1高中联盟期中考题（刚考的）》，由于浙江高二（上）还没有学导数，所以只能不用导数的方法做.
陈柏成于2016/11/14
22
www.99jianzhu.com/包含内容：建筑图纸、PDF/word/ppt 流程，表格，案例，最新,免费下载,施工方案、工程书籍、建筑论文、合同表格、标准规范、CAD图纸等内容。